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1、 高一数学 2017 秋季 第 1 页 演练方阵 第 5 讲 空间中的垂直关系 直线与平面垂直的判定 类型一类型一 线面垂直的定义及判定定理的理解线面垂直的定义及判定定理的理解 考点说明 常以选择题进行考察 是空间垂直关系的基础 易 1 下列条件中 能使直线 m 平面 的是 A m b m c b c B m b b C m b A b D m b b 答案 D 解析 由线线平行及线面垂直的判定知选项 D 正确 易 2 已知直线 m n 是异面直线 则过直线 n 且与直线 m 垂直的平面 A 有且只有一个 B 至多一个 C 有一个或无数个 D 不存在 答案 B 解析 若异面直线 m n 垂直
2、则符合要求的平面有一个 否则不存在 易 3 2015 大连高二检测 直线 l 平面 直线 m 则 l 与 m 不可能 A 平行 B 相交 C 异面 D 垂直 答案 A 解析 因为直线 l 平面 所以 l 与 相交 又因为 m 所以 l 与 m 相交或异面 由直线 与平面垂直的定义 可知 l m 故 l 与 m 不可能平行 中 4 2015 济南高一检测 直线 l 与平面 内的无数条直线垂直 则直线 l 与平面 的关 系是 A l 和平面 相互平行 B l 和平面 相互垂直 C l 在平面 内 高一数学 2017 秋季 第 2 页 D 不能确定 答案 D 解析 如图所示 直线 l 和平面 相互平
3、行 或直线 l 和平面 相互垂直或直线 l 在平面 内 都有可能 中 5 2015 成都高二检测 已知 ABCD A1B1C1D1为正方体 下列结论错误的是 A BD 平面 CB1D1 B AC1 BD C AC1 平面 CB1D1 D AC1 BD1 答案 D 解析 正方体中由 BD B1D1 易知 A 正确 由 BD AC BD CC1可得 BD 平面 ACC1 从而 BD AC1 即 B 正确 由以上可得 AC1 B1D1 同理 AC1 D1C 因此 AC1 平面 CB1D1 即 C 正确 由于四边形 ABC1D1不是菱形 所以 AC1 BD1不正确 故选 D 中 6 如图所示 PA 平
4、面 ABC 在 ABC 中 BC AC 则图中直角三角形的个数有 答案 4 解析 PA 平面ABC BC 平面ABC PA BC AC BC PA AC A BC 平面 PAC BC PC 直角三角形有 PAB PAC ABC PBC 难 7 2015 淮安高二检测 四棱锥 S ABCD 的底面 ABCD 为正方形 SD 底面 ABCD 高一数学 2017 秋季 第 3 页 则下列结论中正确的有 个 AC SB AB 平面 SCD SA 与平面 ABCD 所成的角是 SAD AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SC 所成的角 答案 4 解析 因为 SD 底面 ABCD 所以 AC SD 因
5、为 ABCD 是正方形 所以 AC BD 又 BD SD D 所以 AC 平面 SBD 所以 AC SB 故 正确 因为 AB CD AB 平面 SCD CD 平面 SCD 所以 AB 平面 SCD 故 正确 因为 AD 是 SA 在平面 ABCD 内的射影 所以 SA 与平面 ABCD 所成的角是 SAD 故 正确 因为 AB CD 所以 AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SC 所成的角 故 正确 类型类型二二 线面垂直判定定理的应用线面垂直判定定理的应用 考点说明 常结合线面垂直的定义考察 中 1 2016 太原高一检测 如图 平面 CD EA 垂足为 A EB 垂足为 B 则 CD
