《2019-2020学年数学人教A版选修2-1能力检测3 第三章空间向量与立体几何》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修2-1能力检测3 第三章空间向量与立体几何（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章能力检测第三章能力检测 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 满分 60 分 1 设 a b c 是空间一个基底 则一定可以与向量 p a b q a b 构成空间的另 一个基底的向量是 A aB b C cD a 或 b 答案 C 解析 向量 p q 均与 a b 共面 所以只能与 c 组成基底 2 已知空间直角坐标系中点 A 1 0 0 B 2 0 1 C 0 1 2 则平面 ABC 的一个法向量为 A 1 3 2 B 1 3 1 C 1 3 1 D 1 3 1 答案 B 解析 1 0 1 1 1 2 设平面 ABC 的一个法向量为
2、n x y z 则 n AB AC x z 0 n x y 2z 0 n 1 3 1 为平面 ABC 的法向量 故选 B AB AC 3 设 A B C D 是空间不共面的四点且满足 0 0 0 则 AB AC AB AD AC AD BCD 是 A 钝角三角形B 直角三角形 C 锐角三角形D 不确定 答案 C 解析 由 0 0 0 可知 即 AB AC AB AD AC AD AB AC AB AD AC AD 三棱锥 ABCD 的三侧棱两两垂直 则其底面为锐角三角形 4 已知向量 a 0 2 1 b 1 1 2 则 a 与 b 的夹角为 A 0 B 45 C 90 D 180 答案 C 解
3、析 cos a b 0 a 与 b 的夹角为 90 a b a b 2 2 5 6 5 2019 年陕西西安期末 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 t 点 E F 分别是 BC AD 的中点 则 等于 AE AF A t2 B t2 3 2 3 4 C t2 D t2 1 2 1 4 答案 D 解析 设 a b c 则 a b c t 且 a b c 三向量两两夹角为 AB AC AD 60 又 a b c 故 a b c a c b c t2cos 60 t2cos 60 t2 AE 1 2 AF 1 2 AE AF 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 6 设 a m
4、 1 2 b 3 4 n 若 a b 则 m n 的值分别为 A 8B 8 3 4 3 4 C 8D 8 3 4 3 4 答案 A 解析 a b 存在实数 使得 a b Error Error 解得 m n 8 故选 A 3 4 7 空间四边形 OABC 中 a b c 点 M 在上且 2 N 为 OA OB OC OA OM MA BC 中点 则等于 MN A a b cB a b c 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 1 2 C a b cD a b c 1 2 1 2 2 3 2 3 2 3 1 2 答案 B 解析 如图 a c b c a b MN MO OC CN 2 3AO
5、OC 1 2CB 2 3 1 2 2 3 1 2 c 1 2 8 2019 年黑龙江哈尔滨模拟 已知空间向量 a 2 1 2 b 2 2 1 则以 a b 为邻 边的平行四边形的面积为 A B 65 265 C 4 D 8 答案 B 解析 a 3 b 3 而 a b 4 a b cos a b cos a b 故 4 9 sin a b 于是以 a b 为邻边的平行四边形的面积为 1 4 9 2 65 9 S a b sin a b 3 3 故选 B 65 965 9 已知 e1 e2 e3是空间中不共面的三个向量 若 a e1 e2 e3 b e1 e2 e3 c e1 e2 d e1 2e
6、2 3e3且 d xa yb zc 则 x y z 分 别为 A 1B 1 5 2 1 2 5 2 1 2 C 1D 1 5 2 1 2 5 2 1 2 答案 A 解析 d xa yb zc x y z e1 x y z e2 x y e3 e1 2e2 3e2 由空间向量 基本定理 空间任一向量都可以用一个空间基底唯一表示 从而得到Error Error 解得 x y 5 2 z 1 故选 A 1 2 10 2019 年河北石家庄模拟 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 已知 AB 2 CC1 则 2 异面直线 AB1和 BC1所成角的正弦值为 A 1 B 7 7 C D 1 2 3 2 答
7、案 A 解析 取线段 A1B1 AB 的中点分别为 O D 则 OC1 平面 ABB1A1 可以以 OB1 的方向分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建立空间直角坐标系 O xyz 如图 则 OC1 OD A 1 0 B1 1 0 0 B 1 0 C1 0 0 2 0 1 223 AB1 2 BC1 3 2 0 1 0 即异面直线 AB1和 BC1所 2 AB1 BC1 232 AB1 BC1 成的角为直角 则其正弦值为 1 故选 A 11 在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中 E F 分别为棱 AA1 BB1的中点 G 为棱 A1B1上的一点且 A1G 0 1 则点 G 到平
8、面 D1EF 的距离为 A B 3 2 2 C D 2 3 5 5 答案 D 解析 以 D 为原点 DA DC DD1分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 则 E F D1 0 0 1 A1 1 0 1 可求得面 D1EF 的一个法向量为 n 1 0 2 1 0 1 2 1 1 1 2 A1G EF 点 G 到平面 D1EF 的距离等于点 A1到平面 D1EF 的距离 又 A1E 0 0 1 2 d A1E n n 1 5 5 5 12 2019 年宁夏银川期末 已知正三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等 则 AB1 与侧面 ACC1A1所成角的正弦值等于 A B 2
