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1、2020 年 2 月高三数学练习卷 二 理 参考答案与试题解析 一 选择题 共16 小题 1 已知集合A 2 4 5 0 则 A B A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 解答 解 2 4 5 2 2 1 0 集合 A R 且 B 2 3 A B 2 3 故选 C 点评 本题考查了分式不等式 一元二次不等式的解法 描述法 区间的定义 交集的运算 考查了计算能力 属于基础题 2 已知复数满足 1 2i 3 4i i 是虚数单位 则的共轭复数 A 1 2iB 1 2iC 1 2iD 1 2i 解答 解 由 1 2i 3 4i 5 得 故选 A 点评 本题考查复数代数形式的乘除运算化简 考查复数的
2、基本概念 是基础题 3 已知命题p R sin cos 2 则 p 为 A 0 R sin0 cos0 2B R sin cos 2 C R sin cos 2D 0 R sin0 cos0 2 解答 解 命题p R sin cos 2 则 p 为 0 R sin0 cos0 2 故选 D 点评 本题考查了全称命题的否定是特称命题问题 是基础题 4 已知实数 y 满足则 3 y 的最小值为 A 1B 3C 5D 11 解答 解 由约束条件足作出可行域如图 化目标函数 3 y 为 y 3 联立 由图可知 当直线y 3 过 B 2 3 时 直线在y 轴上的截距最小 有最小值 为 3 故选 B 点评
3、 本题考查简单的线性规划 考查数形结合的解题思想方法 是中档题 5 记 Sn为正项等比数列 an 的前 n 项和 若 a1 1 4a3 a5 则 S10 A 512B 511C 1023D 1024 解答 解 由 4a3 a5可得 q2 4 q 0 所以 q 2 由等比数列的求和公式可得 S10 1023 故选 C 点评 本题主要考查了等比数列的求和公式及性质的简单应用 属于基础试题 6 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合 则该双曲线焦 点到其渐近线的距离等于 A B 3 C 5 D 7 已知函数f sin cos 2020 g 是函数f 的导函数 则函数y g 的部 分图象是 A B C
4、D 解答 解 因为f sin cos 2020 所以 g f sin cos sin cos 可知 g 为奇函数 故排除A B 当 0 时 g 0 排除 C 故选 D 点评 本题考查函数的求导 函数图象的判断 考查推理论证能力 利用函数的 奇偶性和函数值的对应性进行排除是解决本题的关键 难度不大 8 根据如表的数据 用最小二乘法计算出变量 y 的线性回归方程为 12345 y0 5111 52 A B C D 解答 解 0 35 y 关于的线性回归方程为 故选 A 点评 本题考查线性回归方程的求法 考查计算能力 是基础题 9 在 ABC 中 AB 4 AC 6 点 O 为 ABC 的外心 则的
5、值为 A 26B 13C D 10 解答 解 过 O 作 OS AB OT AC 垂足分别为S T 则 S T 分别是AB AC 的中点 6 4 10 故选 D 点评 本题考查向量的运算法则 向量数量积的几何意义 以及三角形的外心 属于基础题 10 已知的展开式中所有项的系数和等于 则展开式中项的系数的最大 值是 A B C 7D 70 解答 解 令 1 则 1 n 解得 n 8 1 8 1 2 3 4 8 7 展开式中项的系数的最大值是7 故选 C 点评 本题考查二项式定理 考查观察与运算能力 属于中档题 11 将函数的图象向右平移m m 0 个单位长度 再将图象上 各点的横坐标伸长到原的6
