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1、第八章平面解析几何 第一节直线的倾斜角与斜率 直线的方程 1 直线的倾斜角 1 定义 当直线l 与轴相交时 取轴作为基准 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角 叫做直线l 的倾斜角 当直线l 与轴平行或重合时 规定它的倾斜角为0 2 范围 直线l 倾斜角的取值范围是 0 2 斜率公式 1 直线 l 的倾斜角为 2 则斜率 tan 2 P1 1 y1 P2 2 y2 在直线 l 上 且1 2 则 l 的斜率 y2 y1 x2 x1 3 直线方程的五种形式 名称几何条件方程适用范围 斜截式纵截距 斜率y b 与轴不垂直的直线 点斜式过一点 斜率y y0 0 两点式过两点 y y1 y2 y1 x
2、x1 x2 x1 与两坐标轴均不垂直的直 线 截距式纵 横截距 x a y b 1 不过原点且与两坐标轴均 不垂直的直线 一般式A By C 0 A 2 B2 0 所有直线 4 线段的中点坐标公式 若点P1 P2的坐标分别为 1 y1 2 y2 线段P1P2的中点M 的坐标为 y 则 x x1 x2 2 y y1 y2 2 此公式为线段P1P2的中点坐标公式 小题体验 1 设直线l 过原点 其倾斜角为 将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45 得到 直线 l1 则直线 l1的倾斜角为 A 45 B 135 C 135 D 45 或 135 解析 选 D由倾斜角的取值范围知 只有当0 45 18
3、0 即 0 135 时 l1 的倾斜角才是 45 而 0 180 所以当135 180 时 l1的倾斜角为 135 故 选 D 2 下列说法中正确的是 A y y1 x x1 表示过点 P1 1 y1 且斜率为的直线方程 B 直线 y b 与 y 轴交于一点B 0 b 其中截距b OB C 在轴和y 轴上的截距分别为a 与 b 的直线方程是 x a y b 1 D 方程 2 1 y y1 y2 y1 1 表示过点P1 1 y1 P2 2 y2 的直线 解析 选 D对于 A 直线不包括点P1 故 A 不正确 对于 B 截距不是距离 是B 点的纵坐标 其值可正可负 故B 不正确 对于C 经过原点的
4、直线在两坐标轴上的截距都 是 0 不能表示为 x a y b 1 故 C 不正确 对于 D 此方程为直线两点式方程的变形 故D 正确 故选D 3 2018 嘉兴检测 直线 l1 y 2 0 在轴上的截距为 若将 l1绕它与 y 轴的 交点顺时针旋转90 则所得到的直线l2的方程为 解析 对于直线l1 y 2 0 令 y 0 得 2 即直线 l1在轴上的截距为 2 令 0 得 y 2 即 l1与 y 轴的交点为 0 2 直线 l1的倾斜角为 135 直线l2的倾斜 角为 135 90 45 l2的斜率为 1 故 l2的方程为y 2 即 y 2 0 答案 2 y 2 0 1 点斜式 斜截式方程适用
5、于不垂直于轴的直线 两点式方程不能表示垂直于 y 轴的 直线 截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线 2 截距不是距离 距离是非负值 而截距可正可负 可为零 在与截距有关的问题中 要注意讨论截距是否为零 3 求直线方程时 若不能断定直线是否具有斜率时 应注意分类讨论 即应对斜率是 否存在加以讨论 小题纠偏 1 直线 cos 3y 2 0 的倾斜角的范围是 A 6 2 2 5 6 B 0 6 5 6 C 0 5 6 D 6 5 6 解析 选 B设直线的倾斜角为 则 tan 3 3 cos 又 cos 1 1 所以 3 3 tan 3 3 又 0 且 y tan 在 0 2 和 2 上均为增
