《2020版新高考二轮复习理科数学教学案：第三部分第3讲 立体几何》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版新高考二轮复习理科数学教学案：第三部分第3讲 立体几何（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲立体几何真题调研【例1】2019全国卷如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值解：(1)连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且MEB1C.又因为N为A1D的中点，所以NDA1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MNED.又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE.(2)由已知可得DEDA.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为
2、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，2)，N(1,0,2)，(0,0，4)，(1，2)，(1,0，2)，(0，0)设m(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m(，1,0)设n(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n(2,0，1)于是cosm，n，所以二面角AMA1N的正弦值为.【例2】2019全国卷如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，求二面角BECC1的正弦值解：(1)由已知得，B1C1平面ABB1A1，BE
3、平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E，所以AEB45，故AEAB，AA12AB.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，所以(1,0,0)，(1，1，1)，(0,0,2)设平面EBC的法向量为n(x，y，z)，则即所以可取n(0，1，1)设平面ECC1的法向量为m(x1，y1，z1)，则即所以可取m(1,1,0)于是cosn，m.所以，二面角BECC1的正弦值为.【例3】201
4、9全国卷图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图2中的二面角BCGA的大小解：(1)由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)作EHBC，垂足为H.因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC.由已知，菱形BCGE的边长为2
5、，EBC60，可求得BH1，EH.以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则A(1,1,0)，C(1,0,0)，G(2，0，)，(1,0，)，(2，1,0)设平面ACGD的法向量为n(x，y，z)，则即所以可取n(3,6，)又平面BCGE的法向量可取为m(0,1,0)，所以cosn，m.因此二面角BCGA的大小为30.【例4】2019天津卷如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2.(1)求证：BF平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角EBDF的余弦值为，求线段CF的长解：依题意，可以建立以A
6、为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)设CFh(h0)，则F(1,2，h)(1)依题意，(1,0,0)是平面ADE的法向量，又(0,2，h)，可得0，又因为直线BF平面ADE，所以BF平面ADE.(2)依题意，(1,1,0)，(1,0,2)，(1，2，2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨令z1，可得n(2,2,1)因此有cos，n.所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设m(x，y，z)为平面BDF的法向量，则即不妨令y1，可得m.由题意，有
7、|cosm，n|，解得h.经检验，符合题意所以，线段CF的长为.模拟演练12019南昌二模如图1，矩形ABCD中，AB3，BC1，E，F是边DC的三等分点现将DAE，CBF分别沿AE，BF折起，使得平面DAE、平面CBF均与平面ABFE垂直，如图2.(1)若G为线段AB上一点，且AG1，求证：DG平面CBF；(2)在(1)的条件下，求二面角ACFB的余弦值解：(1)如图，分别取AE，BF的中点M，N，连接DM，CN，MG，MN，因为ADDE1，ADE90，所以DMAE，且DM.因为BCCF1，BCF90，所以CNBF，且CN.因为平面DAE、平面CBF均与平面ABFE垂直，所以DM平面ABFE
8、，CN平面ABFE，所以DMCN，且DMCN.易知EAB45，由余弦定理，得MG221221，所以AM2MG221AG2，所以AMG90，所以AMG是以AG为斜边的等腰直角三角形，故MGA45，而FBA45，则MGFB，故平面DMG平面CBF，又DG平面DMG，所以DG平面CBF.(2)连接GE，以G为原点，分别以AB，GE所在直线为x，y轴，以过G点并垂直于平面ABFE的直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(2,0,0)，E(0,1,0)，F(1,1,0)，C，所以(2,1,0)，连接GF，由题知GFBF，由(1)知GFCN，故GF平面CBF，从而(1,1,0)是平面CBF的
9、一个法向量设n(x，y，z)为平面AFC的法向量，则即取x2，则y4，z3，n(2,4,3)，所以cos，n，由图知二面角ACFB为钝角，故所求二面角的余弦值为.22019合肥质检二如图，三棱台ABCEFG的底面是正三角形，平面ABC平面BCGF，CB2GF，BFCF.(1)求证：ABCG；(2)若BCCF，求直线AE与平面BEG所成角的正弦值解：(1)取BC的中点为D，连接DF，如图由题意得，平面ABC平面EFG，平面ABC平面BCGFBC，平面EFG平面BCGFFG，从而BCFG.CB2GF，CD綊GF，四边形CDFG为平行四边形，CGDF.BFCF，D为BC的中点，DFBC，CGBC.平
10、面ABC平面BCGF，且平面ABC平面BCGFBC，CG平面BCGF，CG平面ABC，又AB平面ABC，CGAB.(2)连接AD.由ABC是正三角形，且D为BC的中点得，ADBC.由(1) 知，CG平面ABC，CGDF，DFAD，DFBC，DB，DF，DA两两垂直以D为坐标原点，DB，DF，DA所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设BC2，则A(0,0，)，B(1,0,0)，F(0，0)，G(1，0)，(2，0)CB2GF，2，E，.设平面BEG的法向量为n(x，y，z)，由可得，令x，则y2，z1，n(，2，1)为平面BEG的一个法向量设AE与平面BEG所成的角为，则s
11、in|cos，n|.直线AE与平面BEG所成角的正弦值为.32019广州综合测试一如图，在三棱锥ABCD中，ABC是等边三角形，BADBCD90，点P是AC的中点，连接BP，DP.(1)证明：平面ACD平面BDP；(2)若BD，且二面角ABDC为120，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值解：(1)因为ABC是等边三角形，BADBCD90，所以RtABDRtCBD，可得ADCD.因为点P是AC的中点，则PDAC，PBAC，因为PDPBP，PD平面PBD，PB平面PBD，所以AC平面PBD.因为AC平面ACD，所以平面ACD平面BDP.(2)解法一：如图，作CEBD，垂足为E，连接AE.因为Rt
12、ABDRtCBD，所以AEBD，AECE，AEC为二面角ABDC的平面角由已知二面角ABDC为120，知AEC120.在等腰三角形AEC中，由余弦定理可得ACAE，因为ABC是等边三角形，则ACAB，所以ABAE.在RtABD中，有AEBDABAD，得BDAD，因为BD，所以AD.又BD2AB2AD2，所以AB2.则AE，ED.由CEBD，AEBD可知BD平面AEC，则平面AEC平面BCD.过点A作AOCE，交CE的延长线于O，则AO平面BCD.连接OD，则ADO为直线AD与平面BCD所成的角在RtAEO，AEO60，所以AOAE1，sinADO.所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为.解法
13、二：如图，作CEBD，垂足为E，连接AE.因为RtABDRtCBD，所以AEBD，AECE，AEC为二面角ABDC的平面角由已知二面角ABDC为120，知AEC120.在等腰三角形AEC中，由余弦定理可得ACAE，因为ABC是等边三角形，则ACAB，所以ABAE.在RtABD中，有AEBDABAD，得BDAD，因为BD，所以AD.又BD2AB2AD2，所以AB2.则AE，ED.以E为坐标原点，以向量，的方向分别为x轴，y轴的正方向，以过点E垂直于平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Exyz，则D，A，向量，平面BCD的一个法向量为m(0,0,1)，设直线AD与平面BCD所成的角为，则cosm，sin|cosm，|.所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为.42019长沙一模已知三棱锥PABC(如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD为边长等于的正方形，ABE和BCF均为正三角形在三棱锥PABC中：(1)证明：平面PAC平面ABC；(2)若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角PB
