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1、成都石室中学2020 届上学期 10 月月考 数学试卷 文科 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求的 1 已知集合 1 2 0 0 MxxxNx x 则 A NMB MNC M N D MNRU 2 已知 i 为虚数单位 则 232019 iiiiL 等于 A i B 1C iD 1 3 已知命题p 2 0 2310 xxx 命题q 若0 x 则 2 2310 xx 则以下命题 正确的为 A p的否定为 2 0 2310 xxx q的否命题为 若0 x 则 2 2310 xx B p的否定为 2 0 2310 xxx q的否命题为 若
2、0 x 则 2 2310 xx C p的否定为 2 0 2310 xxx q的否命题为 若0 x 则 2 2310 xx D p的否定为 2 0 2310 xxx q的否命题为 若0 x 则 2 2310 xx 4 已知 n a是公差为 1 2 的等差数列 n S为 n a的前n项和 若 2614 aaa成等比数列 则 5 S A 35 2 B 35C 25 2 D 25 5 中国古代数学著作 算学启蒙 中有关于 松竹并生 的问题 松长五尺 竹长 两尺 松日自半 竹日自倍 松竹何日而长等 意思是现有松树高 5尺 竹子高 2尺 松树每天长自己高度的一半 竹子每天长自己高度的一倍 问在第几天会 出
3、现松树和竹子一般高 如图所示是于其思想的一个程序框图 若输入的5x 2y 输出的4n 则程序框图中的中应填 A xyB yx C yx D x y 6 设函数 2 1 1 2 x x f x x x 则满足 1 2 ffafa的 a的取值范围是 A 0B 0 2 C 2 D 02 7 若直线42yk x与曲线 2 4yx有两个交点 则k的取值范围是 A 1 B 3 1 4 C 3 1 4 D 1 8 已知 2ln3a 3ln 2b 6 c e 其中e是自然对数的底数 则 a b c的大小关系为 A a cb B b ca C c ab D c ba 9 已知 0 2sin 2cos21 2 则
4、sin等于 A 5 5 B 1 5 C 3 3 D 2 5 5 10 函数xxxxxfsin 1 2 的零点的个数是 A 1B 2C 3D 4 11 已知双曲线 22 22 1 xy C ab 0 0ab 的焦距为 4 其与抛物线 2 3 3 Eyx交于 A B两 点 O为坐标原点 若OAB 为正三角形 则 C的离心率为 A 3 2 B 2 2 C 3 D 2 12 已知函数 sin fxx 其中 0 2 4 p 为 f x 的零点 且 4 f xf 恒 成立 f x 在区间 12 24 上有最小值无最大值 则的最大值是 A 11 B 13C 15D 17 二 填空题 本大题共4 小题 每小题
5、5 分 共 20 分 13 已知数列 n a满足 1 1a 1 1 lglg 2 nn aa 则5a 14 已知 1 1 2 1 1 2 3 2 2 若幂函数 f xx 为奇函数 且在0 上递 减 则 15 已知球O的内接圆锥体积为 2 3 其底面半径为 1 则球O的表面积为 16 已知抛物线 C 2 0 2 ypx p 的焦点为 F 且 F 到准线l的距离为 2 直线 1 50lxmy 与抛物线 C交于 P Q两点 点P在 x轴上方 与准线 l交于点R 若3QF 则 QRF PRF S S 三 解答题 共70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分12 分 在 ABC中
6、 D是BC上的点 AD平分 BAC sin 2sinCB 求 BD CD 若 1ADAC 求 BC的长 18 本小题满分12 分 随着经济的发展 个人收入的提高 自 2018 年 10 月 1 日起 个人所得税起征点和税率的调整 调整如 下纳税人的工资 薪金所得 以每月全部收入额减除5000 元后的余额为应纳税所得额 依照个人所得 税税率表 调整前后的计算方法如下表 个人所得税税率表 调整前 个人所得税税率表 调整后 免征额 3500 元免征额 5000 元 级 数 全月应纳税所得额税率 级 数 全月应纳税所得额税率 1 不超过 1500 元的部分3 1 不超过 3000 元的部分3 2 超过
7、 1500 元至 4500 元的部 分 10 2 超过 3000 元至 12000 元的部分10 3 超过 4500 元至 9000 元的部 分 20 3 超过 12000 元至 25000 元的部 分 10 假如小李某月的工资 薪金所得等税前收入总和不高于8000 元 记x表示总收入 y表示应 纳的税 试写出调整前后y关于x的函数表达式 某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100 个不同层次员工的税前收入 并 制成下面的频数分布表 收入 元 3000 5000 5000 70007000 90009000 1100011000 13000 13000 15000 人数30 40
8、10 8 7 5 先从收入在3000 5000及 5000 7000 的人群中按分层抽样抽取7 人 再从中选2 人作为新纳税法 知识宣讲员 求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率 小李该月的工资 薪金等税前收入为7500 元时 请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比 调整前增加了多少 19 本小题满分12 分 如图 在四棱锥 PABCD中 ADBC 1 2 ABBCCDAD G是PB的中点 PAD 是等边三角形 平面 PAD 平面 ABCD 求证 CD 平面 GAC 求三棱锥 DGAC与三棱锥PABC的体积之比 20 本小题满分12 分 已知函数 2 11 e x axx fx e为自然对数的底
