《2020版高中数学人教B版选修2-2课件：1.1.1 函数的平均变化率》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高中数学人教B版选修2-2课件：1.1.1 函数的平均变化率（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章导数及其应用1 1导数1 1 1函数的平均变化率 自我预习 函数y f x 在区间 x0 x0 x 或 x0 x x0 的平均变化率 1 条件 已知函数y f x x0 x1是其定义域内不同的两点 记 x x1 x0 y y1 y0 f x0 x f x0 2 结论 x 0时 商 称作函数y f x 在区间 x0 x0 x 或 x0 x x0 的平均变化率 3 实质 的改变量与 的改变量 4 作用 刻画函数在区间 x0 x0 x 或 x0 x x0 上变化的快慢 函数值 自变量 之比 微提醒 x是变量x2在x1处的改变量 且x2是x1附近的任意一点 即x2可以在x1的左侧也可以在右侧 思
2、考 1 在平均变化率的定义中 自变量x在x0处的增量 x是否可以为任意实数 y呢 提示 在平均变化率的定义中 增量 x可正 可负 但不能等于0 而 y可以为任意实数 2 对于函数f x 若x1 x2 平均变化率能否表示为 提示 能 若从x1变为x2 平均变化率为 若从x2变为x1 平均变化率为 而 自我总结 1 对平均变化率的两点说明 1 y f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率是曲线y f x 在区间 x1 x2 上陡峭程度的 数量化 曲线陡峭程度是平均变化率的 视觉化 2 平均变化率的绝对值越大 曲线y f x 在区间 x1 x2 上越 陡峭 反之亦然 2 平均变化率的两个意义 1
3、平均变化率的几何意义就是函数y f x 图象上两点P1 x1 f x1 P2 x2 f x2 所在直线的斜率 2 平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s s t 在时间段 t1 t2 上的平均速度 即 3 对两个改变量的理解 1 自变量的改变量 用 x表示 即 x x2 x1 表示自变量相对于x1的 增加量 2 函数值的改变量 用 y表示 即 y f f 也表示为f f 表示函数值在x1处的 增加量 3 改变量并不一定都是正值 也可以负值 函数值的改变量还可以是0 比如常数函数 其函数值的改变量就是0 自我检测 1 思维辨析 对的打 错的打 1 在平均变化率的定义中 自变量x在x0处
4、的变化量 x可取任意实数 2 函数y f x 从x1到x2的平均变化率公式中 x与 y同号 3 设函数y f x 当自变量x由x0改变到x0 x时 函数值的改变量是f x0 x 提示 1 在平均变化率的定义中 自变量x在x0处的变化量 x可以是正数 也可以是负数 但不能为0 2 函数y f x 从x1到x2的平均变化率公式中 x与 y可能同号 也可能异号 3 函数值的改变量应是f x0 x f x0 2 若已知函数f x x2 1的图象上一点 1 0 及附近一点 1 x y 则 y的值为 解析 y f 1 x f 1 1 x 2 1 x 2 2 x 答案 x 2 2 x 3 若函数f x 3x
5、 1 则函数在区间 1 1 x 的平均变化率为 解析 y f 1 x f 1 3 1 x 1 4 3 x 则 3 答案 3 类型一求函数的平均变化率 典例 1 如图 函数y f x 在A B两点间的平均变化率等于 A 1B 1C 2D 2 2 已知函数f x 3x2 5 求f x 1 从0 1到0 2的平均变化率 2 在区间上的平均变化率 世纪金榜导学号 思路导引 1 由函数的图象可知自变量的改变量是2 函数值的改变量是 2 2 计算 y的式子是 y f x0 x f x0 解析 1 选B 由图可知f 3 1 f 1 3 所以f 3 f 1 1 3 2 所以函数y f x 在A B两点间的平均
6、变化率是 2 1 因为f x 3x2 5 所以从0 1到0 2的平均变化率为 2 f x0 x f x0 3 x0 x 2 5 3x02 5 3x02 6x0 x 3 x 2 5 3x02 5 6x0 x 3 x 2 函数f x 在区间 x0 x0 x 上的平均变化率为 6x0 3 x 方法技巧 1 求函数平均变化率的三个步骤第一步 求自变量的改变量 x x2 x1 第二步 求函数值的改变量 y f x2 f x1 第三步 求平均变化率 2 求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率 可用的形式 变式训练 如图是函数y f x 的图象 则函数f x 在区间 0 2 上的平均变化率为 解析
7、 由函数f x 的图象知 f x 所以函数f x 在区间 0 2 上的平均变化率为 答案 类型二平均变化率的比较 典例 已知函数y f x 3 x2 计算当x0 1 2 3 x 时 平均变化率的值 世纪金榜导学号 思路导引 函数在x0到x0 x之间的函数值的改变量是 y f x0 x f x0 解析 函数y f x 3 x2在x0到x0 x之间的函数值的改变量 y f x0 x f x0 3 x0 x 2 3 x02 2x0 x x 2 2x0 x 将x0 1 x 代入得 将x0 2 x 代入得 将x0 3 x 代入得 延伸探究 1 变换条件 函数y f x 3 x2 变为 函数y f x x
8、2 则结论如何 解题指南 先求函数f x x2的平均变化率 看看与函数f x 3 x2有何异同 再确定结论的变化 解析 函数f x x2在x0到x0 x之间的平均变化率为 同函数f x 3 x2在x0到x0 x之间的平均变化率相同 故结论不变 2 改变问法 比较函数f x 3 x2在哪一点附近的平均变化率最大 解析 因为所以函数f x 3 x2在x0 1附近的平均变化率最大 方法技巧 比较平均变化率的方法步骤 1 求出两不同点处的平均变化率 2 作差 或作商 并对差式 或商式 作合理变形 以便探讨差的符号 或商与1的大小 3 下结论 补偿训练 一质点做直线运动 其位移s与时间t的关系为s t
9、t2 1 该质点在2到2 t t 0 之间的平均速度不大于5 则 t的取值范围是 解析 质点在2到2 t之间的平均速度为又 5 即4 t 5 所以 t 1 又 t 0 所以 t的取值范围为 0 1 答案 0 1 易错误区案例 求解函数的平均变化率问题 典例 函数y 2x2 3x在 1 2 内的平均变化率为 错解案例 当x 1时y 5 当x 2时y 14 所以即函数在 1 2 上的平均变化率为 9 9 正解 当x 1时 y 5 当x 2时 y 14 所以自变量的改变量 x 2 1 函数值的改变量 y 14 5 9 故 9 所以函数y 2x2 3x在 1 2 内的平均变化率为9 答案 9 即时应用 已知函数y 3x x2在x0 2处的增量为 x 0 1 则的值为 A 0 11B 1 1C 3 89D 0 29 解析 选B 因为 y f 2 0 1 f 2 3 2 1 2 12 6 4 0 11 所以 1 1 防范措施 正确理解平均变化率的两个关键点
