《2019-2020学年高中数学课时分层作业15抛物线的几何性质一 - 副本》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学课时分层作业15抛物线的几何性质一 - 副本（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时分层作业课时分层作业 十五十五 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 一一 建议用时 60 分钟 基础达标练 一 选择题 1 顶点在原点 对称轴是y轴 并且顶点与焦点的距离等于 3 的抛物线的标准方程是 A x2 3y B y2 6x C x2 12y D x2 6y C 依题意知抛物线方程为x2 2py p 0 的形式 又 3 p 6 2p 12 故方程 p 2 为x2 12y 2 若双曲线 1 p 0 的左焦点在抛物线y2 2px的准线上 则p的值为 x2 3 16y2 p2 A 2 B 3 C 4 D 4 2 C 双曲线的方程可化为 1 x2 3 y2 p2 16 双曲线的左焦点为 3
2、p2 16 0 又 抛物线的准线为x p 2 由题意 3 p2 16 p 2 解得p 4 3 过抛物线y2 4x的焦点作直线交抛物线于A x1 y1 B x2 y2 如果x1 x2 6 则 AB 的值为 A 10 B 8 C 6 D 4 B y2 4x 2p 4 p 2 由抛物线定义知 AF x1 1 BF x2 1 AB AF BF x1 x2 2 6 2 8 4 等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2 2px p 0 O为抛物线的顶点 OA OB 则 Rt ABO的面积是 A 8p2 B 4p2 C 2p2 D p2 B 由抛物线的对称性 可知kOA 1 可得A B的坐标分别为 2p 2p
3、2p 2p S ABO 2p 4p 4p2 1 2 5 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点弦AB的两端点坐标分别为A x1 y1 B x2 y2 则的值一定等于 y1y2 x1x2 A 4 B 4 C p2 D p2 A 若焦点弦AB x轴 则x1 x2 x1x2 p 2 p2 4 y1 p y2 p y1y2 p2 4 y1y2 x1x2 若焦点弦AB不垂直于x轴 可设AB的直线方程为y k x p 2 联立y2 2px得k2x2 k2p 2p x 0 p2k2 4 则x1x2 y1y2 p2 p2 4 故 4 y1y2 x1x2 二 填空题 6 已知抛物线x2 2py p 0 的焦点为
4、F 其准线与双曲线 1 相交于A B两点 x2 3 y2 3 若 ABF为等边三角形 则p 6 由题意知B 代入方程 1 得p 6 p 3 p 2 x2 3 y2 3 7 已知一条过点P 2 1 的直线与抛物线y2 2x交于A B两点 且P是弦AB的中点 则直线AB的方程为 x y 1 0 依题意 设点A x1 y1 B x2 y2 则有y 2x1 y 2x2 两式相减 2 12 2 得y y 2 x1 x2 即 1 直线AB的斜率为 1 直线AB的方程是 2 12 2 y1 y2 x1 x2 2 y1 y2 y 1 x 2 即x y 1 0 8 在平面直角坐标系xOy中 有一定点A 2 1
5、若线段OA的垂直平分线过抛物线 y2 2px p 0 的焦点 则该抛物线的标准方程是 y2 5x 线段OA的垂直平分线为 4x 2y 5 0 与x轴的交点为 5 4 0 抛物线的焦点为 5 4 0 其标准方程是y2 5x 三 解答题 9 抛物线的顶点在原点 以x轴为对称轴 经过焦点且倾斜角为 135 的直线被抛物线 所截得的弦长为 8 试求抛物线方程 解 依题意可设抛物线方程为y2 2px p 0 则直线方程为y x p 1 2 设直线交抛物线于点A x1 y1 B x2 y2 过A B分别作准 线的垂线 垂足为C D 则由抛物线定义得 AB AF FB AC BD x1 x2 即x1 x2
6、8 p 2 p 2 p 2 p 2 又A x1 y1 B x2 y2 是直线和抛物线的交点 由Error 消去y 得x2 3px 0 p2 4 x1 x2 3p 将其代入 得p 2 所求的抛物线方程为y2 4x 当抛物线方程设为y2 2px p 0 时 同理可求得抛物线方程为y2 4x 综上所述 抛物线方程为y2 4x或y2 4x 10 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点为F A x1 y1 B x2 y2 是过F的直线与抛物线 的两个交点 求证 1 y1y2 p2 x1x2 p2 4 2 为定值 1 AF 1 BF 3 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 证明 1 由已知得抛物线焦点坐标
