《2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：1.2.2充要条件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：1.2.2充要条件（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 第二课时第二课时 充要条件充要条件 填一填 充要条件的概念 一般地 如果既有 p q 又有 q p 就记作 p q 此时 我们说 p 是 q 的充分必要条 件 简称充要条件 显然 如果 p 是 q 的充要条件 那么 q 也是 p 的充要条件 概括地说 如果 p q 那么 p 与 q 互为充要条件 判一判 1 当 p 是 q 的充要条件时 也可说成 q 成立当且仅当 p 成立 2 若 p 是 q 的充要条件 则命题 p 和 q 是两个相互等价的命题 3 若 pq 和 qp 有一个成立 则 p 一定不是 q 的充要条件 4 a b 是 a2 b2 的充
2、分条件 5 a b 是 a2 b2 的必要条件 6 a b 是 a c b c 的充要条件 7 是 sin 的必要条件 6 1 2 8 x y 2 是 x 1 y 1 的必要条件 想一想 1 从命题的角度理解符号 的意义是什么 表示连接的两个命题互为逆命题且同真 2 p 是 q 的充要条件 与 p 的充要条件是 q 的区别在哪里 p 是 q 的充要条件 说明 p 是条件 q 是结论 p 的充要条件是 q 说明 q 是条件 p 是结论 3 从集合的角度怎样判断充分条件 必要条件和充要条件 1 若 A B 则 p 是 q 的充分条件 若 A B 则 p 是 q 的充分不必要条件 2 若 B A 则
3、 p 是 q 的必要条件 若 B A 则 p 是 q 的必要不充分条件 3 若 A B 则 p q 互为充要条件 4 若 A B 且 B A 则 p 既不是 q 的充分条件 也不是 q 的必要条件 思考感悟 练一练 1 x 1 是 x2 1 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 2 设 x R 则 x 1 是 x3 x 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 3 x y 是 x y 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 4 钱
4、大姐常说 便宜没好货 她这句话的意思是 不便宜 是 好货 的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 知识点一充要条件的判断 1 已知集合 A 1 a B 1 2 3 则 a 3 是 A B 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 因为 A 1 a B 1 2 3 若 a 3 则 A 1 3 所以 A B 所以 a 3 A B 若 A B 则 a 2 或 a 3 所以 A Ba 3 所以 a 3 是 A B 的 充分而不必要条件 故选 A 答案 A 2 cos 是 2k k Z 的 3 2 5 6
5、A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 当 2k k Z 时 cos 反过来 若 cos 则 2k 5 6 3 2 3 2 或 2k k Z 所以 cos 是 2k k Z 的必要不充分条 5 6 7 6 3 2 5 6 件 故选 A 答案 A 3 设 an 是等比数列 则 a1 a2 a3 是 数列 an 是递增数列 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 解析 由题可知 若 a1 a20 时 解得 q 1 此时数列 an 是递增数 列 当 a1 0 时 解得 0 q 1 此时数列 an 是递增数列 反
6、之 若数列 an 是递增数列 则 a1 a2 a3成立 所以 a1 a2 a3 是 数列 an 是递增数列 的充要条件 故选 C 答案 C 知识点二充要条件的求解与证明 4 已知方程 x2 2k 1 x k2 0 求使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件 解析 令 f x x2 2k 1 x k2 方程 x2 2k 1 x k2 0 有两个大于 1 的实数根等价 于Error Error 解得 k 2 以上过程的每一步都是等价的 因此 k0 两种情况 当 xy 0 时 不妨设 x 0 得 x y y x y y 所以等式成立 当 xy 0 即 x 0 y 0 或 x 0 y0 y 0 时 x
7、 y x y x y x y 所以等式成立 当 x 0 y 0 时 x y x y x y x y x y 所以等式成立 总之 当 xy 0 时 x y x y 成立 综上可知 xy 0 是 等式 x y x y 成立 的充要条件 综合应用 7 已知集合 A Error Error B x 1 x m 1 若 x B 成立的一个充分不必要的条件是 x A 则实数 m 的取值范围是 解析 易知集合 A x 1 x3 即 m 2 答案 2 8 若 x2 ax b 0 是 x 1 的充要条件 则 a b 的值为 解析 由题设得Error Error 解得Error Error 所以 a b 1 答案
8、 1 基础达标 一 选择题 1 设 m n 是整数 则 m n 均为偶数 是 m n 是偶数 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 m n 均为偶数 m n 是偶数 则充分性成立 而 m n 是偶数m n 均为偶 数 答案 A 2 已知 ABC 的顶点坐标为 A 2 3 B 0 0 C 4 0 则 方程 x 2 是 BC 边上中线 所在直线的方程 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 因为 ABC 的顶点坐标为 A 2 3 B 0 0 C 4 0 所以 BC 的中点为 D 2 0 则 中
