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1、第三讲动量和能量 牛顿运动定律与动量观点和能量观点通常称作解决力学问题的三把金钥匙 其实它们是从三个不同的角度来研究力与运动的关系 解决力学问题时 选用不同的方法 处理问题的难易 繁简程度可能有很大差别 在很多情况下 用动量和能量的观点来解题 会更快捷 更有效 动量 基本规律 动量定理 动量守恒定律 基本概念 动量 冲量 能量 基本概念 弹性势能 重力势能 势能 动能 功率 功 基本规律 机械能守恒定律 动能定理 电势能 功能原理 一 动量和能量概述 二 两个定理 1 动量定理 动量定理 F合t p 描述的是 力在时间上的积累效果 改变物体的动量 该式是矢量式 即动量的变化方向与合冲量的方向相
2、同 动能定理 F合S EK 描述的是 力在空间上积累效果 改变物体的动能 该式是标量式 2 动能定理 I合 p或F合t mv2 mv1 W合 EK或F合S mv22 2 mv12 2 用动量定理 动能定理解题关键 1 正确地分析研究对象的受力 2 准确地分析物体的运动 对系统用动量定理分析受力只分析系统外力 对系统用动能定理分析受力不仅分析系统外力 还要考试系统内力做功 一般指系统内滑动摩擦力做功 1 钢球从高处向下落 最后陷入泥中 如果空气阻力可忽略不计 陷入泥中的阻力为重力的n倍 求 1 钢珠在空中下落的高度H与陷入泥中的深度h的比值H h 2 钢珠在空中下落的时间T与陷入泥中的时间t的比
3、值T t 1 对钢球运动全过程 由动能定理 mg H h nmgh 0 H h nh H h n 1 2 对钢球运动全过程 由动量定理 mg T t nmgt 0 T t nt T t n 1 例与练 析与解 2 在水平面上有两个完全相同的物体A B处于静止状态 用水平恒力F1和F2 F1 F2 分别作用在A B上一段时间后撤去 A B最后都停下 已知A B运动的总位移相等 则关于F1和F2的冲量大小P1与P2 下列说法中正确的是 A P1P2 C P1 P2 D 以上情况都有可能 对每个物体运动的全过程 动量变化为零 因而合外力的冲量为零 即 P1 ft1 0 P2 ft2 0 例与练 析与
4、解 要比较P1 P2 只需比较A B运动的总时间t1 t2 在同一个速度 时间图象上作出两个物体的运动图象 因为F1 F2 开始A的加速度大于B的加速度 都撤去外力作用后 A B的加速度相同 运动图线平行 如图所示 析与解 由于A B两个物体的总位移相等 则两个图线与坐标轴围成的面积也应相同 从而很容易确定 B所用时间t2要长 则ft1 ft2 即P1 P2 3 在北戴河旅游景点之一的南戴河滑沙场有两个坡度不同的滑道AB和AB1 均可看作斜面 甲 乙两名旅游者分别乘两个相同完全的滑沙撬从A点由静止开始分别沿AB1和AB滑下 最后都停在水平沙面BC上 如图所示 设滑沙撬和沙面间的动摩擦因数处处相
5、同 斜面与水平面连接处均可认为是圆滑的 滑沙者保持一定姿势坐在滑沙撬上不动 则下列说法中正确的是 A 甲在B点的速率一定大于乙在B1点的速率B 甲滑行的总路程一定大于乙滑行的总路程C 甲全部滑行的水平位移一定大于乙全部滑行的水平位移D 甲在B点的动能一定大于乙在B1点的动能 例与练 4 如图所示 三块完全相同的木块固定在水平地面上 设速度为v0子弹穿过木块时受到的阻力一样 子弹可视为质点 子弹射出木块C时速度变为v0 2 求 1 子弹穿过A和穿过B时的速度v1 v2 2 子弹穿过三木块的时间之比t1 t2 t3 1 由动能定理 f 3l mv02 2 m v0 2 2 2 f 2l mv02
6、2 mv22 2 f l mv02 2 mv12 2 例与练 析与解 2 由动量定理 ft1 mv0 mv1 ft2 mv1 mv2 ft3 mv2 mv0 2 析与解 5 光滑水平桌面上有两个相同的静止木块 枪沿两个木块连线方向以一定的初速度发射一颗子弹 子弹分别穿过两个木块 假设子弹穿过两个木块时受到的阻力大小相同 忽略重力和空气阻力的影响 那么子弹先后穿过两个木块的过程中 子弹两次损失的动能相同 每个木块增加的动能相同 因摩擦而产生的热量相同 每个木块移动的距离不相同 例与练 在同一个速度时间图象上作出子弹和木块的运动图象 如图所示 析与解 从图象可知 子弹的运动图线与木块的运动图线与坐
