《2019-2020学年上学期高二数学 寒假作业 精练：7 空间向量与立体几何（理）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年上学期高二数学 寒假作业 精练：7 空间向量与立体几何（理）（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、典题温故典题温故 1 四棱锥中 底面为直角梯形 PABCD ABCDABCD 90BAD 平面 为中点 22CDAB PA ABCD2PAAD MPC 1 求证 平面平面 PBC BMD 2 求二面角的余弦值 MBDP 答案 1 证明见解析 2 1 2 解析 1 在直角梯形中 3BD 1 coscos 3 BDCDBA 在中 由余弦定理可得 BCD 3BC 又 且 是等腰三角形 3PB 2PD PCD PCB 所以 由线面垂直的判定定理 得平面 PCMD PCMB PC BMD 又由面面垂直的判定定理 即可得到平面平面 PBC BMD 2 以为原点 为 轴 建立空间直角坐标系 AABADAPx
2、 y z 寒假精练寒假精练 7 7 空间向量与立体几何 则 0 0 2 P 0 0 0 A 1 0 0 B 2 2 0 C 0 2 0 D 有 1 0 2 PB 2 2 2 PC 0 2 2 PD 令平面的法向量为 由 可得一个 PBDn 0 0 PD PB n n 2 1 1 n 由 1 可知平面的一个法向量为 BDM 2 2 2 PC 所以 2 21 cos 2 2 2 2 PC PC PC n n n 所以二面角的余弦值为 MBDP 1 2 2 已知三棱柱中 111 ABCABC 1 4ACAA 2BC 90ACB 11 ABAC 1 求证 平面平面 11 A ACC ABC 2 若 为
3、线段上一点 且平面和平面所成角的余弦 1 60A AC PAC 1 BAP 11 A ACC 值为 求的值 3 4 AP PC 答案 1 证明见解析 2 3 AP PC 解析 1 连接 由题意知 1 AC 1111 ACACAACC 四边形是菱形 11 A ACC 11 ACAC 又 平面 则 11 ABAC 111 ABACA 1 AC 1 ACB 1 ACCB 90ACB ACBC 又 平面 平面平面 11 ACACA BC 11 A ACC 11 A ACC ABC 2 以点为原点 所在直线分别为轴 轴 平面上过点垂直 CCACBx y 11 A ACC C 于的直线为轴 建立空间直角坐
4、标系 ACz 设点的坐标为 P 0 0 04 tt 1 2 0 2 3 A 0 2 0 B 2 0 BPt 1 2 2 2 3 BA 设平面的法向量为 则 1 BAP x y z n 1 200 222 300 txyBP xyzBA n n 令 得 即为平面的一个法向量 1x 2 t y 2 2 3 t z 2 1 2 2 3 t t n 1 BAP 易知 平面的一个法向量为 11 A ACC 0 1 0 m 解得或 舍去 22 3 2 cos 4 2 1 412 t tt m n m n mn 1t 4 3 t 的坐标为 为上靠近点的四等分点 故 P 1 0 0 PACC 3 AP PC
5、经典集训经典集训 一 选择题 1 已知 则下列向量中与平行的是 2 3 1 a a A B C D 1 1 1 4 6 2 2 3 5 2 3 5 2 已知三角形的三个顶点 则过的中线长为 2 1 4 A 3 2 6 B 5 0 2 C A A B C D 112 1111 23 11 3 若平面的法向量分别为 则 1 2 3 5 n 2 3 1 2 n A B C 相交但不垂直D 以上均不正确 4 已知空间三点 在直线上有一点满足 0 0 0 O 1 1 0 A 0 1 1 B OAH 则点的坐标为 BHOA H A B C D 2 2 0 2 2 0 1 1 0 2 2 11 0 22 5