7、为 p 2 0 由题意可设直线方程为x my 代入y2 2px p 2 得y2 2p 即y2 2pmy p2 0 my p 2 由y1 y2是方程 的两个实数根 所以y1y2 p2 因为y 2px1 y 2px2 所以y y 4p2x1x2 2 12 22 1 2 2 所以x1x2 y2 1y2 2 4p2 p4 4p2 p2 4 2 1 AF 1 BF 1 x1 p 2 1 x2 p 2 x1 x2 p x1x2 p 2 x1 x2 p2 4 因为x1x2 x1 x2 AB p p2 4 代入上式 得 1 AF 1 BF AB p2 4 p 2 AB p p2 4 定值 2 p 3 设AB的
8、中点为M x0 y0 分别过A B作准线的垂线 垂 足为C D 过M作准线的垂线 垂足为N 则 MN AC BD 1 2 AF BF AB 1 2 1 2 所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 能力提升练 1 已知直线l与抛物线y2 8x交于A B两点 且l经过抛物线的焦点F A点的坐标 为 8 8 则线段AB的中点到准线的距离是 A B C D 25 25 4 25 2 25 8 A 抛物线的焦点坐标为 2 0 直线l的方程为y x 2 由Error 得B点的坐标为 4 3 1 2 2 AB AF BF 2 8 2 1 2 25 2 AB的中点到准线的距离为 25 4 2 2018 全国卷
9、 已知点M 1 1 和抛物线C y2 4x 过C的焦点且斜率为k的直 线与C交于A B两点 若 AMB 90 则k 2 法一 由题意知抛物线的焦点为 1 0 则过C的焦点且斜率为k的直线方程为 y k x 1 k 0 由Error 消去y得k2 x 1 2 4x 即k2x2 2k2 4 x k2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 x1x2 1 由Error 消去x得y2 4 即y2 2k2 4 k2 1 ky 1 y 4 0 则y1 y2 y1y2 4 由 AMB 90 4 k 4 k 得 x1 1 y1 1 x2 1 y2 1 x1x2 x1 x2 1 y1y2 y1 y
10、2 1 0 将 MA MB x1 x2 x1x2 1 与y1 y2 y1y2 4 代入 得k 2 2k2 4 k2 4 k 法二 设抛物线的焦点为F A x1 y1 B x2 y2 则Error 所以y y 4 x1 x2 则k 取AB的中点M x0 y0 分别过点 2 12 2 y1 y2 x1 x2 4 y1 y2 A B作准线x 1 的垂线 垂足分别为A B 又 AMB 90 点M在准线x 1 上 所以 MM AB AF BF AA BB 又M 为AB的中点 所以MM 1 2 1 2 1 2 平行于x轴 且y0 1 所以y1 y2 2 所以k 2 3 过抛物线y2 4x的焦点F的直线交该
11、抛物线于A B两点 O为坐标原点 若 AF 3 则 AOB的面积为 由题意设A x1 y1 B x2 y2 y1 0 y2 0 如图所示 AF x1 1 3 3 2 2 x1 2 y1 2 2 设AB的方程为x 1 ty 由Error 消去x得y2 4ty 4 0 y1y2 4 y2 x2 2 1 2 S AOB 1 y1 y2 1 2 3 2 2 4 平面上一机器人在行进中始终保持与点F 1 0 的距离和到直线x 1 的距离相等 若机器人接触不到过点P 1 0 且斜率为k的直线 则k的取值范围是 1 1 由题意可知机器人的轨迹为抛物线 其轨迹方程为 y2 4x 过点P 1 0 且斜率为k的直
12、线方程为y k x 1 由题意知直线与抛物线无交点 联立两方程并消去y 得k2x2 2k2 4 x k2 0 则 2k2 4 2 4k4 0 所以k2 1 解得k 1 或k 1 5 已知直线l经过抛物线y2 6x的焦点F 且与抛物线相交于A B两点 1 若直线l的倾斜角为 60 求 AB 的值 2 若 AB 9 求线段AB的中点M到准线的距离 解 1 因为直线l的倾斜角为 60 所以其斜率k tan 60 3 又F 所以直线l的方程为y 联立Error 消去y得x2 5x 0 3 2 0 3 x 3 2 9 4 若设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 5 而 AB AF BF x1 x2 x1 x2 p 所以 AB 5 3 8 p 2 p 2 2 设A x1 y1 B x2 y2 由抛物线定义知 AB AF BF x1 x2 x1 x2 p x1 x2 3 p 2 p 2 所以x1 x2 6 于是线段AB的中点M的横坐标是 3 又准线方程是x 3 2 所以M到准线的距离等于 3 3 2 9 2