6、 与 AB 的位置关系是 答案 CD AB 解析 EA CD 根据直线和平面垂直的定义 则有 CD EA 同样 EB CD 则有 EB CD 又 EA EB E CD 平面 AEB 又 AB 平面 AEB CD AB 中 2 已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面 若 PC BD 则平行四边形一定 是 答案 菱形 解析 如图 PA 平面 ABCD 得 PA BD 又 PC BD BD 平面 PAC BD AC 高一数学 2017 秋季 第 4 页 平行四边形 ABCD 为菱形 中 3 如图 四边形 ABCD 为矩形 AD 平面 ABE F 为 CE 上的点 且 BF 平面 ACE
7、求证 AE BE 答案 见解析 解析 AD 平面 ABE AD BC BC 平面 ABE 又 AE 平面 ABE AE BC BF 平面 ACE AE 平面 ACE AE BF 又 BF 平面 BCE BC 平面 BCE BF BC B AE 平面 BCE 又 BE 平面 BCE AE BE 难 4 2015 广东河源高二期中 如图 四棱锥S ABCD的底面为正方形 SD 底面 ABCD 给出下列结论 AC SB AB 平面 SCD SA 与平面 ABD 所成的角等于 SC 与平面 ABD 所成的角 AC SO 正确结论的序号是 答案 解析 连接 SO 如图所示 因为四棱锥 S ABCD 的底
8、面为正方形 所以 AC BD 因为 SD 底面 ABCD 所以 SD AC 因为 SD BD D 所以 AC 平面 SBD 因为 SB 平面 SBD 所以 AC SB 则 正确 因为 AB CD AB 平面 SCD CD 平面 SCD 所以 AB 平面 SCD 则 正确 因为 SD 底面 ABCD 所以 SAD 和 SCD 分别是 SA 与平面 ABD 所成 的角 SC 与平面 ABD 所成的角 因为 AD CD SD SD 所以 SAD SCD 则 正确 因为 AC 平面 SBD SO 平面 SBD 所以 AC SO 则 正确 高一数学 2017 秋季 第 5 页 难 5 2015 北京市房
9、山区高二期中 如图 已知 ABC 是正三角形 EA CD 都垂直于 平面 ABC 且 EA AB 2a DC a F 是 BE 的中点 求证 1 FD 平面 ABC 2 AF 平面 EDB 答案 见解析 解析 1 因为 F 是 BE 的中点 取 BA 的中点 M 连接 FM MC 则 FM EA FM 1 2EA a 因为 EA CD 都垂直于平面 ABC 所以 CD EA 所以 CD FM 又 CD a FM 所以四边形 FMCD 是平行四边形 所以 FD MC FD 平面 ABC MC 平面 ABC 所以 FD 平面 ABC 2 因为 M 是 AB 的中点 ABC 是正三角形 所以 CM
10、AB 又 EA 垂直于平 面 ABC 所以 CM AE 又 AE AB A 所以 CM 平面 EAB 因为 AF 平面 EAB 所以 CM AF 又 CM FD 从而 FD AF 因为 F 是 BE 的中点 EA AB 所以 AF EB EB FD 是平面 EDB 内两条相交直线 所以 AF 平面 EDB 难 6 如图 AB 为 O 的直径 PA 垂直于 O 所在的平面 M 为圆周上任意一点 AN PM N 为垂足 1 求证 AN 平面 PBM 2 若 AQ PB 垂足为 Q 求证 NQ PB 高一数学 2017 秋季 第 6 页 答案 见解析 解析 1 AB 为 O 的直径 AM BM 又
11、PA 平面 ABM PA BM 又 PA AM A BM 平面 PAM 又 AN 平面 PAM BM AN 又 AN PM 且 BM PM M AN 平 面 PBM 2 由 1 知 AN 平面 PBM PB 平面 PBM AN PB 又 AQ PB AN AQ A PB 平面 ANQ 又 NQ 平面 ANQ PB NQ 类型类型三三 直线与平面所成的角直线与平面所成的角 考点说明 常结合正余弦定理考察 考察频率高 难度较大 易 1 如图 三棱锥 P ABC 中 PA AB PA BC 则直线 PB 和平面 ABC 所成的角是 A BPA B PBA C PBC D 以上都不对 答案 B 解析