7、标轴围成的面积等于木块的长度L 两次应相同 但子弹第二次穿过木块时初速度小 因而时间长 木块第二次的位移大 木块增加的动能多 子弹损失的动能的动能也多 设木块的长度为L 子弹穿过木块过程中对木块的作用力为f 子弹穿过木块过程中 子弹和木块阻力组成的系统克服阻力做功为fL 所以两次系统损失的动能相同 因摩擦而产生的热量相同 6 如图所示 质量为M的木板静止在光滑的水平面上 其上表面的左端有一质量为m的物体以初速度v0 开始在木板上向右滑动 那么 A 若M固定 则m对M的摩擦力做正功 M对m的摩擦力做负功 B 若M固定 则m对M的摩擦力不做功 M对m的摩擦力做负功 C 若M自由移动 则m和M组成的
8、系统中摩擦力做功的代数和为零 D 若M自由移动 则m克服摩擦力做的功等于M增加的动能和转化为系统的内能之和 例与练 7 如图所示 质量为M的火箭 不断向下喷出气体 使它在空中保持静止 火箭质量可以认为不变 如果喷出气的速度为v 则火箭发动机的功率为 A Mgv B Mgv C Mv2 D 无法确定 对气体 F t mv 对火箭 F Mg 对气体 P t mv2 2 F tv 2 P Fv 2 Mgv 2 例与练 析与解 三 两个守恒定律 1 动量守恒定律 公式 p p 或 p1 p2或m1v1 m2v2 m1v1 m2v2 成立条件 1 系统不受外力或合外力为零 2 系统所受合外力不为零 但沿
9、某个方向的合外力为零 则系统沿该方向的动量守恒 3 系统所受合外力不为零 但合外力远小于内力且作用时间极短 如爆炸或瞬间碰撞等 动量守恒定律表达式m1v1 m2v2 m1v1 m2v2 是矢量式 解题时要先规定正方向 各速度是相对于同一个惯性参考系的速度 v1 v2必须是作用前同一时刻的速度 v1 v2 必须是作用后同一时刻的速度 三 两个守恒定律 2 机械能守恒定律 公式 E E 或 Ep Ek或 成立条件 只有重力 或弹簧的弹力 做功 如果除了重力 或弹簧的弹力 做功以外 还有其它力做功W非 机械能不守恒 机械能变化 E W非 特别要指出 系统内滑动摩擦力做功Wf fS相 这里分两种情况
10、1 若一个物体相对于另一个物体作单向运动 S相为相对位移大小 2 若一个物体相对于另一个物体作往返运动 S相为相对路程 8 如图示的装置中 木块与水平面的接触是光滑的 子弹沿水平方向射入木块后留在木块内 将弹簧压缩到最短 现将子弹 木块和弹簧合在一起作为研究对象 系统 则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩到最短的整个过程中 A 动量守恒 机械能守恒B 动量不守恒 机械能守恒C 动量守恒 机械能不守恒D 动量不守恒 机械能不守恒 例与练 析与解 子弹射入木块过程系统要克服介质阻力做功 机械能不守恒 整个过程墙壁对弹簧有向右的弹力 系统合外力不为0 动量不守恒 滑块m从A滑到B的过程 物体与滑块
11、组成的系统动量守恒 机械能守恒B 滑块滑到B点时 速度大小等于C 滑块从B运动到D的过程 系统的动量和机械能都不守恒D 滑块滑到D点时 物体的速度等于0 9 如图示 质量为M的滑槽静止在光滑的水平面滑槽的AB部分是半径为R的1 4的光滑圆弧 BC部分是水平面 将质量为m的小滑块从滑槽的A点静止释放 沿圆弧面滑下 并最终停在水平部分BC之间的D点 则 例与练 10 一个质量为30kg的小孩和质量为50kg的小车以5m s的速度在光滑水平面上运动 若小孩以相对于车4m s的水平速度从小车的尾部跳下后 小车的速度多大 v2为小孩跳下车后小车的速度 以小车的运动方向为正方向 由动量守恒定律 例与练 析
