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1、2017-2018下学期八年级数学专题复习三：几何计算题、证明题 编制：赵化中学 郑宗平一.题型特点：四边形（四种常见的）、三角形的中位线、矩形的推论穿插其中，勾股定理 ，二.常见新型题型：动点、折纸、开放（条件、结论开放）、探索性（数量关系、位置关系），三.图形搭建：三角形中搭建四边形、四边形中搭建三角形、组合图形， 下面我根据图形搭建结构特征为主进行分类，列举一部分和本期几何部分（以平行四边形为主）的计算题、证明题，让我们共同来探究、解析.一.以平行四边形为桥梁搭建起来的图形例1.中，的平分线交于,交的延长线于,求的长？分析：本题要求的长的途径有两条：其一.；其二. .采取第一途径可以少一
2、些环节，根据平行四边形的性质和角的平分线的定义可以比较容易得出是等腰三角形，可得；由于平行四边形的对边相等可以得出:,；故例2.和都是正三角形,.求证：.当 运动至边上的何处时，四边形为平行四形，且 ,并证明你的结论. 分析： .证明.已经有了,而和都是正三角形又可以给我们提供条件，根据“”判定方法可以证得.根据问的得出,又是正三角形,所以;要使四边形为平行四边形可以证.若四边形为平行四边形，则；当时，就有,此时就能证得.由正可以得出，则,;由于等腰三角形具有“三线合一”的特征，所以当 运动至边上的中点时，四边形为平行四边形.练习：1.如图,在中，,则 = .2.的周长为，对角线交于点,周长比
3、的周长多，则 = ， = . 3.中,的平分线交于点；若 , ；那么= ，= ， = .4.已知点 在同一直线上,且 ； 求证： 5.是正三角形，,.求证: 6.以的三边在的同侧做等边、等边、等边.判断四边形的形状？.当为多少度时，四边形为矩形？.当为多少度时，四边形不存在？.当满足什么形状，四边形是菱形？7.有一块如图的玻璃,不小心把部分打碎，现在只测得, .根据测得的数据计算的长；.求四边形的面积.二.以矩形为桥梁搭建起来的图形例1. 为外一点， ;求证: 为矩形分析：判定矩形的方法主要有三种.但在已知了四边形是平行四边形的情况下，要判定是矩形的途径有两条：其一.找一内角是直角；其二.找出
4、对角线相等，即找出.由于本题的另一主要条件是APC=BPD=90，要根据题中条件和图形位置转换成四边形的内角为90比较困难，所以本题我们先想办法找出对角线相等，即找出. 我们发现本题在和的两斜边的交点恰好是平行四边形对角线的交点，根据平行四边形对角线互相平分可知：同时是的中点；所以自然联想到连结这条两直角三角形公共的中线（见图）.根据以上条件，在和中就有：,故,由对角线相等的平行四边形是矩形，可判定是矩形.例2. 如图,矩形中,对角线交于点；点为矩形的边上的一个固定点，过点作,垂足分别为.求的值？.若点是上的一动点（不与重合），还是点作，垂足分别为则的值是否会发生变化？为什么？分析：求线段的和
5、或差我们会联想到证明中的“截长补短”法，但本题不具备这方面的条件.本题从面积入手可以破题：如图连结,只要我们能求出和和的面积之和问题便可以获得解决.略解：.四边形是矩形 , 在中，；并且根据勾股定理有：，即，又 ，所以 ，; 且(过程略)+= = 即 .不会发生变化.这是因为、的面积以及作为底边的不会发生变化（见右图）.练习：1.矩形中，.求证： 2.矩形中，于 ，于.求证：3.矩形中，平分 ,.求与的度数？4.矩形中， ，则为等腰三角形吗？为什么？5.如图，在矩形中，点分别在上，将沿折叠，使点在上的点处，又将沿折叠，使点落在与的交点处则的值为多少？三.以菱形为桥梁搭建起来的图形例1. 中，平
6、分，于 交于,于,求证：四边形是菱形.分析：判定菱形方法主要有三种，三种方法都可以使本题获得解决.下面我们选择“四边都相等的四边形是菱形”这一途径来分析.可以先根据角平分线的性质得出,进而容易证明,所以;再证明可以得到（也可以利用等腰三角形的“三线合一”）；利用等角的余角相等可以推出,所以,于是,故四边形是菱形.例2.（中考自贡） 如图所示，在菱形中，为正三角形，点分别在菱形的边上滑动，且不与重合.证明不论在上如何滑动，总有?.当点在上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值. 分析：.先求证，进而求证、为等边三角形，得进而求证，即可求得.根据可得=;根据四边形=+=+=
7、即可解得.证明：连接,如下图所示.四边形为菱形，和都为等边三角形在和中， .解：四边形的面积不变.理由：由得可得=.故四边形=+=+= 是定值.作于点，则四边形练习：1. 已知，添加下列一个条件：.；.；.；.其中能使是菱形的为（ ） A. B. C. D. 2.菱形中，为上的一点，交于.求证：.；.3. 菱形的对角线的比是,周长为，求菱形的面积？4.如图，的对角线的垂直平分线与分别交于点；求证：四边形是菱形. 5. 如图，菱形中，,点分别是上的动点，且满足 ,接连.求证：是等边三角形6.中，,，垂直平分,且 .求证：四边形为菱形.四.以正方形为桥梁搭建起来的图形例1.正方形中，是等边三角形.
