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1、株洲市2019届高三年级教学质量统一检测(一)数学试题(文科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分,考试时间120分钟第卷(选择题)一选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将答案填涂在答题卡上)1. 已知集合,则 =A BCD2. 已知复数满足,为虚数单位,则等于 A B C D3. 下列说法中,错误的是 A. 若命题,则命题;B.“”是“”的必要不充分条件;C“若,则中至少有一个不小于”的逆否命题是真命题;D函数的图像关于对称 . 4. 如下的茎叶图表示甲乙两人在5次测评中的成绩,已知甲的中位数是90,则从乙的5
2、次测评成绩中随机抽取一次成绩,其分数高于甲的平均成绩的概率为 A. B. C. D. 5.已知正项等比数列的前项和为, 与的等差中项为,且,则 A B C D6. 已知直线的倾斜角为,则 = A B C D 7. 在中,点为斜边的中点,则 A B C D 8. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. B. C. D. 9. 将函数的图象向右平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数的图象,则下列关于函数的说法正确的是A. 最小正周期为 B. 图象关于直线对称C. 图象关于点对称 D. 在上是增函数10. 过棱长为1的正方体的一条体对角线作截面,则截得正方体的截面面积
3、的最小值是A 1 B C D11.双曲线的渐近线与抛物线相切,则双曲线的离心率为A B C D12.已知函数,若只有一个极值点,则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡中对应题号后的横线上)13已知向量,若,则 .14若满足约束条件,则的最大值为_15. 在锐角中,角的对边分别为,已知,,则的面积为 16. 已知是抛物线的焦点,为抛物线上的动点,且的坐标为,则的最小值是_三解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)17. (本题满分12分)设数列的前项和为,已知 .()求通项公式; ()设 ,
4、求数列的前项和18. (本题满分12分)如图,平面平面,其中为矩形,为直角梯形,()求证:平面平面;()若三棱锥体积为,求与面BAF所成角的正弦值19. (本题满分12分)经过多年的努力,炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路,成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售,现从某村的黄桃树上随机摘下了个黄桃进行测重,其质量分布在区间内(单位:克),统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示:()按分层抽样的方法从质量落在的黄桃中随机抽取个,再从这个黄桃中随机抽个,求这个黄桃质量至少有一个不小于克的概率;()以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该村的黄桃树上大约还
5、有个黄桃待出售,某电商提出两种收购方案:所有黄桃均以元/千克收购;低于克的黄桃以5元/个收购,高于或等于克的以9元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案. (参考数据:)20. (本题满分12分)已知分别为椭圆C:的左、右焦点,点在椭圆上,且轴,的周长为6()求椭圆的标准方程;()过点的直线与椭圆交于,两点,设为坐标原点,是否存在常数,使得恒成立?请说明理由21. (本题满分12分) 已知函数(其中).()讨论的单调性;()若设是函数的两个极值点,若,且恒成立,求实数的取值范围请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对
6、应的题号涂黑22.(本题满分10分)选修4 -4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线与曲线的极坐标方程分别为 ()求直线 的极坐标方程;()设曲线与曲线的一个交点为点(不为极点),直线与的交点为,求. 23(本题满分10分)选修4 -5:不等式选讲已知函数(为实数)()当时,求函数的最小值;()若,解不等式株洲市2019届高三年级教学质量统一检测(一)数学试题答案(文科) 总分:150分 时量:120分钟一. 选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求请将答案填涂
7、在答题卡上.题号123456789101112答案CBDBCACABDAC二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡中对应题号后的横线上)13已知向量,若,则 . 14若满足约束条件,则的最大值为_615. 在锐角中,角的对边分别为,已知,,则的面积为 解:由正弦定理及,得,为锐角三角形,解得,.16. 已知是抛物线的焦点,为抛物线上的动点,且的坐标为,则的最小值是_. 三、解答题(共6小题,总计70分)17. (本题满分12分)设数列的前项和为,已知 .()求通项公式;()设 ,求数列的前项和.解:()相减得:-3分 又-6分()-8分-12分18. (本题满分1
8、2分)如图,平面平面,其中为矩形,为直角梯形,()求证:平面平面;()若三棱锥体积为,求与面BAF所成角的正弦值解:()证明:作,AD为两个面的交线6分 ()因为平面ABCD平面ADEF,ABAD,所以AB平面ADEF,所以|AB|=1, 连接BH,易知为线与面BAF所成的角,10分 在直角BDH中, 所以与面BAF所成角的正弦值为12分19. (本题满分12分)经过多年的努力,炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路,成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售,现从某村的黄桃树上随机摘下了个黄桃进行测重,其质量分布在区间内(单位:克),统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示:()按分
9、层抽样的方法从质量落在的黄桃中随机抽取个,再从这个黄桃中随机抽个,求这个黄桃质量至少有一个不小于克的概率;()以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该村的黄桃树上大约还有个黄桃待出售,某电商提出两种收购方案:所有黄桃均以元/千克收购;低于克的黄桃以5元/个收购,高于或等于克的以9元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.(参考数据:)解:()由题得黄桃质量在和的比例为,应分别在质量为和的黄桃中各抽取3个和2个.-2分记抽取质量在的黄桃为,质量在的黄桃为,则从这5个黄桃中随机抽取2个的情况共有以下种:-4分其中质量至少有一个不小于克的 7种情况,故所求概率为.-
10、6分()方案好,理由如下:由频率分布直方图可知,黄桃质量在的频率为同理,黄桃质量在的频率依次为-7分若按方案收购:黄桃质量低于克的个数为个黄桃质量不低于克的个数为个收益为元-8分若按方案收购:根据题意各段黄桃个数依次为,于是总收益为-9分(元)-11分方案的收益比方案的收益高,应该选择方案.-12分20. (本题满分12分)已知分别为椭圆C:的左、右焦点,点在椭圆上,且轴,的周长为6()求椭圆的标准方程;()过点的动直线与椭圆交于,两点,设为坐标原点,是否存在常数,使得恒成立?请说明理由解:()由题意, 的周长为, , 椭圆的标准方程为-5分 ()假设存在常数满足条件。(1)当过点的直线的斜率不存在时,当时,; -7分 (2)当过点的直线的斜率存在时,设直线的方程为,设,联立,化简得,. -8分 -9分,解得: 即时,;综上所述,当时, -12分 21. (本题满分12分) 已知函数(其中).()讨论的单调性;()若设是函数的两个极值点,若,且恒成立,求实数的取值范围。解:()的定义域为 -1分 (i)若,则.由