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1、高三教学质量检测 数学试题 2020 01 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡 相应位置上 考试结束 将答题卡交回 考试时间120分钟 满分 150分 注意事项 1 答卷前 考生务必将姓名 座号 准考证号填写在答题卡规定的位置上 2 第 I 卷每小题选出答案后 用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用 橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 答案不能答在试题卷上 3 第 卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置 不能写在试题卷上 如需改动 先划掉原的答案 然后再写上新的答案 不准使用涂改液 胶带纸 修正带 不按以
2、上要求作答的 答案无效 第 I 卷 选择题共 60分 一 选择题 本大题共8 小题 每小题5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 已知复数 2 i z z在复平面内对应的点分别为 1 12 2 1 1 0 1 z ZZ z 则 A 1iB 1 iC 1iD 1i 2 设aR 则 sincos 是 sin21 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 3 向量ab r r 满足1 2 2ababab uu ru u r rrrr 则向量ab rr 与的夹角为 A 45 o B 60 o C 90 o D 120
3、 o 4 已知数列 n a中 37 2 1aa 若 1 n a 为等差数列 则 5 a A 2 3 B 3 2 C 4 3 D 3 4 5 已知点2 4M在抛物线 2 20C ypx p上 点 M 到抛物线 C 的焦点的距离是 A 4 B 3 C 2 D 1 6 在ABC中 2 20ABACAD AEDEEBxAByAC uuu ruuu ruuu r u uu ru uu ru uu ruuu ruu u r 若 则 A 2yxB 2yxC 2xyD 2xy 7 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的左 右焦点分别为 12 F FO 为坐标原点 P 是双曲 线在第一象限上
4、的点 2 1212 2 2 0 PFPFmmPFPFm uu uu ruu uu ruuu r u uu u r 则双曲线C 的渐近线方程为 A 1 2 yxB 2 2 yxC yxD 2yx 8 已知奇函数fx是 R 上增函数 g xxfx则 A 23 32 3 1 log22 4 gggB 23 32 3 1 log22 4 ggg C 23 32 3 1 22log 4 gggD 23 32 3 1 22log 4 ggg 二 多项选择题 本题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 在每小题给出的四个选项中 有多项是符 合题目要求 全部选对的得5 分 部分选对的得3 分 有选错的0 分
5、9 如图 正方体 1111 ABCDA B C D的棱长为1 则下列四个命题正确的是 A 直线 BC 与平面 11 ABC D所成的角等于 4 B 点 C 到面 11 ABC D的距离为 2 2 C 两条异面直线 11 D CBC和所成的角为 4 D 三棱柱 1111 AA DBB C外接球半径为 3 2 10 要得到cos2yx的图象 1 C 只要将sin2 3 yx 图象 2 C怎样变化得到 A 将sin2 3 yx 的图象 2 Cx沿轴方向向左平移 12 个单位 B sin 2 3 yx 的图象 2 Cx沿轴方向向右平移 11 12 个单位 C 先作 2 Cx关于轴对称图象 3 C 再将
6、图象 3 Cx沿轴方向向右平移 5 12 个单位 D 先作 2 C关于轴对称图象 3 C 再将图象 3 Cx沿轴方向向左平移 12 个单位 11 已知集合 Mx yyfx 若对于 1122 xyMxyM 使得 1212 0 x xy y 成 立 则 称 集 合M是 互 垂 点 集 给 出 下 列 四 个 集 合 2 1 1Mx yyx 2 1Mx yyx 3 x Mx yye 4 sin1Mx yyx 其中是 互垂点 集 集合的为 A 1 MB 2 MC 3 MD 4 M 12 德国著名数学家狄利克雷 Dirichlet 1805 l859 在数学领域成就显著 19 世纪 狄利克雷定义 了一个
7、 奇怪的函数 1 0 R xQ yfx xC Q 其中 R 为实数集 Q 为有理数集 则关于函数fx 有如下四个命题 A 函数fx是偶函数 B 121212 R x xC Q fxxfxfx恒成立 C 任取一个不为零的有理数T fxTfx对任意的xR恒成立 D 不存在三个点 112233 A xfxB xfxC xfx 使得 ABC 为等腰直角三角形其 中真命题的个数是 第 II 卷 非选择题共 90 分 三 填空题 本题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 已知直线 22 02xyay与圆 O x相交于A B 两点 O 为坐标原点 且AOB为等 腰直角三角形 则实数a的值为 14 已
8、知直线2yx与曲线lnyxa相切 则a 的值为 l5 2019 年 7 月 中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录 标志着中华五千年文明史得到国际社 会认可 良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例 实证了中华五千年文明史 考古科学家在测定 遗址年龄的过程中利用了 放射性物质因衰变而减少 这一规律 已知样本中碳14 的质量 N 随时间 t 单位 年 的衰变规律满足 5730 0 2 T NN 0 N表示碳 14 原有的质量 则经过 5730 年后 碳 14 的 质量变为原的 经过测定 良渚古城遗址文物样本中碳14 的质量是原的 31 72 至 据此推 测良渚古城存在的时期距今约在5730 年到 年之