6、 倍 纵坐标不变 得到函数g 的图象 若g 为 奇函数 则m 的最小值为 A B C D 解答 解 将函数的图象向右平移m m 0 个单位长度 可得 y sin 3 3m 的图象 再将图象上各点的横坐标伸长到原的6 倍 纵坐标不变 得到函数g sin 3m 的图象 若 g 为奇函数 则当m 的最小时 3m 0 m 故选 C 点评 本题主要考查函数y Asin 的图象变换规律 正弦函数的图象的对 称性 属于基础题 12 已知正项数列 an 的前 n 项和为 Sn a1 1 且 6Sn an 2 3an 2 若对于任意实数 a 2 2 不等式恒成立 则实数t 的取值范围为 A 2 2 B 2 1
7、C 1 2 D 2 2 解答 解 由 6Sn an2 3an 2 当 n 1 时 6a1 a12 3a1 2 解得 a1 2 当 n 2 时 6Sn 1 an 12 3an 1 2 两式相减得 6an an2 3an an 12 3an 1 整 理得 an an 1 an an 1 3 0 由 an 0 所以 an an 1 0 所以 an an 1 3 所以数列 an 是以 2 为首项 3 为公差的等差数列 所以 an 1 2 3 n 1 1 3n 2 所以 3 3 因此原不等式转化为2t 2 at 1 3 对于任意的 a 2 2 n N 恒成立 化为 2t2 at 4 0 设 f a 2t
8、2 at 4 a 2 2 可得 f 2 0 且 f 2 0 即有 即 可得 t 2 或 t 2 则实数 t 的取值范围是 2 2 故选 A 点评 本题考查数列与不等式的关系 考查an与 Sn的关系 等差数列的定义 方 程的根的分布问题 考查转化思想 属于中档题 二 填空题 共4 小题 13 已知函数f sin cos 0 的图象关于直线 对 称 则 的值是 解答 解 f sin cos 2sin 图象关于直线 对称 所以 故 又 0 所以 故答案为 点评 考查三角函数的对称性 中档题 14 已知的展开式中所有项的系数和等于 则展开式中项的系数的最大 值是是7 A B C 7D 70 解答 解
9、令 1 则 1 n 解得 n 8 1 8 1 2 3 4 8 7 展开式中项的系数的最大值是7 故答案为 7 点评 本题考查二项式定理 考查观察与运算能力 属于中档题 15 若 数 列na是 正 项 数 列 且Nnnnaaa n 3 2 21 则 132 21 n aaa n nn62 2 16 在 ABC 中 a b c 分别是内角A B C 的对边 D 是 AB 上的三等分点 靠近 点 A 且 CD 1 a b sinA c b sinC sinB 则 a 2b 的最大值是2 解答 解 由 a b sinA c b sinC sinB 利用正弦定理可得 a b a c b c b 化为 a
10、2 b2 c 2 ab 2abcosC 可得 cosC C 0 C D 是 AB 上的三等分点 靠近点A 两边平方可得 1 b2 a 2 abcosC 整理可得 a2 4b2 2ab 9 a 2b 2 9 2ab 9 当且仅当a 2b 时取等号 解得 a 2b 2 a 2b 的最大值是2 点评 本题考查了向量共线定理 数量积运算性质 正弦定理余弦定理 基本不 等式的性质 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 三 解答题 共6 小题 17 在 ABC 中 内角A B C 的对边分别为a b c 已知 b 2ccosA 0 1 若 b c 1 求 a 和 S ABC 2 求 cosB 的最小值 解
11、答 解 1 因为 b c 1 代入 b 2c cos A 0 得 cos A 所以 A 120 C B 30 2 分 得 所以 n 4 分 S ABC acsinB 6 分 2 把余弦定理代入b 2c cosA 0 得 b 2c 0 10 分 解得 b2 cosB 当且仅当a2 3c2 即时 cosB 取最小值 12 分 点评 本题考查三角形的解法 余弦定理的应用 三角形的面积以及基本不等式 的应用 是中档题 18 数列 an 中 a1 2an 1an an 1 an 0 1 求 an 的通项公式 2 求满足a1a2 a2a3 an 1an 的 n 的最大值 解答 解 1 2an 1an an