6、 已知空间向量 平面的一个法向量为 则直线与平面 1 0 1 AB 0 1 1 n AB 所成角为 A B C D 6 4 3 2 3 6 如图 正方体中 是棱的中心 是棱上的点 1111 ABCDABC D NADM1 CC 且 则直线与所成的角的余弦值是 1 3CCCM BM 1 B N A B C D 10 5 2 5 15 10 20 10 30 7 如图 在三棱柱中 底面 111 ABCABC 1 AA ABC1 3AA 则与平面所成角的大小为 2ABACBC 1 AA 11 ABC A B C D 30 45 60 90 8 在长方体中 下列计算结果一定不等于的是 1111 ABC
7、DABC D 0 A B C D 11 AD BC 1 BDAC 1 DC AD 111 BD BC 二 填空题 9 已知向量 则在方向上的投影为 1 2 1 a 2 2 0 b ab 10 在棱长为 的正方体中 为的中点 则到面的距离 1 1111 ABCDABC D M 1 AA AMBD 为 三 简答题 11 如图 在四棱锥中 底面是平行四边形 PABCD ABCD22ABAD 且平面平面 60DAB 2PAPC ACP ABCD 1 求证 CBPD 2 求二面角的余弦值 CPBA 12 如图 在四棱锥中 底面是菱形 平面 PABCD ABCDPA ABCD 且 点 分别是和的中点 2A
8、BACPA EFADPB 1 求证平面 EF PCD 2 求二面角的余弦值 BEFC 13 已知三棱柱中三个侧面均为矩形 底面为等腰直角三角形 111 ABCABC ABC 点为棱的中点 点在棱上运动 1 2CCCACB D 1 CC E 11 BC 1 求证 1 ACAE 2 当点运动到某一位置时 恰好使二面角的平面角的余弦值为 E 1 EADB 6 6 求点到平面的距离 E 1 ABD 答案与解析答案与解析 一 选择题 1 答案 B 解析 故选 B 4 6 2 2 a 2 答案 B 解析 边中点的坐标是 3 2 6 B 5 0 2 C BC 4 1 2 D 又 过点点的中线长 2 1 4
9、A A 222 24 1 1 42 2 11 3 答案 C 解析 与不平行 与不平行 1 n 2 n 与不垂直 故选 C 12 63 1010 n n 4 答案 C 解析 由 且点在直线上 1 1 0 OA HOA 可设 则 0 H 1 1 BH 又 即 解得 BHOA 0BH OA 10 1 2 1 1 0 2 2 H 5 答案 A 解析 由题意 空间向量 平面的一个法向量为 1 0 1 AB 0 1 1 n 所以根据空间向量的夹角公式 可得 1 1 sin cos 222 AB n 则直线与平面所成角 6 AB 6 6 答案 D 解析 以为坐标原点 以 所在直线为轴 轴 轴建立空间直 DD
10、ADC 1 DD x y z 角坐标系 设 3 0 0 2 N 3 3 0 B 0 3 1 M 1 3 3 3 B 3 0 1 BM 1 3 3 3 2 B N 1 1 1 10 cos 30 BM B N BM B N B NBM 7 答案 A 解析 取的中点 连接 以为轴 以为轴 以过点且平行于 ABDCDADxCD y D 的直线为轴 建立空间直角坐标系 1 AA z 可得 1 0 0 A 1 1 0 3 A 1 0 0 3 AA 而 1 1 0 3 B 1 0 3 3 C 1 2 0 3 AB 1 1 3 3 AC 设平面的法向量为 根据 11 ABC x y z m 1 0AB m
11、1 0AC m 解得 3 3 2 m 1 1 1 1 cos 2 AA AA AA m m m 故与平面所成角的大小为 1 AA 11 ABC 30 8 答案 D 解析 如图 以为原点 分别为 所在直线为 轴建立空间 DDADC 1 DD x y z 直角坐标系 设长方体的长宽高分别为 则 abc 0 0 A a 0 B a b 0 0 Cb 0 0 0 D 1 B a b c 1 0 Cb c 1 0 0 Dc 1 0 ADac 1 0 BCac 1 BDab c 0 ACa b 0 0 DCb 11 0 0 BCa 当时 22 11 AD BCac ac 11 0AD BC 22 1 BD
