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1、遂 宁 市 高 中 2020 届 零 诊 考 试 数学 文科 试题 本试卷分第I 卷 选择题 和第II卷 非选择题 两部分 总分150 分 考试时间120 分钟 第 卷 选择题 满分60 分 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 班级 考号用0 5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上 并 检查条形码粘贴是否正确 2 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上 非选择题用0 5 毫米黑色墨水签字笔 书写在答题卡对应框内 超出答题区域书写的答案无效 在草稿纸 试题卷上答题无效 3 考试结束后 将答题卡收回 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每个小题给出的
2、四个选项中 只有一个 是符合题目要求的 1 设集合2 0A 2 0 1B 则BA A 0 B 1 2 C 2 0 D 2 1 0 2 2 复数ai 1 是实数 其中i为虚数单位 则实数等于 A 1 B 1 C 0 D 2 3 240cos A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 4 在等差数列 n a中 0 2 a 4d 则 5 a A 25B 12 C 16D 8 5 函数 01 1 ln 10 1 ln 2 2 x x xx x x xx xf的图象大致为 A B C D 6 在等比数列 na中 公比为 q 且 1 3 q 5成等差数列 则 31 64 4 log aa aa A
3、5 1 B 4 1 C 3 1 D 2 1 7 若正数m n 满足21mn 则 nm2 1 2 1 的最小值为 A 21 B 2 2 3 C 22 D 2 3 8 宋元时期 中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有 秦 九韶 李 冶 杨 辉 朱 世杰 四大家 朱世杰就是其中之一 朱世杰是一位平民数学家和数学教育家 朱世杰平生勤力研习 九章算术 旁通其它各种算法 成为元代著名数学家 他全 面继承了前人数学成果 既吸收了北方的天元术 又吸收了南方 的正负开方术 各种日用算法及通俗歌诀 在此基础上进行了创 造性的研究 写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的 算 学启蒙 其中有关于 松竹并生 的问题 松长四
4、尺 竹长两 尺 松日自半 竹日自倍 松竹何日而长等 如图 是于其思想 的一个程序框图 若输入的a b分别为3 1 则输出的n A 2 B 3 C 4 D 5 9 如图所示 函数 sin 2 f xx的图象过点 0 6 若将fx的图象上所有 点向右平移 6 个单位长度 然后再向上平移 1个单位长度 所得图象对应的函数为 xg 则 0 g A 2 3 1 B 2 3 1 C 2 3 1 或 2 3 1 D 2 3 10 若函数x m xf x x tan 12 2 的定义域为 1 1 且0 0 f 则满足 1 12 mxfxf 的实数x的取值范围是 A 1 0 B 1 0 C 1 2 D 0 1
5、11 如图 在 ABC中 ACAD 8 5 PDBP 5 2 若APABAC uuu ruuu ru uu r 则的值为 A 11 12 B 28 25 C 4 1 D 14 13 12 已知 fx 是定义在 上 且满足0 xfxf的函数 当0 x时 lnfxxx 若 函数 g xfxa 有 2 个不同的零点 则实数的取值范围是 A 11 UB 1 1 C 11 UD 1 1 第 卷 非选择题 满分90 分 注意事项 1 请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第 卷答题卡上作答 不能答在此试卷上 2 试卷中横线及框内注有 的地方 是需要你在第 卷答题卡上作答 本卷包括必考题和选考题两部分 第13 题至第 21
6、 题为必考题 每个试题考生都作答 第22 23 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共4 个小题 每小题5 分 共 20 分 13 已知向量 1 2 a 向量 2 1 b 则 ba 14 已知函数fx的导函数为 fx 且满足关系式 3 2 lnf xxfx 则 1 f的值等于 15 已知 ABC 的内角 CA B的对边分别为a b c 且 sinsin2 sinsinaAbBbAcC 则角C 16 对于函数 xf 若在定义域内存在实数 0 x满足 00 xfxf 则称函数 xf为 倒戈函 数 设123 mxf x Rm 且 0m 是定义在 1 1 上的 倒戈函数 则实数 m的 取值
7、范围是 三 解答题 本大题共70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分12 分 已知函数 6 log 1 2 2 xx x x xf 1 求 1 f的值 2 求函数fx的定义域M 若实数aM 且Ma 1 求 a的取值范围 18 本小题满分12 分 已知等比数列 n a 的前 n项和为 n S 且342 2aaa 22 22 aS 1 求等比数列 n a的通项公式 2 若数列 n a为递增数列 数列 n b是等差数列 且2 2 b 4 4 b 数列 12 1 log nn ba 的前n项和为 n T 求 n T 19 本小题满分12 分 设函数bxaxxxf 23 且2
8、1 f 2 2 f 1 求函数 xf的单调递增区间和单调递减区间 2 若过点 2 1 mmM可作曲线 yf x的三条切线 求实数m的取值范围 20 本小题满分12 分 已知向量 sin63 sinxxa 向量 2cos 2sin1 bxx r 10 函数 baxf 直线 6 5 x是函数 xf 图象的一 条对称轴 1 求函数 xf 的解析式及单调递增区间 2 设 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 且3c sin2sinBA 锐 角C满足2 4 Cf 求 22 ab 的值 21 本小题满分12 分 已知函数1 2 1 sin 2 xxexf x 1 求曲线 xfy在点 0 0 f处的