12、 1 an 0 又 数列 是以 3 为首项 2 为公差的等差数列 2 由 1 知 a1a2 a2a3 an 1an a1a2 a2a3 an 1an 4n 2 42 n 10 n N n 的最大值为9 点评 本题考查了等差数列的定义 通项公式和裂项相消法求出数列的前n 项和 考查了转化思想 关键是了解数列的递推公式 明确递推公式与通项公式的异同 会根据数列的递推公式构造新数列 属中档题 19 10 月 1 日 某品牌的两款最新手机 记为W 型号 T 型号 同时投放市场 手机 厂商为了解这两款手机的销售情况 在10 月 1 日当天 随机调查了5 个手机店中这 两款手机的销量 单位 部 得到如表
13、手机店ABCDE W 型号手机销量6613811 T 型号手机销量1291364 若在10 月 1 日当天 从A B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取 1 部 求抽取的2 部手机中至少有1 部为 W 型号手机的概率 现从这5 个手机店中任选3 个举行促销活动 用表示其中W 型号手机销量超 过 T型号手机销量的手机店的个数 求随机变量的分布列和数学期望 20 菱形 ABCD 中 ABC 120 EA 平面 ABCD EA FD EA AD 2FD 2 证明 直线FC 平面 EAB 求二面角E FC A 的正弦值 线段BC 上是否存在点M 使得直线EB 与平面 BDM 所成角的正弦值为 若
14、存在 求 若不存在 说明理由 解答 解 证明 取BC 中点 T 以 D 为原点 分别以 的方向 为轴 y 轴 轴正方向的空间直角坐标系 则 A 2 0 0 B 1 0 C 1 0 D 0 0 0 E 2 0 2 F 0 0 1 0 0 2 1 0 设 y 为平面 EAB 的法向量 则 取 y 1 得 1 0 又 1 1 得 0 又 直线FC 平面 EAB 直线FC 平面 EAB 解 2 0 1 1 1 2 0 1 设 y 为平面 EFC 的法向量 则 取 3 得 3 设 y 为平面 FCA 的法向量 则 得 1 2 cos 二面角E FC A 的正弦值为 解 设 3 则M 2 3 则 1 0
15、2 3 2 2 设 y 为平面 BDM 的法向量 则 取y 1 得 由 1 得 cos 解得或 舍 点评 本题考查线面垂直的证明 考查二面角的正弦值的求法 考查满足线面角 的点的位置的确定与求法 考查空间中线线 线面 面面间的位置关系等基础知识 考查运算求解能力 是中档题 21 在直角坐标系Oy 中 抛物线 2 2y 的焦点为 F 过点 F 的直线 l 交抛物线于 M N 两点 1 求的值 2 若点 P在线段 MN 不含端点 上运动 求四边形OMQN 面积的最 小值 解答 解 1 由题知 设 代入到 2 2y 中 得 2 2 1 0 设 M 1 y1 N 2 y2 则1 2 2 12 1 所以
16、所以 2 因为 所以 P 是线段 OQ 的中点 从而点 O 与点 Q 到直线 MN 的距离 相等 所以四边形OMQN 的面积等于2S MON 而 所以 0 时 四边形OMQN 的面积最小 最小值为1 点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用 抛物线性质的应用 考查 转化思想以及计算能力 是中档题 22 在平面直角坐标系Oy 中 已知曲线C1的参数方程为 t 为参数 以 O 为极点 轴的非负半轴为极轴 曲线C2的极坐标方程为 2 3 cos2 4 1 求曲线C1的普通方程和曲线 C2的参数方程 2 若点 M 在曲线 C2上运动 求点 M 到曲线 C1距离的最小值及对应的点M 的坐 标 解答 解 1 已知曲线C1的参数方程为 t 为参数 转换为直角 坐标方程为 y 3 0 曲线 C2的极坐标方程为 2 3 cos2 4 转换为直角坐标方程为 转换为参数方程为 为参数 2 设点 M 则 点M到曲线C1 的距离 当 sin 1 时 解得 M 点评 本题考查的知识要点 参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换 点到直线的距离公式的应用 三角函数关系式的恒等变换 正弦型函数性质的应用 主要
