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1、第9讲 解三角形本节课的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上通过本节课的学习，学生应当达到以下学习目标：1、 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2、 通过学习正弦定理、余弦定理能够解决正余弦定理在解三角形中的综合应用.1、通过对三角形中边角关系的探索，证明正弦定理、余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形.2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形.3、三角形各种形状的判定方法，以及三角形面积定理的应用正余弦定理1.正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所
2、对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式2Ra2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin Asin Bsin C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2.SABCahabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 3.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下
3、：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin bsin A aab ab解的个数一解两解一解一解无解例1.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2ac，c2a，则cos C()A B C D【答案】B【解析】由题意得，b2ac2a2，即ba，cos C，故选B练习1.在ABC中，A，ac，则_【答案】1【解析】在ABC中，A，a2b2c22bccos，即a2b2c2bcac，3c2b2c2bc，b2bc2c20，(b2c)(bc)0，bc0，bc，1练习2.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a，c2，cos A，则b() A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】
4、由余弦定理，得5b2222b2，解得b3（舍去），故选D.练习3.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则cos B()A. B. C. D.【答案】B【解析】由正弦定理知1，即tan B，由B(0，)，所以B，所以cos Bcos，故选B.练习4.已知ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m(cos B，cos C)，n(2ac，b)，且mn.(1)求角B的大小；(2)若b，求ac的范围.【答案】见解析.【解析】(1)m(cos B，cos C)，n(2ac，b)，且mn，(2ac)cos Bbcos C0，cos B(2sin Asin C)sin Bcos
5、 C0，2cos Bsin Acos Bsin Csin Bcos C0.即2cos Bsin Asin(BC)sin A.A(0，)，sin A0，cos B.0B，B.(2)由余弦定理得b2a2c22accosa2c2ac(ac)2ac(ac)2(ac)2，当且仅当ac时取等号.(ac)24，故ac2.又acb，ac(，2.即ac的取值范围是(，2.练习5.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin2Asin2BsinAsinBsin2C，则的取值范围为_【答案】【解析】由正弦定理得a2b2c2ab，由余弦定理得cosC，C.由正弦定理得(sinAsinB)，又AB，B
6、A，sinAsinBsinAsinsin.又0A，A，sinAsinB，解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到例2.在ABC中，已知a2，b，A45，则满足条件的三角形有()A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定【答案】B【解析】bsin A，bsin Aa1角B不存在，即满足条件的三角形不存在练习2.在ABC中，若a18，b24，A45，则此三角形有()A无解 B两解 C一解 D解的个数不确定【答案】B【解析】，sin Bsin Asin 45，sin B.
7、又ab，B有两个解，即此三角形有两解判断三角形解的个数的两种方法1、 代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断.2、 几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.例3.在ABC中，sin2 Asin2 Bsin2 C，且sin A2sin Bcos C试判断ABC的形状【答案】见解析.【解析】由正弦定理，得sin A，sin B，sin C.sin2 Asin2 Bsin2 C，即a2b2c2，故A
8、90.C90B，cos Csin B.2sin Bcos C2sin2 Bsin A1.sin B.B45或B135(AB225180，故舍去)ABC是等腰直角三角形练习1.在ABC中，若bacos C，试判断该三角形的形状【答案】见解析.【解析】bacos C，2R.(2R为ABC外接圆直径)sin Bsin Acos C.B(AC)，sin (AC)sin Acos C.即sin Acos Ccos Asin Csin Acos C，cos Asin C0，A、C(0，)，cos A0，A，ABC为直角三角形练习2.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若0，则ABC()A一定是
9、锐角三角形 B.一定是直角三角形C一定是钝角三角形 D是锐角或直角三角形【答案】C【解析】由0得cos C0，所以cos C0，从而C为钝角，因此ABC一定是钝角三角形练习3.在ABC中，bcos Aacos B，则ABC是()A等边三角形 B.等腰三角形 C直角三角形 D锐角三角形【答案】B【解析】因为bcos Aacos B，所以ba.所以b2c2a2a2c2b2.所以a2b2.所以ab.故此三角形是等腰三角形1判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因
10、式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状2判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别例4.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a4cos C，b1(1)若A90，求ABC的面积；(2)若ABC的面积为，求a，c【答案】见解析.【解析】(1)b1，a4cos C4，2c2a21又A90，a2b2c2c21，2c2a21c22，c，a，SABCbc
11、sin Abc1(2)SABCabsin Casin C，sin C，a4cos C，sin C，化简得(a27)20，a，从而c2练习1.在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin Bbsin(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积Sc2，求sin C的值【答案】见解析.【解析】(1)asin Bbsin，由正弦定理得sin Asin，即sin Asin Acos A，化简得tan A，A(0，)，A(2)A，sin A，由Sc2bcsin Abc，得bc，a2b2c22bccos A7c2，则ac，由正弦定理得sin C练习2.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c
12、，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长.【答案】见解析.【解析】(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C.由C(0，)知sin C0，可得cos C，所以C.(2)由已知，absin C，又C，所以ab6，由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.练习3.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2ab)cos Cccos B0.(1)求角C的值； (2)若三边a，b，c满足ab13，c7，求ABC的面积.【答案】见解析.【解析】 (1)根据正弦定理，(2ab)cos Cccos B0可化为(2sin Asin B)cos Csin Ccos B0.整理得2sin Acos Csin Bcos Csin Ccos Bsin(BC)sin A.0A，sin A0，cos C.又0C，C.(2)由(1)知cos C，又ab13，c7，由余弦定理得c2a2b22abcos
