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1、北京四中2018届上学期高三年级期中考试数学试卷（文科）（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 已知集合，那么等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】集合 ，根据集合的并集的概念得到等于。故答案为：B。2. 若，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：，故选C.考点：二倍角公式3. 已知向量a,b满足，则A. B. C. D. 2【答案】C【解析】由条件知，。故答案为：C。4. 设，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由函数的单调性可知由单调性可知，由函数
2、单调性可知，所以有，故选B考点：函数单调性比较大小5. 已知，则是的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】已知，。根据向量平行的坐标表示得到 故是的充分不必要条件。故答案为：A。6. 函数的图象如图所示，则的解析式可以为A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，故当时，的符号不确定，因此不单调，即答案A不正确；对于答案B，因，故函数 是递减函数，但函数有两个零点，则答案B不正确；对于答案D，因时，无零点，故答案不正确；而，故函数在时，是单调递减函数，当时，函数也单调递减函数，应选答案C。点睛：解答本题的关键是搞清楚函数的
3、图像的变化情况与题设的要求，将每一个函数解析式的导数求出，再运用比较对比的方法将函数的解析式选出，从而使得问题获解。7. 实数x,y满足则的最小值为A. 15 B. 3 C. -3 D. -15【答案】C【解析】根据不等式组画出可行域，如图：目标函数可化简为：,根据图像得到当目标函数过点（-3，3）时候，目标函数有最小值，代入得到z=-3.故得到答案为：C。点睛：这个题目考查的是较为简单的线性规划问题；需要注意的是线规问题，可行域中的线是实线还是虚线，目标函数是什么模型，常见的有形如这个函数的截距型，还有面积型，距离型，斜率型等，注意最值能否取倒。8. 设函数的定义域D，如果存在正实数m，使得
4、对任意，都有，则称为D上的“m型增函数”，已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，。若为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由已知得f（x）=，f（x+20）f（x），由此能求出实数a的取值范围解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）=|xa|a（aR），f（x）=，f（x）为R上的“20型增函数”，f（x+20）f（x），当x=0时，|20a|a0，解得a10实数a的取值范围是a10故选：C考点：函数的值二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9. 若函数则等于_。【答案】3【解析】根据题意得到=8，= 故结果为：
5、3.10. 已知双曲线C的标准方程为，则双曲线C的渐近线方程为_。【答案】【解析】已知双曲线C的标准方程为，得到渐近线方程为：，化简得到。故结果为：。11. 已知函数 的部分图象如图所示，则_，_。【答案】 (1). (2). 【解析】由图像知道函数的半周期为，故周期为将函数零点代入得到 因为，故得到。故答案为：(1). (2). 。点睛：这个题目考查的是已知三角函数图像求解析式的问题。一般是通过图像可得到振幅，周期，进而得到w，根据图像的最值点或者零点求得函数中的角；有最值首选最值，无最值再选零点，零点分第一零点和第二零点，注意区分即可。12. 已知正数x,y满足，则的最小值是_。【答案】4
6、【解析】由题意，当且仅当，即，时取等号，故答案为9.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件13. 如图，在中，D是AC边上一点，且，则_【答案】-4【解析】根据题意得到 .代入化简得到-4.故答案为：-414. 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间-M，M。例如，
7、当，时，现有如下命题：设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“”；若函数，则有最大值和最小值；若函数，的定义域相同，且，则若函数，则有最大值且，其中的真命题有_。（写出所有真命题的序号）【答案】【解析】对于，若f（x）A，则f（x）的值域为R，于是，对任意的bR，一定存在aD，使得f（a）=b，故正确；对于，取函数f（x）=x（1x1），其值域为（1，1），于是，存在M=1，使得f（x）的值域包含于M，M=1，1，但此时f（x）没有最大值和最小值，故错误；对于，当f（x）A时，由可知，对任意的bR，存在aD，使得f（a）=b，当g（x）B时，对于函数f（x）+g（x），如果存在一个正数M，使得