9、线 AD 所在直线的方程为 x 2 即 方程 x 2 是 BC 边上中线所在直线的方程 的充 要条件 故选 C 答案 C 3 设 是两个不同的平面 m 是直线且 m m 是 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 若 m 且 m 则平面 与平面 不一定平行 有可能相交 而 m 且 一定可以推出 m 所以 m 是 的必要而不充分条件 故选 B 答案 B 4 a 1 是 直线 ax 3y 3 0 与直线 x a 2 y 1 0 平行 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 由两直线平行 可得
10、Error Error 解得 a 1 当 a 1 时 两直线的方程分别为 x 3y 3 0 和 x 3y 1 0 可知两直线平行 故 a 1 是 直线 ax 3y 3 0 与直 线 x a 2 y 1 0 平行 的充要条件 故选 C 答案 C 5 设 x R 则 x 是 2x2 x 1 0 的 1 2 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 不等式 2x2 x 1 0 即 x 1 2x 1 0 解得 x 或 x 可以得 1 2 1 2 到不等式 2x2 x 1 0 成立 但由 2x2 x 1 0 不一定得到 x 所以 x 是 1 2 1 2
11、 2x2 x 1 0 的充分而不必要条件 答案 A 6 已知 x y 为实数 则 xy 0 是 x y x y 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分且必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 因为 x y x y x y 2 x y 2 xy 0 所以 xy 0 是 x y x y 的充分且必要条件 故选 C 答案 C 7 函数 f x x2 mx 1 的图象关于直线 x 1 对称的充要条件是 A m 2 B m 2 C m 1 D m 1 解析 当 m 2 时 f x x2 2x 1 其图象关于直线 x 1 对称 反之也成立 所以 函数 f x x2 mx 1 的图象关于直线
12、 x 1 对称的充要条件是 m 2 答案 A 8 函数 f x a 1 tan2x 3sin x a2 3a 4 为奇函数的充要条件是 A a 4 B a 1 C a 4 或 a 1 D a R 解析 因为函数 f x a 1 tan2x 3sin x a2 3a 4 为奇函数 所以 f x f x 即 a 1 tan2x 3sin x a2 3a 4 a 1 tan2x 3sin x a2 3a 4 即 a 1 tan2x a2 3a 4 a 1 tan2x a2 3a 4 则Error Error 即Error Error 即Error Error 则 a 1 当 a 1 时 f x 3s
13、in x 为奇函数 则函数 f x a 1 tan2x 3sin x a2 3a 4 为奇 函数的充要条件是 a 1 故选 B 答案 B 二 填空题 9 满足 tan 1 的一个充分条件是 填一个角即可 解析 当 时 tan 1 故 是 tan 1 的一个充分条件 4 4 答案 4 10 若 x2 1 是 x1 得 x1 又 x2 1 是 x a 的必要不充分条件 即 x x a x x1 所以 a 1 即 a 的最大值为 1 答案 1 11 如果不等式 x m 1 成立的充分不必要条件是 10 上不是单调函数的充要条件是 解析 由 f x Error Error 得 f x 在 0 1 上单
14、调递减 在 1 上单调递增 故 f x 在区间 m 2m 1 m 0 上不是单调函数 Error Error 0 m 1 答案 0 m0 时 A a 3a 此时有Error Error 解得 1 a 2 当 a 0 时 A 3a a 此时 A B 不符合题意 综上 实数 a 的取值范围是 1 2 14 求关于 x 的方程 ax2 2x 1 0 至少有一个负实根的充要条件 解析 当 a 0 时 符合要求 当 a 0 时 显然方程没有零根 若方程有两个异号的实根 则由根与系数的关系可知 a 0 若方程有两个负实根 则Error Error 解得 0 a 1 综上所述 若方程 ax2 2x 1 0
15、至少有一个负实根 则 a 1 反之 若 a 1 则方程 ax2 2x 1 0 至少有一个负实根 因此 关于 x 的方程 ax2 2x 1 0 至少有一个负实根的充要条件是 a 1 能力提升 15 函数 f x x x a b 是奇函数的充要条件是 解析 由 f x 为奇函数知 f 0 0 从而 b 0 则 f x x x a 又 f x f x 则 x x a x x a 化简得 x a x a 故 a 0 反之 当 a b 0 时 f x x x 为奇函 数 答案 a b 0 16 为激发学生的学习兴趣 兴趣小组组长在黑板上写出三个集合 A Error Error B x x2 3x 4 0
16、 C x x2 2x 0 然后请甲 乙 丙三位同学到讲台上 并将 a 的值告诉他们 要求他们各用一句话来描述他们各自的想法 以便同学们能确定数 a 以下是甲 乙 丙三位同学的描述 甲 a 为小于 10 的正整数 乙 A 是 B 成立的充分不必要条件 丙 C 是 A 成立的必要 不充分条件 组长说这三位同学说的都对 请根据他们四人的话 判断出 a 的值为 解析 将已知集合 B C 化成最简的形式 B x 1 x 4 C x 0 x 2 由甲 乙 的描述知 a 为 1 2 3 4 中的一个 根据丙的描述可知 a 1 时满足条件 a 2 时 C 是 A 成立 的充分必要条件 a 3 或 a 4 时 C 是 A 成立的充分不必要条件 故 a 1 答案 1