12、由 PA AB PA BC AB BC B 得 PA 平面 ABC 所以 PBA 为 BP 与平面 ABC 所成的角 故选 B 易 2 直线 l 与平面 所成的角为 70 直线 l m 则 m 与 所成的角等于 A 20 B 70 C 90 D 110 答案 B 解析 因为 l m 所以直线 l 与平面 所成的角等于 m 与 所成的角 又直线 l 与平面 所 成的角为 70 所以 m 与 所成的角为 70 中 3 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为 A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 答案 D 高一数学 2017 秋季 第 7 页 解析
13、如图所示 连接 BD 交 AC 于点 O 连接 D1O 由于 BB1 DD1 DD1与平面 ACD1 所成的角就是 BB1与平面 ACD1所成的角 易知 DD1O 即为所求 设正方体的棱长为 1 则 DD1 1 DO 2 2 D1O 6 2 cos DD1O DD1 D1O 2 6 6 3 BB1与平面 ACD1所成 的角的余弦值为 6 3 中 4 如图所示 ABCD A1B1C1D1是正方体 则直线 BA1与平面 DD1B1B所成的角是 A 90 B 60 C 45 D 30 答案 D 解析 如图取 B1D1的中点 O1 连 A1O1 易证 A1O1 平面 DD1B1B 连接 O1B 则 O
14、1B 为 A1B 在平面 DD1B1B 内的射影 A1BO1为所求的线面角 在 Rt A1O1B 中 sin A1BO1 A1O1 A1B 1 2 A1BO1 30 中 5 如图所示 三棱锥 A SBC 中 BSC 90 ASB ASC 60 SA SB SC 求直线 AS 与平面 SBC 所成的角 高一数学 2017 秋季 第 8 页 答案 见解析 解析 因为 ASB ASC 60 SA SB SC 所以 ASB 与 SAC 都是等边三角形 因 此 AB AC 如图所示 取 BC 的中点 D 连接 AD SD 则 AD BC 设 SA a 则在 Rt SBC 中 BC 2a CD SD 2
15、2 a 在 Rt ADC 中 AD AC2 CD2 2 2 a 则 AD2 SD2 SA2 所以 AD SD 又 BC SD D 所以 AD 平面 SBC 因此 ASD 即为直线 AS 与平面 SBC 所 成的角 在 Rt ASD 中 SD AD 2 2 a 所以 ASD 45 即直线 AS 与平面 SBC 所成的 角为 45 中 6 如图所示 直角三角形 ABC 的斜边 AB 在平面 内 AC BC 与 所成的角分别 为 30 45 CD 是直角三角形斜边 AB 上的高 求 CD 与平面 所成的角 答案 见解析 解析 设 C 在平面 内的射影为 H 连接 DH AH BH 如图所示 则易知
16、CDH 是 CD 与平面 所成的角 设 CH m 则在 Rt CAH 中 由 CAH 30 可得 CA 2m 又在 Rt CBH 中 由 CBH 45 可得 CB 2m 故在 Rt ABC 中 由 CA 2m CB 2m 可 得斜边上的高 CD 2 3m 3 则 sin CDH CH CD m 2 3 3 m 3 2 即 CDH 60 故 CD 与平面 所成的角为 60 难 7 2015 唐山玉田县林南仓中学高二期末 如图 四面体 ABCD 的各棱长均相等 AD 平面 于点 A 点 B C D 均在平面 外 且在平面 的同一侧 线段 BC 的中点为 E 则直线 AE 与平面 所成角的正弦值为 高一数学 2017 秋季 第 9 页 A 3 3 B 3 2 C 2 2 D 1 2 答案 A 解析 如图 设四面体 ABCD 的棱长为 a 则 ABC 为边长为 a 的正三角形 又 E 为 BC 边的中点 所以 AE BC 则 AE 3 2 a 取 AD 的中点 M 连接 BM CM 则 BM AD CM AD 又 BM CM M 所以 AD 平面 BCM 故平面 BCM 平面 所以平面 BCM