9、切线方程 2 若函数1sin ln xexfxxaxg x 有两个极值点 1 x 2 x 21 xx 且不等式 2121 xxxgxg恒成立 求实数的取值范围 请考生在第22 23 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 本小题满分10 分 选修4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 曲线 1 C的参数方程为 sin cos1 y x 为参数 以坐标原点O为极 点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 2 C的极坐标方程为1 直线 l的极坐标方程为 4 R 1 求 曲线 1 C的普通方程 曲线 2 C与直线l交点的直角坐标 2 设点M的极坐标为 3 6 点N是曲线 1
10、C上的点 求 MON面积的最大值 23 本小题满分10 分 选修4 5 不等式选讲 已知函数2 xxf 1 解不等式 1 4 xfxf 2 若函数 3 4 g xxx与函数 2 2 xfxfmy的图象恒有公共点 求实数 m的取值范围 遂 宁 市 高 中 2020 届 零 诊 考 试 数学 文科 试题参考答案及评分 意见 一 选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C B B A D B C A D B A 二 填空题 13 0 14 4 3 15 3 4 16 1 0 3 三 解答题 17 1 因为 6 log 1 2 2 xx x x xf 所以2 2 2
11、 4log 11 1 1 2 f 即 1 f的 值为 2 2 2 4 分 2 由题意有 06 01 2 xx x 21 23 1 x x x 所以 2 1 M 8 分 由 可 有 11 12 21 211 21 a a a a a 即a的 取 值 范 围 是 1 1 12 分 18 1 等比数列 n a 中 342 2aaa 则 2 20qq 所以 2q 或1 2 分 因为 22 22Sa 所以122 22aaa 所以 2 11 qaa 当2q 时 1 2a 此时 2 n n a 4 分 当1q时 1 1 a 此时 n n a 1 6 分 2 因为数列 na为递增数列 所以 2 n n a 数
12、列 n b是等差数列 且2 2 b 4 4 b 设 公差为d 则有2242 24 dbb 所以 1d 所以nndnbbn1 2 2 2 2 即nbn 8 分 所以 1 11 1 1 log 1 21 nnnn b n a n 所以 1 11 1 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 nnnn Tn 11 1 1 n n n 即 n T 1n n 12 分 19 1 因为2 1 f 0 3 f 所以 3 0 2248 21 b a ba ba 2 分 故xxxf3 3 则 1 1 3 xxxf 3 分 由10 xxf或1x 由110 xxf 5 分 所以 xf的单调递增区间为1 1
13、 单调递减区间为1 1 6 分 2 过点 1 mM向曲线 xfy作切线 设切点为 00 yx 则由 1 知 0 3 00 3xxy 33 2 00 xxfk切 则切线方程为 33 3 0 2 00 3 0 xxxxxy 把点 1 mM代入整 理得 0332 2 0 3 0 mxx 8 分 因为过点 2 1 mmM可作曲线 yf x的三条切线 所以方程有三个不同的实 数根 设 322 233 666 1 g xxxmgxxxx x 令 0 0g xx或1x 则 x g x g x的变化情况如下表 当0 xg x有极大值 3 1 mxg x有极小值2m 由 g x 的简图知 当且仅当 0 0 1
14、0 g g 即23 02 03 m m m 函数 g x有三个不同零点 过点M 可作三条不同切线 所以若过点 1 mM可作曲线 yf x的三条不同切线 则m的取值范围是 3 2 12 分 20 1 3 2sin 22cos32sin xxxbaxf 2 分 直线 6 5 x是函数 xf 图象的一条对称轴 236 5 2k Zk 2 1 5 3k Zk 1 0 2 1 0k 3 sin 2 xxf 4分 由 2 2 32 2kxk 得 6 5 2 6 2kxk Zk 单调递增区间为 6 5 2 6 2 kk Zk 6 分 x 0 0 0 1 1 1 g x 00 g x Z 极大 极小 Z 2
15、由2 4 Cf 得 2 34 sin 2C 即 2 2 12 sin C 因为C为锐角 所以 12 5 1212 C 所以 412 C 即 3 C 8 分 又sin2sinBA 所以由正弦定理得2 b a 9 分 由余弦定理 得 222 2cos 3 cabab 即 22 3abab 10 分 由 解得 3 22 ab 12 分 21 1 因为1 2 1 sin 2 xxexf x 所以xxexexf xx cossin 1 分 所 以1 0 fk切 又1 0 f 故 所 求 的 切 线 方 程 为 0 11xy 即 01yx 4 分 2 因为1sin ln xexfxxaxg x2 2 1
16、lnxxxa 所以 0 2 x x aaxx xg 5 分 由题意0 xg有两个不同的正根 即0 2 aaxx有两个不同的正根 则4 0 0 04 21 21 2 a axx axx aa 7 分 不等式 2121 xxxgxg恒成立等价于 a xgxg xx xgxg 21 21 21 恒成立 又 2 222 2 11121 2 1 ln 2 1 ln xxxaxxxaxgxg 2 1 ln ln 2 2 2 12121 xxxxaxxa 2 2 1 ln 21 2 212121 xxxxxxaxxa 2 2 1 ln 22 aaaaaaaaa 2 2 1 ln所以 1 2 1 ln 21 21 aa xx xgxg 10 分 令1 2 1 lnaay 4a 则0 2 11 a y 所以1 2 1 lnaay在 4 上单调递减 11 分 所以32ln2y 所以32ln2 12 分 22 本小题满分10 分 1 因为 sin cos1 y x 又 1cossin 22 所以1 1 22 yx 即曲线 1 C的普通方程为1 1 22 yx 2 分 由 222 yx得曲线 2 C的直角坐标
