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1、绝密 启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡 皮擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题给的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 1 已知集合 2 1 0 1 2 1 ABx x 则 ABI A 1 0 1 B 0 1 C 1 1 D 0 1 2 2 若 1 i 2i
2、z 则 A 1i B 1 i C 1 i D 1 i 3 两位男同学和两位女同学随机排成一列 则两位女同学相邻的概率是 A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 4 西游记 三国演义 水浒传 和 红楼梦 是中国古典文学瑰宝 并称为中国古典小说四大 名著 某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况 随机调查了100 学生 其中阅读过 西游记 或 红楼梦 的学生共有90 位 阅读过 红楼梦 的学生共有80 位 阅读过 西游记 且阅读过 红 楼梦 的学生共有60 位 则该校阅读过 西游记 的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A 0 5 B 0 6 C 0 7 D 0 8 5 函数 2sinsi
3、n2f xxx 在 0 2 的零点个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 6 已知各项均为正数的等比数列 an 的前 4 项和为 15 且 a5 3a3 4a1 则 a3 A 16 B 8 C 4 D 2 7 已知曲线 eln x yaxx 在点 1 ae 处的切线方程为y 2 b 则 A a e b 1 B a e b 1 C a e 1 b 1 D a e 1 1b 8 如图 点N 为正方形ABCD 的中心 ECD 为正三角形 平面ECD 平面 ABCD M 是线段 ED 的中点 则 A BM EN 且直线BM EN 是相交直线 B BM EN 且直线BM EN 是相交直线 C BM EN
4、 且直线 BM EN 是异面直线 D BM EN 且直线BM EN 是异面直线 9 执行下边的程序框图 如果输入的 为0 01 则输出 s 的值等于 A 4 1 2 2 B 5 1 2 2 C 6 1 2 2 D 7 1 2 2 10 已知 F是双曲线C 22 1 45 xy 的一个焦点 点P在 C 上 O 为坐标原点 若 OPOF 则 OPF 的面积为 A 3 2 B 5 2 C 7 2 D 9 2 11 记 不 等 式 组 6 20 xy xy 表 示 的 平 面 区 域 为D 命 题 29px yDxy 命 题 212qx yDxy 下面给出了四个命题 pq pq pq pq 这四个命题
5、中 所有真命题的编号是 A B C D 12 设 fx 是定义域为R 的偶函数 且在 0 单调递减 则 A f log3 1 4 f 3 2 2 f 2 3 2 B f log3 1 4 f 2 3 2 f 3 2 2 C f 3 2 2 f 2 3 2 f log3 1 4 D f 2 3 2 f 3 2 2 f log3 1 4 二 填空题 本题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 已知向量 2 2 8 6 ab 则 cos a b 14 记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和 若 37 5 13aa 则 10 S 15 设 12 FF 为椭圆 C 22 1 3620 xy 的
6、两个焦点 M 为 C 上一点且在第一象限 若 12 MF F 为等腰三 角形 则M 的坐标为 16 学生到工厂劳动实践 利用3D 打印技术制作模型 如图 该模型为长方体 1111 ABCDA B C D 挖 去四棱锥O EFGH 后所得的几何体 其中O 为长方体的中心 E F G H 分别为所在棱的中点 16cm4cmAB BC AA 3D 打印所用原料密度为0 9 g cm3 不考虑打印损耗 制作该模型所 需原料的质量为 g 三 解答题 共70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第17 21 题为必考题 每个试 题考生都必须作答 第22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考
7、题 共60 分 17 12 分 为了解甲 乙两种离子在小鼠体内的残留程度 进行如下试验 将200 只小鼠随机分成A B 两组 每组 100 只 其中A 组小鼠给服甲离子溶液 B 组小鼠给服乙离子溶液 每只小鼠给服的溶液体积相 同 摩尔浓度相同 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比 根据试验 数据分别得到如下直方图 记 C 为事件 乙离子残留在体内的百分比不低于5 5 根据直方图得到P C 的估计值为0 70 1 求乙离子残留百分比直方图中a b的值 2 分别估计甲 乙离子残留百分比的平均值 同一组中的数据用该组区间的中点值为代表 18 12 分 ABC 的内角 A B
8、C 的对边分别为a b c 已知 sinsin 2 AC abA 1 求 B 2 若 ABC 为锐角三角形 且c 1 求 ABC 面积的取值范围 19 12 分 图 1 是由矩形ADEB Rt ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形 其中AB 1 BE BF 2 FBC 60 将其沿 AB BC 折起使得BE 与 BF 重合 连结DG 如图 2 1 证明图 2 中的 A C G D 四点共面 且平面ABC 平面 BCGE 2 求图 2 中的四边形ACGD 的面积 20 12 分 已知函数 32 22f xxax 1 讨论 f x 的单调性 2 当 0 a 3 时 记 f x 在区间 0 1