12、与解 注意 要把小孩跳下车后的速度转化为对地速度 V人对地 V人对车 V车对地 V1 V2且V1 4m s 11 一个不稳定的原子核 质量为M 开始时处于静止状态 放出一个质量为m的粒子后反冲 已知放出粒子的动能为E0 则反冲核的动能为 A E0 B C D 例与练 析与解 又由动量守恒 p p0 0 12 一个人坐在光滑的冰面的小车上 人与车的总质量为M 70kg 当他接到一个质量为m 20kg以速度v 5m s迎面滑来的木箱后 立即以相对于自己u 5m s的速度逆着木箱原来滑行的方向推出 求小车获得的速度 整个过程动量守恒 但是速度u为相对于人的速度 规定木箱原来滑行的方向为正方向 对整个
13、过程由动量守恒定律 mv MV mv箱对地 MV m u V V 2 2m s 方向跟木箱原来滑行的方向相同 例与练 析与解 13 甲乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏 甲和他的冰车的总质量共为M 30kg 乙和他的冰车的总质量也是30kg 游戏时 甲推着一质量为m 15km的箱子 和他一起以大小为v0 2m s的速度滑行 乙以同样大小的速度迎面滑来 为了避免相撞 甲突然将箱子沿冰面推给乙 箱子到乙处时乙迅速把它抓住 若不计冰面的摩擦力 求甲至少要以多大的速度 相对于地面 将箱子推出 才能避免和乙相碰 例与练 甲 乙不相撞的临界条件是速度相同 对甲 乙和箱由动量守恒定律 向右为正 M M m
14、 V1 M m M V0 对甲和箱 向右为正 对乙和箱 向右为正 VX 5 2m sV1 0 4m s 析与解 M m V0 MV1 mvx MV0 mvx M m V1 14 平直的轨道上有一节车厢 车厢以12m s的速度做匀速直线运动 某时刻与一质量为其一半的静止的平板车挂接时 车厢顶边缘上一个小钢球向前滚出 如图所示 平板车与车厢顶高度差为1 8m 设平板车足够长 求钢球落在平板车上何处 g取10m s2 例与练 两车挂接时 因挂接时间很短 可以认为小钢球速度不变 以两车为对象 由动量守恒 Mv0 M M 2 v v 2v0 3 8m s 钢球落到平板车上所用时间为 t时间内平板车移动距
15、离 s1 vt 4 8m t时间内钢球水平飞行距离s2 v0t 7 2m 则钢球距平板车左端距离x s2 s1 2 4m 析与解 15 质量为M 4 0kg的平板小车静止在光滑的水平面上 如图所示 当t 0时 两个质量分别为mA 2kg mB 1kg的小物体A B都以大小为v0 7m s 方向相反的水平速度 同时从小车板面上的左右两端相向滑动 到它们在小车上停止滑动时 没有相碰 A B与车间的动摩擦因素 0 2 取g 10m s2 求 1 A在车上刚停止滑动时 A和车的速度大小 2 A B在车上都停止滑动时车的速度及此时车运动了多长时间 3 画出小车运动的速度 时间图象 例与练 1 当A和B在
16、车上都滑行时 析与解 A向右减速 B向左减速 小车向右加速 所以首先是A物块速度减小到与小车速度相等 设A减速到与小车速度大小相等时 所用时间为t1 其速度大小为v1 则 v1 v0 aAt1 mAg mAaB v1 a车t1 mAg mBg Ma 则v1 1 4m st1 2 8s 2 根据动量守恒定律有 mAv0 mBv0 M mA mB v 总动量向右 当A与小车速度相同时 A与车之间将不会相对滑动了 设再经过t2时间小物体A与B 车速度相同 则 v v1 aBt2 mBg mAaB则t2 1 2s 则v 1m s 则A B在车上都停止滑动时 车的运动时间为t t1 t2 4 0s 析与解 3 作小车运动图象 首先要分析小车的运动过程 再求出各个过程的初末速度和经历的时间 由 1 可知t1 2 8s时 小车的速度为v1 1 4m s 在0 t1时间内小车做匀加速运动 在t1 t2时间内小车做匀减速运动 4s末速度为v 1 0m s 小车的速度 时间图如图所示 碰撞的分类 完全弹性碰撞 动量守恒 动能不损失 质量相同 交换速度 完全非弹性碰撞 动量守恒 动能损失最大 以共同速度运动
