《通用版2020版高考数学大二轮复习大题专项练三立体几何》由会员分享，可在线阅读，更多相关《通用版2020版高考数学大二轮复习大题专项练三立体几何（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、大题专项练大题专项练 三三 立体几何立体几何 A A 组 基础通关 1 1 如图 在三棱锥A BCD中 ABC是等边三角形 BAD BCD 90 点P是AC的中点 连接BP DP 1 证明 平面ACD 平面BDP 2 若BD 且二面角A BD C为 120 求直线AD与平面BCD所成角的正弦值 6 1 证明因为 ABC是等边三角形 BAD BCD 90 所以 Rt ABD Rt CBD 可得AD CD 因为点P是AC的中点 则PD AC PB AC 因为PD PB P PD 平面PBD PB 平面PBD 所以AC 平面PBD 因为AC 平面ACD 所以平面ACD 平面BDP 2 解方法一 如图
2、 作CE BD 垂足为E 连接AE 因为 Rt ABD Rt CBD 所以AE BD AE CE AEC为二面角A BD C的平面角 由已知二面角A BD C为 120 知 AEC 120 在等腰三角形AEC中 由余弦定理可得AC AE 3 因为 ABC是等边三角形 则AC AB 所以AB AE 3 在 Rt ABD中 有AE BD AB AD 得BD AD 因为BD 所以AD 1 2 1 2362 又BD2 AB2 AD2 所以AB 2 则AE ED 由CE BD AE BD可知BD 平面AEC 则平面AEC 平面BCD 23 3 6 3 过点A作AO CE 交CE的延长线于O 则AO 平面
3、BCD 连接OD 则 ADO为直线AD与平面BCD 所成的角 在 Rt AEO中 AEO 60 所以AO AE 1 sin ADO 3 2 AO AD 2 2 所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为 2 2 方法二 如图 作CE BD 垂足为E 连接AE 因为 Rt ABD Rt CBD 所以AE BD AE CE AEC为二面角A BD C的平面角 由已知二面角A BD C为 120 知 AEC 120 在等腰三角形AEC中 由余弦定理可得AC AE 3 因为 ABC是等边三角形 则AC AB 所以AB AE 在 Rt ABD中 有AE BD AB AD 得BD 3 1 2 1 2 AD
4、因为BD 所以AD 362 又BD2 AB2 AD2 所以AB 2 则AE ED 23 3 6 3 以E为坐标原点 以向量的方向分别为x轴 y轴的正方向 以过点E垂直于平面BCD的直 EC ED 线为z轴 建立空间直角坐标系E xyz 则D0 0 A 0 1 向量 1 平面BCD的一个法向量为 m m 0 0 1 6 3 3 3AD 3 3 6 3 设直线AD与平面BCD所成的角为 则 cos AD m AD m AD 1 2 1 2 2 sin cos AD 2 2 所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为 2 2 2 2 如图 已知三棱柱ABC A1B1C1 侧面ABB1A1为菱形 A1C
5、 BC 1 求证 A1B 平面AB1C 2 若 ABB1 60 CBA CBB1 AC B1C 求二面角B AC A1的余弦值 1 证明因为侧面ABB1A1为菱形 所以A1B AB1 记A1B AB1 O 连接CO 因为A1C BC BO A1O 所以A1B CO 又AB1 CO O 所以A1B 平面AB1C 2 解方法一 因为 CBA CBB1 AB BB1 BC BC 所以 CBA CBB1 所以AC B1C 又O是AB1的中点 所以CO AB1 又A1B CO A1B AB1 O 所以CO 平面ABB1A1 令BB1 2 因为AC B1C O为AB1的中点 所以CO 1 如图 以O为坐标
