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1、奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)f(x)0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0，且若0D，则f(0)0.【典例1】(1)已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)af(x)bg(x)2在区间 (0，)上有最大值5，那么h(x)在(，0)上的最小值为()A5B3C1D5(2)(2019郑州模拟)已知函数f(x)log3(x)在k，k，(k0)上的最大值与最小值分别为M和m，则Mm()A4B2C1D0(1)C(2)B(1)令F(x)h(x)2af(x)bg(x)，所以F(x)为奇函数，x(0，)时，h(x
2、)5, F(x)h(x)23.又x(，0)时，x(0，)，F(x)3F(x)3，h(x)321，故选C.(2)已知f(x)log3(x)，则f(x)log3(x)，则f(x)f(x)2，函数f(x)在定义域内为非奇非偶函数，令g(x)f(x)1，则g(x)g(x)f(x)1f(x)10，则g(x)在定义域内为奇函数设g(x)的最大值为t，则最小值为t，则f(x)的最大值为Mt1，最小值为mt1，则Mm2，故选B.【链接高考1】(2012新课标全国)设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_.2显然函数f(x)的定义域为R，f(x)1，设g(x)，则g(x)g(x)，g(x)为奇函数，由奇
3、函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.抽象函数的周期性与对称性1函数的周期性(1)如果f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T2a.(2)如果f(xa)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.2函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数(1)若f(ax)f(bx)恒成立，则yf(x)的图象关于直线x对称，特别地，若f(ax)f(ax)恒成立，则yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若
4、函数yf(x)满足f(ax)f(ax)0，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称【典例2】(1)(2019德州市高三联考)已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x2，则f(2 019)()A2 0192B1C0D1(2)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，g(x)(x1)31，若函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x2 019，y2 019)，则 (xiyi)_.(1)D(2)4 038(1)根据题意，函数f(x)满足f(x2)f(x)，则有f(x4)f(x2)f(x)，即函数是
5、周期为4的周期函数，则f(2 019)f(12 020)f(1)，又由函数为奇函数，则f(1)f(1)1，则f(2 019)1，故选D.(2)由g(x)(x1)31知g(x)g(2x)2，得函数yg(x)的图象关于点(1,1)对称又函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，则函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点关于点(1,1)对称，则x1x2 019x2x2 018x3x2 0172x1 0102，y1y2 019y2y2 018y3y2 0172y1 0102，故x1x2x2 018x2 0192 019，y1y2y2 018y2 0182 019，即 (xiyi)4 038.【链接高考2
6、】(2014大纲高考)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x2)为偶函数，且f(1)1，则f(8)f(9)()A2 B1 C0 D1D由f(x2)是偶函数可得f(x2)f(x2)，又由f(x)是奇函数得f(x2)f(x2)，所以f(x2)f(x2)，f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)f(81)f(1)1.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0，所以f(8)f(0)0，故f(8)f(9)1.两个经典不等式1.对数形式：1ln(x1)x(x1)，当且仅当x0时，等号成立2指数形式：exx1(xR)，当且仅当x0时，等号成立【典例3】设函数f
7、(x)1ex，证明：当x1时，f(x).证明当x1时，f(x)当且仅当exx1.令g(x)exx1，则g(x)ex1.当x0时g(x)0，g(x)在(，0是减函数；当x0时g(x)0，g(x)在0，)是增函数于是函数g(x)在x0处达到最小值，因而当xR时，g(x)g(0)，即exx1.所以当x1时，f(x).【链接高考3】(2012全国卷)已知函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()B由题意得f(x)的定义域为x|x1且x0，所以排除选项D.令g(x)ln(x1)x，则由不等式ln(x1)x知，g(x)0恒成立，故f(x)0恒成立，所以排除A，C，故选B.三点共线的充要条件及其结论推广1.
8、设平面上三点O，A，B不共线，则平面上任意一点D与A，B共线的充要条件是存在实数与，使得，且1.2等和线的证明若，且xy，那么xy，如图1所示. 过点C作直线lAB，在l上任作一点C，连接OCABD，如图2所示图1图2同理可得，以，为基底时，对应的系数和依然为.【典例4】一题多解在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点若，则_.法一：(常规解法)如图，连接MN并延长交AB的延长线于T.由已知易得ABAT，T，M，N三点共线，1，.法二：(等和线定理法) 如图，连接MN并延长交AB的延长线于T.由已知易得ABAT，又，结合等和线定理得 .【链接高考4】(2017全
9、国卷)在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为()A3B2C.D2A建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1)设BD与圆C切于点E，连接CE，则CEBD.CD1，BC2，BD，EC，即圆C的半径为，P点的轨迹方程为(x2)2(y1)2.设P(x0，y0)，则(为参数)，而(x0，y0)，(0,1)，(2,0)(0,1)(2,0)(2，)，x01cos ，y01sin .两式相加，得1sin 1cos 2sin()3，当且仅当2k，kZ时，取得最大值3.故选A.数列的相关结论1.若等差数列an的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，
10、所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2mm(amam1)，S偶S奇md，.2若等差数列an的项数为奇数2m1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m1(2m1)am，S奇S偶am，.3公比q1时，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列(nN*)4若等比数列的项数为2n(nN*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶qS奇【典例5】(1)设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则()A2 B.C.D3(2)等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1a0，S2m138，则m_.(1)B(2)10由已知3，得S63S3，因为S3，S6S3，S9S6也为等
11、比数列，所以(S6S3)2S3(S9S6)，则(2S3)2S3(S93S3)化简得S97S3，从而.(2)由公式am1am1a0得2ama0，解得am0或2.又S2m1(2m1)am38.显然可得am0，所以am2.代入上式可得2m119，解得m10.【链接高考5】(2013全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3B4C5D6CSm12，Sm0，Sm13，amSmSm12，am1Sm1Sm3，公差dam1am1，由公式Snna1dna1，得由得a1，代入可得m5.多面体的外接球和内切球1.长方体的对角线长d与共点的三条棱a，b，c之间的关系为d2a2b
12、2c2；若长方体外接球的半径为R，则有(2R)2a2b2c2.2棱长为a的正四面体内切球半径ra，外接球半径Ra.【典例6】已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16，则该三棱柱的侧棱长为()AB2C4D3A由于直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形把直三棱柱ABCA1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的面积是16，所以外接球半径为2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长，所以该三棱柱的侧棱长为.【链接高考6】(2016全国卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为()A12 B.C8D4A设正方体棱长为a，则a38，所以a2.所以正方体的体对角线长为2，所以正方体外接球的半径为，所以球的表面积为4()212，故选A.圆锥曲线的中点弦问题1在椭圆E：1(ab0)中：(1)如图1所示，若直线ykx(k0)与椭圆E交于A，B两点，过A，B两点作椭圆的切线l，l，有ll，设其斜率为k0，则k0k.(2)如图2所示，若直线ykx与椭圆E交于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1k2.(3)如图3所示，若直线ykxm(k0且m0)与椭圆E交于A，B两点，P为弦AB的中点，设直线PO的斜率为k0，则k0k.