9、3 1 3 C D 10 4 6 4 答案 D 解析 如图 以 A1C1中点 E 为原点建立空间直角坐标系 E xyz 设棱长为 1 则 A B1 设 AB1与平面 ACC1A1所成的角为 EB1为平面 ACC1A1的法向量 则 1 2 0 1 0 3 2 0 sin cos AB1 EB1 1 2 3 2 1 0 3 2 0 2 3 2 6 4 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 满分 20 分 13 2017 年上海 如图 以长方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 D 为坐标原点 过点 D 的三条 棱所在的直线为坐标轴 建立空间直角坐标系 若向量的坐标为 4 3 2 则向量的坐
10、 DB1 AC1 标是 答案 4 3 2 解析 由的坐标为 4 3 2 可得 A 4 0 0 C 0 3 0 D1 0 0 2 则 C1 0 3 2 DB1 4 3 2 AC1 14 已知平面 经过点 O 0 0 0 且 e 1 1 1 是 的法向量 M x y z 是平面 内任意 一点 则 x y z 满足的关系式是 答案 x y z 0 解析 e x y z 1 1 1 x y z 0 OM 15 2017 年新课标 已知向量 a b 的夹角为 60 a 2 b 1 则 a 2b 答案 2 3 解析 a 2b 2 a 2b 2 a 2 2 a 2b cos 60 2 b 2 22 2 2
11、2 22 4 4 4 12 a 2b 2 1 2123 16 2019 年吉林长春期末 在三棱锥 PABC 中 PA 平面 ABC BAC 90 D E F 分别是棱 AB BC CP 的中点 AB AC 1 PA 2 则直线 PA 与平面 DEF 所成 角的正弦值为 答案 5 5 解析 以 A 为原点 AB AC AP 所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 由 AB AC 1 PA 2 得 A 0 0 0 B 1 0 0 C 0 1 0 P 0 0 2 D E F 0 0 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 PA 设平面 DEF 的法向量为
12、n x y z 由Error Error 得Error Error 取 DE 0 1 2 0 DF 1 2 1 2 1 z 1 则 n 2 0 1 设直线 PA 与平面 DEF 所成的角为 则 sin 直线 PA PA n PA n 5 5 与平面 DEF 所成角的正弦值为 5 5 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 70 分 17 10 分 设向量 a 3 5 4 b 2 1 8 计算 3a 2b a b 并确定 的关系 使 a b 与 z 轴垂直 解 3a 2b 3 3 5 4 2 2 1 8 9 15 12 4 2 16 5 13 28 a b 3 5 4 2 1 8 6 5 32 2
13、1 由 a b 0 0 1 3 2 5 4 8 0 0 1 4 8 0 得 2 0 当 满足 2 0 时 可使 a b 与 z 轴垂直 18 12 分 已知空间三点 A 2 0 2 B 1 1 2 C 3 0 4 设 a b AB AC 1 求 a 和 b 的夹角的余弦值 2 若向量 ka b 与 ka 2b 互相垂直 求 k 的值 解 a 1 2 1 0 2 2 1 1 0 b 3 2 0 0 4 2 1 0 2 1 cos a b a b 1 0 0 2 5 10 10 a 和 b 的夹角的余弦值为 10 10 2 ka b k k 0 1 0 2 k 1 k 2 ka 2b k k 0
14、2 0 4 k 2 k 4 k 1 k 2 k 2 k 4 k 1 k 2 k2 8 0 即 2k2 k 10 0 k 或 k 2 5 2 19 12 分 2019 年福建龙岩期末 如图 在多面体 ABCA1B1C1中 四边形 A1ABB1是正 方形 AB AC BC AB B1C1綊 BC 二面角 A1ABC 是直二面角 2 1 2 求证 1 A1B1 平面 AA1C 2 AB1 平面 A1C1C 证明 1 二面角 A1ABC 是直二面角 四边形 A1ABB1为正方形 AA1 平面 BAC 又 AB AC BC AB 2 CAB 90 即 CA AB AB AC AA1两两互相垂直 建立如图
15、所示的空间直角坐标系 Axyz 设 AB 2 则 A 0 0 0 B1 0 2 2 A1 0 0 2 C 2 0 0 C1 1 1 2 0 2 0 0 0 2 2 0 0 A1B1 A1A AC 设平面 AA1C 的一个法向量 n x y z 则Error Error 即Error Error 即Error Error 取 y 1 则 n 0 1 0 2n 即 n A1B1 A1B1 A1B1 平面 AA1C 2 易知 0 2 2 1 1 0 2 0 2 AB1 A1C1 A1C 设平面 A1C1C 的一个法向量 m x1 y1 z1 则Error Error 即Error Error 令 x
16、1 1 则 y1 1 z1 1 即 m 1 1 1 m 0 1 2 1 2 1 0 m AB1 AB1 又 AB1 平面 A1C1C AB1 平面 A1C1C 20 12 分 已知 Rt ABC 中 C 90 B 30 AB 4 若沿斜边上的中线 CD 将 ACD 折起 使得点 A 到点 B 的距离为 求所折起的二面角的大小 13 解 如图 分别过点 A B 作 CD 的垂线 AF 和 BE 点 E 在 CD 延长线上 AD AC F 为 CD 中点 而 所成的角即为所求二面角的平面角 EB FA EB FA EC CB FC CA EC FC EC CA CB FC CB CA C 90 B 30 AD BD 4 AC CD AD 2 BC 2 3 BCE 30 EC BC cos 30 2 3 EB BC sin 30 3 3 23 cos BCA AC2 BC2 AB2 2AC BC 22 2 3 2 13 2 2 2 2 3 3 8 3 1 3 2 2 1 2 2 EB FA 1 2 3 3 2 3 3 8 3 2 cos EB FA EB FA EB FA 3 2 3 3 1