9、数 讨论函数fx的单调性 求证 当 3ea 时 对0 x 1fx 21 本小题满分12 分 已知椭圆 22 22 10 xy Cab ab 过点0 1A 且椭圆的离心率为 6 3 求椭圆C的方程 斜率为1的直线l交椭圆C于 1122 Mx yN xy两点 且 12 xx 若直线3x上存在点P 使得PMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形 求直线l的方程 22 本小题满分10 分 在平面直角坐标系xOy中 圆C 2 2 44xy 以原点O为极点 x轴的正半轴为极轴 建立 极坐标系 求圆心C的极坐标 从原点O作圆C的弦 求弦的中点轨迹的极坐标方程 成都石室中学2019 2020 学年度上期高2020
10、 届 10 月月考 数学试卷 文科 答案 一 选择题 B D B C A D C C A B D C 二 填空题 13 100 14 1 15 25 4 16 6 7 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分12 分 解 由正弦定理可得在ABD 中 sinsin ADBD BBAD 在ACD 中 sinsin ADCD CCAD 3 分 又因为BADCAD sin 2 sin BDC CDB 6分 sin2sinCB 由正弦定理得22ABAC 设 DC x 则 2BDx 则 2222 54 coscos 24 ABADBDx BADCAD AB AD
11、2222 2 22 ACADCDx AC AD 9 分 因为BADCAD 所以 22 542 42 xx 解得 2 2 x 3 2 3 2 BCx 12分 18 本小题满分12 分 解 调整前 y关于x的表达式为 0 3500 35000 03 35005000 4550000 1 50008000 x yxx xx 调整后 y关于x的表达式为 0 5000 50000 03 50008000 x y xx 4分 由频数分布表可知从3000 5000及 5000 7000 的人群中按分层抽样抽取7 人 其中 3000 5000 中占 3 人 分别记为 A B C 5000 7000 中占 4
12、人 分别记为 1 2 3 4 再从这 7 人中选 2 人的所有组合有 AB AC 1A 2A 3A 4A BC 1B 2B 3B 4B 1C 2C 3C 4C 12 13 14 23 24 34 共 21种情况 7分 其中不在同一收入人群的有 1A 2A 3A 4A 1B 2B 3B 4B 1C 2C 3C 4C 共 12 种 所以所求概率为 124 217 P 10分 由于小红的工资 薪金等税前收入为7500 元 按调整起征点前应纳个税为1500 3 2500 10 295元 按调整起征点后应纳个税为2500 3 75元 由此可知 调整起征点后应纳个税少交220 元 即个人的实际收入增加了2
13、20 元 所以小红的实际收入增加了220 元 12 分 19 本小题满分12 分 解 证明 取AD的中点为 O 连接 OP OC OB 设OB交 AC 于H 连接 GH ADBC 1 2 ABBCCDAD 四边形 ABCO与四边形 OBCD 均为菱形 OBAC OBCDP CDAC PADQV等边三角形 O为AD中点 POAD 3分 平面PAD平面 ABCD且平面 PADI 平面 ABCDAD PO平面PAD且 POAD PO平面 ABCD CDQ平面 ABCD POCD HQ G 分别为OB PB中点 GHPO GHCD 7分 又GHACHQ CD 平面 GAC 8 分 2 D GACGAD
14、CGADC PABCPABCGABC VVV VVV 1 1 22 ADC ABC SAD SBC 12 分 20 本小题满分12 分 解 2 1 e x xaxa fx 1 e x xxa 2分 由 0fx 得1x或x a 当1a时 0fx 函数 fx 在 内单调递增 3 分 当1a时 函数 fx 在 a 1 内单调递增 在 1a 内单调递减 4分 当 1a 时 函数 fx 在 1 a 内单调递增 在 1 a 内单调递减 5 分 证明 要证0 x 1fx 即证0 x min 1fx 由 可知 当 1a 0 x 时 min min0 fxff a 0 1f 1 e a a fa 设 1 e a
15、 a g a 1a 则0 e a a ga g a 在 1 单调递增 故 2 11 e g ag 即 1f a min 1fx 8 分 当 1a 时 函数 fx 在 0 单调递增 min 01fxf 9 分 当 3e1a 时 由 1 可知 0 x 时 min min0 1fxff 又 01fQ 3e3 3 11 ee a f min 1fx 综上 当3ea时 对 0 x 1fx 12 分 21 本小题满分12 分 解 由题意得 222 1 6 3 b c a abc 3 分 解得 2 3a 所以椭圆C的方程为 2 2 1 3 x y 4 分 设直线 l的方程为 yxm 3 P Py 由 2 2 1 3 x y yxm 得 22 46330 xmxm 6分 令 22 3648480mm 得22m 12 3 2 xxm 2 12 3 1 4 x xm 7 分 因为PMN是以PMN为顶角的等腰直角三角形 所以NP平行于x轴 8分 过M做NP的垂线 则垂足 Q为线段 NP的中点 设点Q的坐标为 QQ xy 则 2 1 3 2 QM x xxx 由方程组 12 2 12 2 1 3 2 3 1 4 3 2 xxm x xm x x 解得 2 210mm 即1m 而12 2m 所以直线l的方程为1yx 12分 22 本小题满分 10 分 解 4 2 3分 4sin 7 分 2 33 10分