6、函数 故 0 6 5 6 故选 B 2 过点 5 10 且到原点的距离为5 的直线方程是 解析 当斜率不存在时 所求直线方程为 5 0 满足题意 当斜率存在时 设其为 则所求直线方程为y 10 5 即 y 10 5 0 由距离公式 得 10 5k k2 1 5 解得 3 4 故所求直线方程为3 4y 25 0 综上知 所求直线方程为 5 0 或 3 4y 25 0 答案 5 0 或 3 4y 25 0 考点一直线的倾斜角与斜率基础送分型考点 自主练透 题组练透 1 若直线 l 经过 A 2 1 B 1 m2 m R 两点 则直线 l 的倾斜角 的取值范围是 A 0 4 B 2 C 4 2 D
7、2 3 4 解析 选 C因为直线l 的斜率 tan 1 m2 2 1 m 2 1 1 所以 4 2 故倾斜角 的取值范围是 4 2 2 经过P 0 1 作直线 l 若直线l 与连接A 1 2 B 2 1 的线段总有公共点 则 直线 l 的斜率和倾斜角 的取值范围分别为 解析 如图所示 结合图形 若l 与线段 AB 总有公共点 则 PA PB 而PB 0 PA 0 故 0 时 倾斜角 为钝角 0 时 0 0 时 为锐角 又 PA 2 1 1 0 1 PB 1 1 2 0 1 1 1 又当 0 1 时 0 4 当 1 0时 3 4 故倾斜角 的取值范围为 0 4 3 4 答案 1 1 0 4 3
8、4 3 若 A 2 2 B a 0 C 0 b ab 0 三点共线 求 1 a 1 b的值 解 AB 0 2 a 2 2 a 2 AC b 2 0 2 b 2 2 且 A B C 三点共线 AB AC 即 2 a 2 b 2 2 整理得ab 2 a b 将该等式两边同除以2ab 得 1 a 1 b 1 2 谨记通法 1 倾斜角与斜率的关系 当 0 2 且由 0 增大到 2 2 时 的值由0 增大到 当 2 时 也是关于 的单调函数 当 在此区间内由 2 2 增大到 时 的值由 趋近于0 0 2 斜率的 3 种求法 1 定义法 若已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数值 一般根据 tan 求斜率
9、2 公式法 若已知直线上两点A 1 y1 B 2 y2 一般根据斜率公式 y2 y1 x2 x1 1 2 求斜 率 3 方程法 若已知直线的方程为A By C 0 B 0 则 l 的斜率 A B 考点二直线的方程重点保分型考点 师生共研 典例引领 求适合下列条件的直线方程 1 经过点 4 1 且在两坐标轴上的截距相等 2 经过点 1 3 倾斜角等于直线y 3 的倾斜角的2 倍 3 经过点 3 4 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形 解 1 设直线方程在 y 轴上的截距均为a 若 a 0 即直线方程过点 0 0 和 4 1 直线方程为y 1 4 即 4y 0 若 a 0 则设直线方程为 x a
10、y a 1 直线方程过点 4 1 4 a 1 a 1 解得 a 5 直线方程为 y 5 0 综上可知 所求直线的方程为 4y 0 或 y 5 0 2 由已知 设直线y 3 的倾斜角为 则所求直线的倾斜角为2 tan 3 tan 2 2tan 1 tan 2 3 4 又直线经过点 1 3 因此所求直线方程为y 3 3 4 1 即 3 4y 15 0 3 由题意可知 所求直线的斜率为 1 又过点 3 4 由点斜式得y 4 3 即所求直线的方程为 y 1 0 或 y 7 0 由题悟法 求直线方程的2 个注意点 1 在求直线方程时 应选择适当的形式 并注意各种形式的适用条件 2 对于点斜式 截距式方程
11、使用时要注意分类讨论思想的运用 若采用点斜式 应先考 虑斜率不存在的情况 若采用截距式 应判断截距是否为零 即时应用 求适合下列条件的直线方程 1 经过点A 3 3 且倾斜角为直线3 y 1 0 的倾斜角的一半的直线方程为 2 过点 2 1 且在轴上的截距与在y 轴上的截距之和为6 的直线方程为 解析 1 由3 y 1 0 得此直线的斜率为 3 所以倾斜角为120 从而所求直线的倾斜角为60 所以所求直线的斜率为3 又直线过点A 3 3 所以所求直线方程为y 3 3 3 即3 y 6 0 2 由题意可设直线方程为 x a y b 1 则 a b 6 2 a 1 b 1 解得 a b 3 或 a