8、求的度数？.若,求的长？分析：.根据正方形和等边三角形的性质综合可以得出,所以得出：,所以.由正方形的性质综合可以得出,在中，所以,根据勾股定理可以求出,所以.根据勾股定理或面积公式可以得出：.又.例2、正方形的面积为 , ,为上的一动点；求的最小值？分析:在一条直线同侧的两点，到直线某点的距离之和最小，按如图所示作的对称点（根据正方形的对称性，对称点恰好落在边上）连结交于点,根据轴对称的性质,此时和是最小的.由正方形D的面积为可求得边长,所以所以；根据正方形的性质和勾股定理可以求得：;即的最小值为10.练习:1.正方形中，,，如图所示则 = .2.如图，边长为3的正方形绕点按顺时针方向旋转3
9、0后得到的正方形交于点H,四边形 = .3.如图,为正方形内的一点,将顺时针旋转到与为重合；若,则的长为 .4.在中，为的中点， ,垂足分别为 .求证:.当是直角三角形时，四边形是正方形？5.正方形中，其面积为1，为正三角形，求的面积？6. 为边长为1的正方形的对角线上的一点，且,为上的一动点， ,求的值？7.正方形绕着正方形点向外（逆时针）旋转一定角度，连结（见图）.求证:.如果改成正方形绕着正方形点向内（顺时针）旋转一定角度，连结.那么这个结论还成立吗？请画出示意图，并说明理由.8.如图，在正方形中，是其对角线上的任意一点，过作 ,分别交正方形的边于连接.求证： .五.以梯形为桥梁搭建起来
10、的图形例.如图在梯形中, , ;若 分别为、的中点，连接,求线段的长度？分析：本题抓住很容易联想到把问题化归在直角三角形中来求;通过点 分别作、交分别于 ，则, ,结合可以得出是直角三角形；再借助于的梯形中的可以推出：， ；又因为 分别为、的中点，;所以,以 且 ,= .注：由于新人教版教材对梯形未作要求，所以本专题供有余力的同学课外选练.练习：1.梯形中，,与互余，;则该梯形的面积是多少？2.梯形中，若,，； = ，梯形 = .3.已知四边形中，,求此四边形面积？4.中，分别为斜边和直角边上的中点，;求证：四边形为梯形且两腰相等.5.在梯形中，,分别是两腰的中点，请探究与的关系.六.勾股定理
11、及其逆定理的运用举例例. 如图，将长，宽为的矩形纸片折叠，使点与点重合，求折痕的长.分析：本题求折痕的长可以提供的主要是数量关系，所以我们可以考虑化归在直角三角形中来解决问题（见图中辅助线作法）. 根据折纸可以推出：,，;在中根据勾股定理得： ,即，解得： .练习：1.已知三角形的三边分别为，则这个三角形的面积面积为 .2.在平面直角坐标系中，点的坐标为，则 = .3.直角三角形的两边分别为 ，则此直角三角形的面积为 .4.一直角三角形的周长为，其斜边上的中线长为 ，则这个直角三角形的面积为 .5. 如图.求图（甲）凸四边形的面积？.如果题中的条件不变，把图（甲）凸四边形改成图（乙）凹四边形，求图（乙）凹四边形面积？6. 如图，小强用一张长方形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，长为 ，当小红折叠时，顶点落在边上的点处（折痕为）算一算，此时有多长？7.一副三角板按如图方式摆放，一个含30锐角的三角板的直角顶点在等腰直角三角板的边所在的直线上，30锐角顶点在的腰直角三角板的斜边上，且；若边 ，求线段的长？ 资料