9、间 参考数据 lg2 0 3 lg 7 0 84 lg 3 0 48 本题第一空2 分 第二空3 分 16 已知ABC的顶点A 平面 点 B C 在平面异侧 且23ABAC 若 AB AC 与所成的角分别为 36 则线段BC 长度的取值范围为 四 解答题 本题共6 小题 共70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 l7 本小题满分10 分 已知 2cossin3 cos3fxxxx I 求函数fx的最小正周期及单调递减区间 II 求函数fx在区间 0 2 的取值范围 18 本小题满分12 分 在ABC a b c分别为内角A B C 的对边 且 222 8sin3abCbca 若 10
10、 5ac I 求 cosA 求ABC的面积 S 19 本小题满分l2 分 设数列 n a的前n项和为 n S 已知 11 1 21 nn aSSnN I 证明 1 n S为等比数列 求出 n a的通项公式 若n n n b a 求 n b的前n项和 n T 并判断是否存在正整数n使得 1 250 n n Tn 成立 若存 在求出所有n值 若不存在说明理由 20 本小题满分12 分 九章算术 是我国古代数学名著 它在几何学中的研究比西方早1000 多年 在 九章算术 中 将底面为直角三角形 且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵 qian du 阳马指底面为矩形 一侧棱垂 直于底面的四棱锥 鳖膈 bi
11、e nao 指四个面均为直角三角形的四面 体 如图在堑堵 111 ABCA B C中 ABAC I 求证 四棱锥 11 BA ACC为阳马 若 1 2C CBC 当鳖膈 1 CABC体积最大时 求锐二面角 11 CA BC的余弦值 21 本小题满分12 分 给定椭圆 22 22 10 xy Cab ab 称圆心在原点O 半径为 22 ab的圆是椭圆C 的 卫星圆 若椭圆 C 的离心率 2 2 点 2 2在 C 上 I 求椭圆 C 的方程和其 卫星圆 方程 点 P 是椭圆 C 的 卫星圆 上的一个动点 过点P 作直线 12 l l 使得 12 l l 与椭圆 C 与椭圆 C 都 只有一个交点 且
12、 12 l l 分别交其 卫星圆 于点M N 证明 弦长MN为定值 22 本小题满分12 分 已知函数ln2sin fxxxx fxfx为的导函数 I 求证 0fx 在 上存在唯一零点 求证 fx有且仅有两个不同的零点 高三数学试题参考答案2020 01 一 选择题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 答 案 D C C C A D D B A BD A BC B D C D 二 填空题 13 2 14 315 1 2 687616 7 13 三 解答题 17 解 由题意 化简得 2 2cossin3 2cos1 f xxxx sin 23cos2xx 2sin
13、 2 3 x 所以函数 f x 的最小正周期 3分 sinyxQ的减区间为 3 2 2 22 kkkZ 由 3 222 232 kxk 得 511 1212 kxk 所以函数 f x 的单调递增区间为 511 1212 kkkZ 6 分 因为 0 2 xQ 所以 4 2 333 x 所以22sin 2 3 3 x 所以函数 f x 在区间 0 2 上的取值范围是 2 3 10 分 18 解由题意得 222 8sin3 22 abCbca bcbc 由余弦定理得 4 sin 3cos aC A c 由正弦定理得4sin3cosAA 所以 3 tan 4 A ABC 中 4 cos 5 A 6 分
14、 由余弦定理 222 2cosabcbc A得 2 8150bb 解得3b或5b 9 分 3 tan 4 AQ 3 sin 5 A 由 1 sin 2 SbcA得 15 2 S或 9 2 S 12 分 19 解 1 21 nn SSQ 1 12 1 nn SS nN 1 n S 为等比数列 2 分 1 12SQ 公比为2 12 n n S 21 n n S 1 1 21 n n S 当2n时 1 1 2 n nnn aSS 1 1a 也满足此式 1 2 n n a 5 分 1 2 n n n nn b a 011 12 222 n n n T 12 112 2222 n n n T两式相减得
15、011 11112 2 222222 n nnn nn T 1 2 4 2 n n n T 9 分 代入 1 250 n nTn 得 2 260 n n 10 分 令 226 x f xx 1 x 2 ln 210 x fx在1 x成立 226 x f xx 1 x为增函数 11 分 有 5 4 0ff 所以不在正整数使得 1 250 n n Tn 成立 12分 20 解 1 A AQ底面 ABC AB面 ABC 1 A AAB 2 分 又 AB AC 1A A ACAI AB面 11 ACC A 4 分 又四边形 11 ACC A为矩形 四棱锥 11 BA ACC为阳马 5 分 ABACQ
16、2BC 22 4ABAC 又 1 A AQ底面 ABC 1 1 11 32 CABC VC CAB AC 22 112 3323 ABAC AB AC 当且仅当 2ABAC 时 1 1 3 CABC VAB AC取最大值 7 分 ABACQ 1 A A 底面 ABC 以A为原点 建立如图所示空间直角坐标系 8 分 2 0 0 B 0 2 0 C 1 0 0 2 A 1 2 0 2 A B uuu r 2 2 0 BC uu u r 11 0 2 0 AC uuu u r 设面 1 A BC的一个法向量 1111 nx y z u r 由 11 1 0 0 nAB nBC u ruuu r u ruu u r得 1 22 1 n u r 9 分 同理得 2 2 0 1 n u u r 10 分 12 12 12 15 cos 5 nn n n nn u r u u r u r u u r uru u r A A1 A B C A C1 y 二面角 11 CA BC 的余弦值为 15 5 12分 21 解 由条件可得 22 2 2 42 1 c a ab 解得22 2ab 所以椭圆的方程为
