《混沌与随机数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《混沌与随机数（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、混沌与随机数 信息隐藏实验教程 教学幻灯片四 一个最基本的混沌模型 虫口模型 虫口模型又称为Logistic映射 在某一范围内单一种类的昆虫繁殖时 其第n年的数量与第n 1年的数量可以表示为 xn 1 xn a bxn 其中a表示增长率 bxn表示考虑到争夺食物等因素引起的虫口饱和 一个最基本的混沌模型 虫口模型 为了数学上处理的方便 我们再设a b 因此考虑下列关系式 xn 1 xn 1 xn 我们下面进一步分析Logistic方程所描述的虫口问题的一些特征 一个最基本的混沌模型 虫口模型 当取 2 5 xo 0 5时x1 0 625x2 0 5859375 x28 0 599999998x
2、29 0 6x30 0 6 一个最基本的混沌模型 虫口模型 可以看出 当n的值大于29时 x的值不再改变 即使改变x0的值 只要 2 5 迭代方程最终会收敛到0 6 不同的只是达到收敛值的迭代路径 即不论初值为什么 迭代方程最终都会被吸引到一个固定值 这个固定值被称为吸引子 一个最基本的混沌模型 虫口模型 我们再取 3 3 x0 0 5 可得 x32 0 479427020 x33 0 823603283x34 0 479427020 x35 0 823603283 一个最基本的混沌模型 虫口模型 可见 当 取3 3时 有两个吸引子 这种收敛轨迹被称为周期2轨迹 一个最基本的混沌模型 虫口模型
3、 我们根据参数 的取值讨论如下 大于0小于等于1时除了不动点Xs 0外 在也没有其他周期点 且Xs为吸引不动点 吸引子 即迭代方程最后会归于0 虫子最终会灭绝 大于1小于3时不动点0 1 1 为仅有的两个周期点 且0为排斥不动点 1 1 为吸引不动点 一个最基本的混沌模型 虫口模型 大于等于3小于等于4时系统的动力学形态十分复杂 系统由倍周期通向混沌 前面的 3 3就是这样 大于4时系统的动力学形态更复杂 一个最基本的混沌模型 虫口模型 下图给出了不同的 值下虫口模型的时间序列 特征量 Lyapunov指数Lyapunov维数kolmogorov熵 Lyapunov指数 混沌运动的基本特点是运
4、动对初值条件极为敏感 两个很靠近的初值所产生的轨道 随时间推移按指数方式分离 我们用Lyapunov指数来描述这一现象 与初始值的选取没有关系 称为Lyapunov指数 它表示平均每次迭代所引起的指数分离中的指数 Lyapunov指数 指数分离我们用下图表示 x0 x0 n次迭代 F x0 en F x0 故 0可作为系统混沌行为的一个判据 对Logistic映射 考虑参数3 4 4 若 3 5699 0 对应混沌运动 Lyapunov维数 我们设Lyapunov指数按从大到小的顺序排列为 1 2 3 则混沌吸引子的Lyapunov维数定义为 其中 k是保证Sk 0的最大k值 kolmogor
5、ov熵 考虑一个n维动力系统 将它的相空间分割成一个个边长为 的n维立方体盒子 对于状态空间的一个吸引子和一条落在吸引域中的轨道x t 取时间间隔为一个很小的量 令P i0 i1 id 表示起始时刻系统轨道在第i0个格子中 t 在第i1个格子中 t d 在第id个格子中的联合概率 则Kolmogonov熵定义为 kolmogorov熵 同样 我们可以使用K值可判断系统运动的性质 1 若K 0 表示系统做规则运动 2 若K 表示系统做随机运动 3 若K取有限正值 表示系统做混沌运动 常见运动形态的特征量表 我们再给出几种常见的运动形态的特征量 如下表 混沌的直观描述 设V是一个紧度量空间 连续映
6、射f V V如果满足下列三个条件 对初值敏感依赖 存在 0 对于任意的 0和x属于V 在x的 邻域内存在y和自然数n 使得d f x f y 拓扑传递性 对于V上的任意一对开集X Y 存在k 0 使f X Y f的周期点集在V中稠密 则称f是在Devaney意义下V上的混沌映射或混沌运动 Logistic方程作为模型的混沌序列发生器 选择Logistic方程作为模型只要给定合适的 大于3 5699 值 就能使产生的序列满足混沌特性 我们选择很接近的两个初值0 3256和0 3257 而 取3 9 生成50 50的矩阵 如下图 Logistic方程作为模型的混沌序列发生器 Logistic方程作
7、为模型的混沌序列发生器 混合光学双稳模型产生的混沌序列 我们还可以选取混合光学双稳模型作为混沌序列的生成模型 两个参数A xB 分别取4和2 5 赋给它不同的初值x0将得到不同的混沌序列 混沌时间序列的判别方法 功率谱方法Lyapunov指数法 功率谱方法 谱图若具有单峰 或几个峰 则对应于周期序列 若无明显的峰值或峰值连成一片 则对应于湍流或混沌序列 下图是虫口模型时间序列的功率谱密度 功率谱方法 Lyapunov指数法 在Lyapunov指数 0的方向 相体积收缩 运动稳定 且对初始条件不敏感 在 0的方向轨道迅速分离 长时间行为对初始条件敏感 运动呈混沌状态 0对应于稳定边界 属于一种临界情况 若系统最大Lyapunov指数大于0 则该系统一定是混沌的 所以时间序列的最大Lyapunov指数是否大于0可作为该序列是否混沌的一个判据