8、f（x）+g（x）的值域包含于M，M，那么对于该区间外的某一个b0R，一定存在一个a0D，使得f（a0）=bg（a0），即f（a0）+g（a0）=b0M，M，故正确；此时f（x）= （x2），易知f（x） ，存在正数M=，使得f（x）M，M，故正确；故答案为：。三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15. 已知数列的前n项和为，且是与1的等差中项。（I）求的通项公式；（II）若数列的前n项和为，且对，恒成立，求实数的最小值。【答案】(1) ;(2) 实数的最小值为2. 试题解析：（）因为,所以 1分因为是与的等差中项,所以, 即所以 3分所以是以1为首项，2为公
9、比的等比数列所以 6分（）由（）可得：所以,所以是以1为首项,为公比的等比数列 9分所以 数列的前项和 11分因为，所以若，当时，所以 若对,恒成立，则所以 实数的最小值为2 13分考点：数列及其恒成立16. 锐角中，内角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，已知，的面积 （I）求边c的值；（II）求sinC的值。【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：(1)根据三角形的面积公式得到 将已知条件中的值代入可得， 。（2）由同角三角函数的转化可得；再由余弦定理得到，由正弦定理得到。解析：（I）由 可得， （II）由锐角中可得 由余弦定理可得： 有：,由正弦定理： 即 .17. 已知函数。（
10、I）求函数的最小正周期与单调增区间；（II）求函数在上的最大值与最小值。【答案】（1），单调增区间为，；（2）时取最大值，最小值。【解析】试题分析：本题主要考查倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单调区间、三角函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问，先利用倍角公式和降幂公式以及两角和的正弦公式化简表达式，使之成为的形式，利用计算周期，再利用的函数图象解不等式，求出单调递增区间；第二问，将已知x的取值范围代入表达式，结合图象，求三角函数的最值试题解析： （）的最小正周期为令，解得，所以函数的单调增区间为（）因为，所以，所以，于是，所以当且仅当时取
11、最小值当且仅当，即时最大值考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单调区间、三角函数的最值18. 已知函数，。（I）若曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，求a的值；（II）当时，试问曲线与直线是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由。【答案】（1）；（2）公共点为（1，-1）。【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到，即；（2）构造函数，研究这个函数的单调性，它和轴的交点个数即可得到在（0，1）（）恒负，故只有一个公共点。解析：（I）函数的定义域为， 又曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，所以，即 （II）当时，令 当时，在（）单调递减；当时，在（0，1）单调递
12、增。又，所以在（0，1）（）恒负因此，曲线与直线仅有一个公共点，公共点为（1，-1）。19. 已知函数（I）若，求曲线在处的切线方程；（II）讨论函数在上的单调性；（III）若存在，使得成立，求实数a的取值范围。【答案】（1）切线方程为；（2）在上单调减；（3）.【解析】试题分析：（1）当a=2时可得f（x）=x22lnx，求导数值可得切线斜率，求函数值可得定点，进而得直线方程；（2）求导数可得结合x1，e，利用单调性和导数的关系分和以及讨论可得；（3）结合（2）的单调性，分类讨论分别求a2和2a2e以及a2e时函数的最值，使得函数的最值小于等于0，最终并到一起可得范围。解析：（1）时，所求切
13、线方程为（2） 时，此时，在上单调增；当即，时，上单调减；时，在上单调增；当即时，此时，在上单调减； （3）当时，在上单调增，的最小值为 当时，在上单调减，在上单调增的最小值为 ，当时，在上单调减；的最小值为 ，综上， 点睛：本题考查导数的综合应用，涉及曲线的切线和函数的单调性以及分类讨论的思想，属难题最后一问考查了函数的有解求参的问题，一般的处理方式是变量分离，转化为函数最值问题；或者直接研究函数的单调性得到函数的最值，使得函数最值大于或者小于0.20. 已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为，且点在该椭圆上。（I）求椭圆C的方程；（II）过椭圆C的左焦点的直线l与椭圆C相交于
14、两点，若的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程。【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设出椭圆的标准方程，根据离心率求得a和c关系，进而根据a2=b2+c2，求得a和b的关系，把点C坐标代入椭圆方程求得a，进而求得b，则椭圆方程可得解析：（1）设椭圆C的方程为，（），由题意可得又，所以 因为椭圆C经过（1，），代入椭圆方程有解得所以c=1，故椭圆C的方程为 （II）当直线轴时，计算得到：， ，不符合题意 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：， 由消去y，得 显然成立，设， 则， 又 即 又圆O的半径 所以化简，得，即解得，（舍）所以，故圆O的方程为： 。点睛：本题考查了