9、 的最大值为M 最小值为m 求 Mm的取值范围 21 12 分 已知曲线C y 2 2 x D 为直线 y 1 2上的动点 过D 作 C 的两条切线 切点分别为A B 1 证明 直线AB 过定点 2 若以 E 0 5 2 为圆心的圆与直线AB 相切 且切点为线段AB 的中点 求该圆的方程 二 选考题 共10 分 请考生在第22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计 分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 如图 在极坐标系O 中 2 0 A 2 4 B 2 4 C 2 D 弧 AB BC CD 所在圆 的圆心分别是 1 0 1 2 1 曲线 1 M 是弧 AB 曲线
10、2 M 是弧 BC 曲线 3 M 是弧 CD 1 分别写出 1 M 2 M 3 M 的极坐标方程 2 曲线M由 1 M 2 M 3 M 构成 若点P在 M 上 且 3OP 求 P 的极坐标 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 设 x y zR 且 1xyz 1 求 222 1 1 1 xyz 的最小值 2 若 2221 2 1 3 xyza 成立 证明 3a 或 1a 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 参考答案 一 选择题 1 A 2 D 3 D 4 C 5 B 6 C 7 D 8 B 9 C 10 B 11 A 12 C 二 填空题 13 2 10 14 100 15
11、 3 15 16 118 8 三 解答题 17 解 1 由已知得0 70 a 0 20 0 15 故 a 0 35 b 1 0 05 0 15 0 70 0 10 2 甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2 0 15 3 0 20 4 0 30 5 0 20 6 0 10 7 0 05 4 05 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3 0 05 4 0 10 5 0 15 6 0 35 7 0 20 8 0 15 6 00 18 解 1 由题设及正弦定理得 sinsinsinsin 2 AC ABA 因为 sinA0 所以 sinsin 2 AC B 由 180ABC 可得 sincos 22
12、 ACB 故 cos2sincos 222 BBB 因为 cos0 2 B 故 1 sin 22 B 因此 B 60 2 由题设及 1 知 ABC 的面积 3 4 ABC Sa 由正弦定理得 sin 120 sin31 sinsin2tan2 C cA a CCC 由于 ABC 为锐角三角形 故0 A 90 0 C 90 由 1 知A C 120 所以30 C0 则当 0 3 a xU 时 0fx 当 0 3 a x 时 0fx 故 f x 在 0 3 a 单调递增 在 0 3 a 单调递减 若 a 0 f x 在 单调递增 若a 0 则当 0 3 a xU 时 0fx 当 0 3 a x 时
13、 0fx 故 f x 在 0 3 a 单调递增 在 0 3 a 单调递减 2 当0 3a 时 由 1 知 f x 在 0 3 a 单调递减 在 1 3 a 单调递增 所以 f x 在 0 1 的最小值为 3 2 327 aa f 最大值为 0 2f 或 1 4fa 于是 3 2 27 a m 4 02 2 23 aa M a 所以 3 3 2 02 27 23 27 a aa Mm a a 当0 2a 时 可知 3 2 27 a a 单调递减 所以 Mm的取值范围是 8 2 27 当2 3a 时 3 27 a 单调递减 所以 Mm的取值范围是 8 1 27 综上 Mm的取值范围是 8 2 27
14、 21 解 1 设 11 1 2 DtA xy 则 2 11 2xy 由于 y x 所以切线DA 的斜率为 1 x 故 1 1 1 1 2 y x xt 整理得 11 22 1 0 txy 设 22 B xy 同理可得 22 22 1 0txy 故直线 AB 的方程为 2210txy 所以直线AB 过定点 1 0 2 2 由 1 得直线 AB 的方程为 1 2 ytx 由 2 1 2 2 ytx x y 可得 2 210 xtx 于是 2 121212 2 121xxt yyt xxt 设 M 为线段 AB 的中点 则 2 1 2 Mt t 由于EM AB uu uu ruu u r 而 2
15、2EMt t u uu u r AB uuu r 与向量 1 t 平行 所以 2 20ttt 解得t 0 或 1t 当t 0 时 EM uuuu r 2 所求圆的方程为 2 2 5 4 2 xy 当 1t 时 2EM uu uu r 所求圆的方程为 2 25 2 2 xy 22 解 1 由题设可得 弧 AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为 2cos 2sin 2cos 所以 1 M 的极坐标方程为 2cos0 4 2 M 的极坐标方程为 3 2sin 44 3 M 的极坐标方程为 3 2cos 4 2 设 P 由题设及 1 知 若 0 4 则2cos 3 解得 6 若 3 44 则 2s
16、in3 解得 3或 2 3 若 3 4 则 2cos3 解得 5 6 综上 P 的极坐标为 3 6 或 3 3 或 2 3 3 或 5 3 6 23 解 1 由于 2 1 1 1 xyz 222 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 xyzxyyzzx 222 3 1 1 1 xyz 故由已知得 2224 1 1 1 3 xyz 当且仅当 5 3 1 3 y 1 3 z 时等号成立 所以 222 1 1 1 xyz 的最小值为 4 3 2 由于 2 2 1 xyza 222 2 1 2 2 1 1 2 xyzaxyyzazax 222 3 2 1 xyza 故由已知 2 222 2 2 1 3 a xyza 当且仅当 4 3 a x 1 3 a y 22 3 a z 时等号成立 因此 222 2 1 xyza 的最小值为 2 2 3 a 由题设知 2 2 1 33 a 解得 3a 或 1a
