《人教A版高中数学选修1-1 2.2.3 圆锥曲线与方程 素材》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学选修1-1 2.2.3 圆锥曲线与方程 素材（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、圆锥曲线与方程 -学习要点一、椭圆及其性质1椭圆的定义：对椭圆上任意一点都有2求椭圆的标准方程的方法（1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆的标准方程（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是在轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程3求椭圆的标准方程需要注意以下几点？（1）如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为或（2）与椭圆共焦点的椭圆方程可设为（3）与椭圆有相同离心率的椭圆方程可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）4椭圆的几何性质的应用策略（1）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到
2、图形：若涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量，则要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的联系，求解自然就不难了（2）椭圆的离心率是刻画椭圆性质的不变量，当越接近于1时，椭圆越扁，当越接近于时，椭圆越接近于圆，求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得到关于的齐次方程，再结合即可求出椭圆的离心率。二、双曲线及其性质1双曲线的定义：对双曲线上任意一点都有2求双曲线的标准方程的方法（1）定义法（2）待定系数法3求双曲线方程需要注意以下几点：（1）双曲线与椭圆的标准方程均可记为，其中，且，且时表示椭圆；时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论（2）常见双曲线设法：已知的双曲线
3、设为；已知过两点的双曲线可设为；已知渐近线的双曲线方程可设为4.双曲线的几何性质的应用策略（1）关于双曲缉的渐近线 求法：求双曲线的渐近线的方法是令，即得两渐近线方程两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且关于轴、轴对称.与共渐近线的双曲线方程可设为.（2）求双曲线的离心率双曲线的离心率，求双曲线的离心率只需根据一个条件得到关于的齐次方程，再结合即可求出.三、抛物线及其性质1求抛物线的标准方程的方法（1）定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程（2）待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线的标准方程有四种形式从简单化角度出发，焦
4、点在轴上的，设为，焦点在轴上的，设为2抛物线定义的应用策略抛物线是到定点和定直线（定点不在定直线上）距离相等的点的轨迹，利用该定义，可有效地实现抛物线上的点到焦点和到准线的距离的转化，将有利于问题的解决3抛物线几何性质的应用策略（1）焦半径：抛物线一点到焦点的距离.（2）通径：过焦点且与轴垂直的弦叫做通径，且（3）设过抛物线的焦点的弦为，则有弦长：为弦的倾斜角）以弦为直径的圆与抛物线的准线相切.直线的方程为（不存在时弦为通径）要点1：直线与圆锥曲线的位置关系例1、如图，设是圆上的动点，点是在轴上投影，为上一点，且（）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（）求过点且斜率为的直线被所截线段的长度解析
5、：（）设点的坐标是，的坐标是，因为点是在轴上投影，为上一点，且，所以，且，在圆上，整理得，即的方程是（）过点且斜率为的直线方程是，设此直线与的交点为，由得 ，则，直线被所截线段的长度为要点2：中点弦问题的处理例2、已知椭圆的离心率为，右焦点为.斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为。（）求椭圆的方程；（）求的面积。解析：（）由已知得 解得 又所以椭圆G的方程为（）设直线l的方程为由 得 设、的坐标分别为中点为，则因为是等腰的底边，所以. 所以的斜率解得，此时方程为解得 所以 所以.此时，点到直线的距离所以总结：1. 解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常规思路有三种：（1）
6、通过方程组转化为一元一次方程，结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式进行求解；（2）点差法，设出弦的两端点，利用中点坐标公式求解；（3）中点转移法，先得出一个端点的坐标，再借助于中点坐标公式得出另一个端点的坐标，而后消二次项2对于中点弦问题，常用的解题方法是点差法，其解题步骤为：（1）设点：设出弦的两端点坐标； （2）代入：代入圆锥曲线方程；（3）作差：两式相减，再用平方差公式把式子展开；（4）整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，最后求解.要点3：圆锥曲线中的分点弦例3、已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则（ ）A. 1 B. C. D. 2解析：设为椭圆的右准线
7、，为离心率，过分别作垂直于，为垂足，过作于，由椭圆的第二定义得，由，令，则， 即，故选B.要点4：圆锥曲线上点的对称问题例4、已知椭圆：在椭圆上是否存在两点关于直线对称，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由.解析： 设椭圆上存在两点关于直线对称，的中点为，则 又 又点在直线上， 解得在椭圆内，要点5：求轨迹（曲线）方程例5、已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的动直线与双曲线相交于两点若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程.解析：由条件知，设， 设，则， ，由得即，于是的中点坐标为 当不与轴垂直时，即，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得（点差法），即将代入上式，化简得当与
8、轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是要点6：圆锥曲线中的定点问题例6、已知椭圆若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解析：设，由得 ，（1）以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，, 即 ，即，解得，且满足.当时，有，直线过定点与已知矛盾；当时，有，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为要点7：圆锥曲线中的定值问题例7、已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线.（）求椭圆的离心率；（）设为椭圆上任意一点，且，证明为定值.解析：（）设椭圆方程为则右焦点为，直线的方程为，由
9、 整理得 ，设，则 由共线，得（）由（）可知，故椭圆可化为，设 由在椭圆上， 即 由（）知，又，代入得 要点8、圆锥曲线中的最值问题和范围问题例8、设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.解析：（）由已知得，所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值（）显然直线不满足题设条件，可设直线，由，消去，整理得，由 得 或 又，又，即 综合 、得或故直线的斜率的取值范围为要点9：圆锥曲线中的探索问题例9、已知直线与双曲线的右支交于不同的两点（）求实数的取值范围（）是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.解：（）由 得 依题意，直线与双曲线的右支交于不同的两点，故 解得 （）设则由可得 ， 假设存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点，则 将及代入，得解得 或（舍去）因此存在，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点.