12、 4 b 2 故所求直线方程为 y 3 0 或 2y 4 0 答案 1 3 y 6 0 2 y 3 0 或 2y 4 0 考点三直线方程的综合应用题点多变型考点 多角探明 锁定考向 直线方程的综合应用是常考内容之一 它常与函数 导数 不等式 圆相结合 命题多 为客观题 常见的命题角度有 1 与基本不等式相结合的最值问题 2 与导数的几何意义相结合的问题 3 由直线方程解决参数问题 题点全练 角度一 与基本不等式相结合的最值问题 1 过点 P 2 1 作直线 l 与轴和y 轴的正半轴分别交于A B 两点 求 1 AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程 2 直线 l 在两坐标轴上截距之和的最小值
13、及此时直线l 的方程 3 PA PB 的最小值及此时直线l 的方程 解 1 设直线 l 的方程为y 1 2 则可得 A 2 1 k 0 B 0 1 2 直线 l 与轴 y 轴正半轴分别交于A B 两点 2k 1 k 0 1 2k 0 得 0 S AOB 1 2 OA OB 1 2 2 1 k 1 2 1 2 4 1 k 4k 1 2 4 2 1 k 4k 4 当且仅当 1 k 4 即 1 2时 AOB 的面积有最小值 4 此时直线l 的方程为y 1 1 2 2 即 2y 4 0 2 A 2 1 k 0 B 0 1 2 0 截距之和为2 1 k 1 2 3 2 1 k 3 2 2k 1 k 3
14、22 当且仅当 2 1 k 即 2 2 时等号成立 故截距之和的最小值为3 2 2 此时直线l 的方程为y 1 2 2 2 即 2y 2 2 0 3 A 2 1 k 0 B 0 1 2 0 PA PB 1 k2 1 4 4k 2 2 1 k k 4 当且仅当 1 k 即 1 时上式等号成立 故 PA PB 的最小值为4 此时直线l 的方程为y 1 2 即 y 3 0 角度二 与导数的几何意义相结合的问题 2 设 P 为曲线 C y 2 2 3 上的点 且曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为 0 4 则点 P 横坐标的取值范围为 A 1 1 2 B 1 0 C 0 1 D 1 2 1
15、解析 选 A由题意知y 2 2 设 P 0 y0 则 20 2 因为曲线C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为 0 4 所以 0 1 即 0 20 2 1 故 1 0 1 2 角度三 由直线方程解决参数问题 3 已知直线l1 a 2y 2a 4 l2 2 a2y 2a2 4 当 0 a 2 时 直线 l1 l2与两坐 标轴围成一个四边形 当四边形的面积最小时 求实数a 的值 解 由题意知直线l1 l2恒过定点 P 2 2 直线 l1在 y 轴上的截距为2 a 直线 l2在轴 上的截距为a2 2 所以四边形的面积S 1 2 2 a 2 1 2 a 2 2 2 a2 a 4 a 1 2 2 15
16、 4 当 a 1 2时 四边形的面积最小 故 a 1 2 通法在握 处理直线方程综合应用的2 大策略 1 含有参数的直线方程可看作直线系方程 这时要能够整理成过定点的直线系 即能够 看出 动中有定 2 求解与直线方程有关的最值问题 先求出斜率或设出直线方程 建立目标函数 再利 用基本不等式求解最值 演练冲关 1 设 m R 过定点A 的动直线 my 0 和过定点B 的动直线m y m 3 0交于点 P y 则 PA PB 的最大值是 解析 易求定点A 0 0 B 1 3 当 P 与 A 和 B 均不重合时 因为P 为直线 my 0 与 m y m 3 0的交点 且易知两直线垂直 则PA PB 所以 PA 2 PB 2 AB 2 10 所 以 PA PB PA 2 PB 2 2 5 当且仅当 PA PB 5时 等号成立 当 P 与 A 或 B 重合时 PA PB 0 故 PA PB 的最大值是5 答案 5 2 已知直线l y 1 2 0 R 1 证明 直线l 过定点 2 若直线 l 不经过第四象限 求的取值范围 3 若直线 l 交轴负半轴于点A 交 y 轴正半轴于点B O 为坐标原点 设