12、ACab 当时 ab 1 0BDAC 1 0DC AD 2 111 0BD BCa 故选 D 二 填空题 9 答案 3 2 2 解析 依题意在方向上的投影为 ab 22 2463 2 22 2 2 2 a b b 10 答案 6 6 解析 以为原点 为轴 为轴 为轴 建立空间直角坐标系 DDAxDC y 1 DD z 则 0 0 0 D 1 1 0 2 M 1 1 0 B 1 0 0 A 1 0 0 DA 1 1 0 2 DM 1 1 0 DB 设平面的法向量为 则 DBM x y z n 1 0 2 0 DMxz DBxy n n 取 得 1x 1 1 2 n 到面的距离 AMBD 16 6
13、6 DA d n n 三 简答题 11 答案 1 证明见解析 2 2 3 13 解析 1 连 交于点 连 ACBDOPO 由平面平面 平面平面 ACP ABCDACP ABCDAC 又 平面 PAPC POAC PO ABCD 又平面 BC ABCDPOBC 又 22 2cos603BDABADAB AD 又 平面 222 BDBCCD BCBD BDPOO BC PBD 平面 PD PBDCBPD 2 由 1 知 以为坐标原点 为轴 为轴 过点且与平 DADB DDAxDB y D 面垂直的直线为轴 建立如图所示的空间直角坐标系 ADBz 由 1 知面 则轴 PO ABCDPOz 由平面几何
14、知识易得 7 2 AO 3 2 PO 则 1 0 0 A 0 3 0 B 3 3 0 22 P 1 3 0 C 于是 1 0 0 BC 3 3 0 22 BP 1 3 0 BA 设平面的法向量为 则 PBC1 x y z n 1 BC n 1 BP n 即 取 则 则 1 1 0 0 BC BP n n 0 33 0 22 x yz 1z 3y 1 0 3 1 n 同理可得平面的一个向量为 PBA 2 3 3 1 n 于是 12 12 12 2 13 cos 132 13 n n n n nn 分析知二角面的余弦值为 CPBA 2 3 13 12 答案 1 证明见解析 2 2 3 5 解析 1
15、 如图 取的中点 连结 PAMEMFM 则 平面平面 平面 FMABCD EMPD EFM PCDEF PCD 2 连接 交于点 以为坐标原点 为轴 为轴 过点且ACBDOOOCxODyO 垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系 ABCDz 不妨设 则 1PA 2ABAD 0 3 0 B 1 0 0 C 1 0 1 P 13 0 22 E 13 1 222 F 得 1 3 3 0 22 BE 13 1 222 BF 设平面的法向量为 则 得 BEF 1 x y z n 1 1 0 0 BE BF n n 1 3 3 1 2 3 n 同理可得平面的法向量为 CEF2 1 3 6 n 二面角的余弦
16、值为 12 12 2 3 cos 5 n n nn BEFC 2 3 5 13 答案 1 证明见解析 2 6 2 解析 1 以为坐标原点 为轴 为轴 为轴建立空间直角坐标 CCBxCA y 1 CC z 系 则 0 0 0 C 0 2 0 A 1 0 2 2 A 0 0 1 D 2 0 0 B 设 其中 所以 0 2 E m 02m 1 0 2 2 AC 2 2 AEm 因为 所以 即 1 0 2 2 2 20AC AE 1 ACAE 1 ACAE 2 由 1 可知 0 1 DEm 1 0 2 1 DA 2 0 1 DB 设为平面的一个法向量 1111 x y z n 1 EAD 则 即 1 11 0 0 DE DA n n 11 11 0 20 mxz yz 1 2 2 mm n 设为平面的一个法向量 2222 xyz n 1 ADB 则 即 2 21 0 0 DB DA n n 22 22 20 20 xz yz 2 1 1 2 n 由二面角的平面角的余弦值为 1 EADB 6 6 得 解得或 12 22 246 cos 6 446 mm mm n n 1m 0m 易知当时 二面角