6、原点 OB所在的直线为x轴 OB1所在的直线为y轴 OC所在的直线为z轴建 立空间直角坐标系 O 0 0 0 A 0 1 0 B 0 0 C 0 0 1 A1 0 0 1 0 0 1 1 33AB3AC AA1 1 0 0 1 3 A1C 3 设平面ABC的法向量为 n n1 x y z 则 n1 AB 0 n1 AC 0 即 3x y 0 y z 0 令x 1 则 n n1 1 同理可得平面A1AC的一个法向量为 n n2 1 3 333 cos n1 n2 n1 n2 5 7 由图知二面角B AC A1为钝角 所以二面角B AC A1的余弦值为 5 7 方法二 因为 CBA CBB1 AB
7、 BB1 BC BC 所以 CBA CBB1 所以AC B1C 设AB 2 因为 ABB1 60 侧面ABB1A1为菱形 所以AA1 AB1 2 OA OB1 1 OB OA1 3 又AC B1C 所以CO 1 AC B1C 2 又A1C BC O为A1B的中点 所以BC A1C 2 所以 ABC为等腰三角形 A1AC为等腰三角形 如图 取AC的中点M 连接BM A1M 则 BMA1为二面角B AC A1的平面角 在 BMA1中 可得BM A1M A1B 2 14 23 所以 cos BMA1 BM2 A1M2 A1B2 2BM A1M 5 7 所以二面角B AC A1的余弦值为 5 7 3
8、3 如图 三棱台ABC EFG的底面是正三角形 平面ABC 平面BCGF CB 2GF BF CF 1 求证 AB CG 2 若BC CF 求直线AE与平面BEG所成角的正弦值 1 证明取BC的中点为D 连接DF 如图 由题意得 平面ABC 平面EFG 平面ABC 平面BCGF BC 平面EFG 平面BCGF FG 从而BC FG CB 2GF CD GF 四边形CDFG为平行四边形 CG DF BF CF D为BC的中点 DF BC CG BC 平面ABC 平面BCGF 且平面ABC 平面BCGF BC CG 平面BCGF CG 平面ABC 又AB 平面ABC CG AB 2 解连接AD 由
9、 ABC是正三角形 且D为BC的中点得 AD BC 由 1 知 CG 平面ABC CG DF DF AD DF BC DB DF DA两两垂直 以D为坐标原点 DB DF DA所在的直线分别为x y z轴 建立空间直角坐标系D xyz 设BC 2 则A 0 0 B 1 0 0 F 0 0 G 1 0 2 0 333BG3 CB 2GF 2 E ABEF 1 2 3 3 2 AE 1 2 3 3 2 BE 3 2 3 3 2 设平面BEG的法向量为 n n x y z 由可得 BG n 0 BE n 0 2x 3y 0 3 2x 3y 3 2 z 0 令x 则y 2 z 1 n n 2 1 为平
10、面BEG的一个法向量 设AE与平面BEG所成的角为 33 则 sin cos AE AE n AE n 6 4 直线AE与平面BEG所成角的正弦值为 6 4 4 4 如图 在四棱锥P ABCD中 四边形ABCD为平行四边形 PCD为正三角形 BAD 30 AD 4 AB 2 平面PCD 平面ABCD E为PC的中点 3 1 证明 BE PC 2 求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值 1 证明如图 连接BD DE BD2 AB2 AD2 2AB AD cos BAD 4 BD 2 AB2 BD2 AD2 AB BD BD CD 平面PCD 平面ABCD 平面PCD 平面ABCD CD
11、BD 平面PCD BD PC PCD为正三角形 E为PC的中点 DE PC PC 平面BDE BE PC 2 解方法一 作PG CD且PG CD 则PG AB PG为平面PAB与平面PCD的交线 连接GD GB 设F 1 2 为CD的中点 连接PF 则PG DF 故四边形DFPG为平行四边形 所以DG PG 由 1 可知BD CD BD PG PG 平面BDG BG PG BGD就是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角 DG PF 3 BD 2 BG 13 cos BGD DG BG 3 13 313 13 即平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为 313 13 方法二 如图建
