《人教A版高中数学必修五 第二章 小结与复习 学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学必修五 第二章 小结与复习 学案（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.6 第二章数列小结与复习-学案一、学习目标1. 系统掌握数列的有关概念和公式；2. 了解数列的通项公式与前n项和公式的关系；3. 能通过前n项和公式求出数列的通项公式. 二、自主学习 （1）知识框图(2)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列(3)等差、等比数列的定义(4)等差、等比数列的通项公式(5)等差中项、等比中项(6)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法三、合作探究 探究1：数列的通项公式的求法数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函数的解析式根据数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前n项和求数列的通项公
2、式是数列的核心问题之一现根据数列的结构特征把常见求通项公式的方法总结如下：1知Sn求an例1、(1)已知数列an的前n项和Sn(1)n1n，求an；(2)已知数列an的前n项和Sn32n，求an.解析(1)当n2时，anSnSn1(1)n1n(1)n(n1)(1)n(12n)，当n1时，a1S1(1)211，适合上式an(1)n(12n)(2)当n2时，anSnSn132n(32n1)2n1，当n1时，a1S13215，不满足上式an.2累加法例2、数列an满足a11，a22，an22an1an2.(1)设bnan1an，证明bn是等差数列；(2)求an的通项公式解析(1)由an22an1an
3、2得an2an1an1an2. 即bn1bn2.又b1a2a11.所以bn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)得bn12(n1)2n1，即an1an2n1.于是(ak1ak)(2k1)，所以an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an的通项公式为ann22n2.3累乘法例3、已知数列an中，a1，Snn2an，其中Sn是数列an的前n项和，求an.解析由Snn2an，得Sn1(n1)2an1，两式相减，得anSnSn1n2an(n1)2an1(n2)，(n2) an()a1()(n2)又当n1时，a1也符合上式， an.4构造转化法例4、在数列an中，a11，an1an1，求a
4、n.解析由已知an1an1得：(an13)(an3)，an3为以a132为首项，q的等比数列an3(2)()n1，an32()n1.b1a2a1a11a1，bnn1n，即an1ann，由得an33n.专题二：数列的前n项和的求法求数列的前n项和是数列运算的重要内容之一，也是历年高考考查的热点对于等差、等比数列，可以直接利用求和公式计算，对于一些具有特殊结构的数列，常用倒序相加法、裂项相消法、错位相减法等求和1分组转化法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解例5、已知数列11，4，7，3n2，求其前n项的和解析
5、设Sn(11)(4)(7)(3n2)(1)147(3n2)，当a1时，Snn；当a1时，Sn.2裂项相消法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项例6、求和：1(nN)解析an2，a12，a22，a32，an2，Sna1a2a3an22.3错位相减法若数列an为等差数列，数列bn是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为anbn，当求该数列的前n项的和时，常常采用将anbn的各项乘以公比q，并项后错位一项与anbn的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所
6、以这种数列求和的方法称为错位相减法例7、设数列an的前n项和为Sn，已知2Sn3n3.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn.解析(1)因为2Sn3n3，所以当n1时2a133，故a13，当n2时，2Sn13n13，此时2an2Sn2Sn13n3n123n1，即an3n1，所以an(2)因为anbnlog3an，所以b1，当n2时，bn31nlog33n1(n1)31n.所以T1b1；当n2时，Tnb1b2b3bn(131232(n1)31n)，所以3Tn1130231(n1)32n两式相减，得2Tn(30313232n)(n1)31n(n1)3
7、1n.所以Tn经检验，n1时也适合综上可得Tn.4倒序相加法如果一个数列an与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法例8、已知函数f(x)(m0)，当x1、x2R，且x1x21时，总有f(x1)f(x2).(1)求m的值(2)设Snf()f()f()f()，求Sn.解析(1)取x1x2，则f()，所以m2.(2)因为当x1、x2R，且x1x21时，总有f(x1)f(x2)，所以f()f()，f()f()，.因为Snf()f()f()f()，故Snf()f()f()f()两式相加得：2Snf()f()f
8、()f()f()f()，所以Sn.四、学以致用变式练习1：已知数列an的前n项和Snn23n1，求通项 an.变式训练2：已知数列an满足a11，an13an2(nN)求数列an的通项公式变式训练3：已知an中，,求通项 an.变式训练4：已知数列1,12,1222，12222n，。(1)求其通项公式an； (2)求这个数列的前n项和Sn.五、自主小测1. 已知等差数列的前项和为， ， 是递减的等比数列，且， .（）求，；（）求数列的前项和.2. 数列中，且（）.（1）求证：为等差数列，并求 ;（2）令，求数列的前项的和为. 参考答案1.【答案】（1），；（2） 【解析】试题分析：（1）由题已
9、知为求等差和等比数列的通项公式，可利用题目条件，分别求出基本量（首项，公差或公比），解方程可得。（2）由题为求和问题，结合（1）知新数列为等差与等比数列的积，可利用错位相减法来经行求和。试题解析：（1）由题：， ，由题：，解得或（舍去），（2）由题及（1）可得：两式相减得 考点：（1）等差等比数列中的基本量思想及方程思想。（2）错位相减法求和。2.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用倒数构造等差数列，属于常见构造数列方法；（2）典型的裂项相消求和问题，在求和过程中，我们要注意消去哪些项和保留了哪些项，这是易错点.试题解析：（1）由得，即 （）所以为等差数列，所以；（2），.考点：1.构造数列求通项；2.裂项相消求和.