12、立空间直角坐标系D xyz 则A 2 2 0 B 2 0 0 P 0 3 2 3 3 2 3 33PA3PB3 可知平面PCD的一个法向量为 m m 1 0 0 设平面PAB的法向量为 n n x0 y0 z0 则即 n n 3 0 2 n PA 2x0 33y0 3z0 0 n PB 2x0 3y0 3z0 0 设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为 cos m n m n 3 13 313 13 即平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为 313 13 5 5 如图 在等腰梯形ABCD中 AB CD E F分别为AB CD的中点 CD 2AB 2EF 4 M为DF的中点 现 将四边
13、形BEFC沿EF折起 使平面BEFC 平面AEFD 得到如图 所示的多面体 在图 中 1 证明 EF MC 2 求二面角M AB D的余弦值 1 证明由题意 可知在等腰梯形ABCD中 AB CD E F分别为AB CD的中点 EF CD 折叠后 EF DF EF CF DF CF F EF 平面DCF 又MC 平面DCF EF MC 2 解 平面BEFC 平面AEFD 平面BEFC 平面AEFD EF 且DF EF DF 平面BEFC DF CF DF CF EF两两垂直 以F为坐标原点 分别以FD FC FE所在直线为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 F xyz 由题意知DM F
14、M 1 M 1 0 0 D 2 0 0 A 1 0 2 B 0 1 2 0 0 2 1 1 0 1 0 2 MAABDA 设平面MAB 平面ABD的法向量分别为 m m x1 y1 z1 n n x2 y2 z2 由 MA m 0 AB m 0 得 2z1 0 x1 y1 0 取x1 1 则 m m 1 1 0 为平面MAB的一个法向量 由 DA n 0 AB n 0 得 x2 2z2 0 x2 y2 0 取x2 2 则 n n 2 2 1 为平面ABD的一个法向量 cos m n m n 2 2 2 3 22 3 二面角M AB D的余弦值为 22 3 6 6 如图 四棱台ABCD A1B1
15、C1D1中 底面ABCD是菱形 CC1 底面ABCD 且 BAD 60 CD CC1 2C1D1 4 E是棱BB1的中点 1 求证 AA1 BD 2 求二面角E A1C1 C的余弦值 证明 1 因为CC1 底面ABCD 所以CC1 BD 因为底面ABCD是菱形 所以BD AC 由四棱台ABCD A1B1C1D1知 A1 A C C1四点共面 又AC CC1 C 所以BD 平面ACC1 所以BD AA1 2 如图 设AC与BD交于点O 连接OA1 依题意得 A1C1 OC且A1C1 OC 所以四边形A1OCC1是平 行四边形 所以A1O CC1 且A1O CC1 所以A1O 底面ABCD 以O为
16、坐标原点 OA OB OA1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则A 2 0 0 A1 0 0 4 C1 2 0 4 B 0 2 0 33 由得 B1 1 4 A1B1 1 2AB3 因为E是棱BB1的中点 所以E 2 3 2 3 2 所以 2 2 0 0 EA1 3 2 3 2 A1C1 3 设平面EA1C1的法向量为 n n1 x y z 则 n1 A1C1 0 n1 EA1 0 即 23x 0 3 2 x 3 2y 2z 0 取z 3 则 n n1 0 4 3 为平面EA1C1的一个法向量 又 n n2 0 1 0 为平面AA1C1C的一个法向量 所以 cos n1 n2 n1 n2 4 5 由图可知 二面角E A1C1 C为锐二面角 所以二面角E A1C1 C的余弦值为 4 5 B B 组 能力提升 7 7 如图 四棱锥P ABCD中 底面ABCD为直角梯形 AB CD BAD 90 CD 2AB 2 PA 平面 ABCD PA AD M为PC的中点 2 1 求证 平面PBC 平面BMD 2 求二面角M BD P的余弦值 1 证明在直角梯形ABCD中 BD cos
