《2019-2020学年数学人教A版选修1-2同步检测：3.2.2复数代数形式的乘除运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修1-2同步检测：3.2.2复数代数形式的乘除运算（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 2 2 复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算 填一填 1 复数代数形式的乘法 1 复数的乘法法则 设 z1 a bi z2 c di 是任意两个复数 那么它们的积 a bi c di ac bd ad bc i 2 复数乘法的运算律 对于任意 z1 z2 z3 C 有 交换律z1z2 z2z1 结合律 z1z2 z3 z1 z2z3 乘法对加法的分配律z1 z2 z3 z1z2 z1z3 2 共轭复数的概念 一般地 当两个复数的实部相等 虚部互为相反数时 这两个复数叫做互为共轭复 数 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数 z 的共轭复数用表示 若 z z a bi a b
2、R 则 a bi z 3 复数的除法法则 设 z1 a bi z2 c di a b c d R c di 0 则 i z1 z2 a bi c di ac bd c2 d2 bc ad c2 d2 复数的除法的实质是分母实数化 若分母为 a bi 型 则分子 分母同乘 a bi 若分母 为 a bi 型 则分子 分母同乘 a bi 判一判 1 复数加减乘除的混合运算法则是先乘除后加减 解析 复数加减乘除的混合运算法则与实数的相同 故正确 2 两个共轭复数的和与积是实数 解析 若 z a bi a b R 则 a bi 则 z 2a R 因此 和一定是实数 z z z1 z2 a2 b2 R
3、因此积是实数 故正确 3 若 z1 z2 C 且 z z 0 则 z1 z2 0 2 12 2 解析 如 z1 1 z2 i 满足 z z 0 但 z1与 z2不相等 故错误 2 12 2 4 两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件 解析 两个复数互为共轭复数是它们的模相等的充分条件 故错误 5 两个共轭虚数的差为纯虚数 解析 若 z a bi a b R 且 b 不为 0 则 a bi 则 z 2bi 为纯虚数 故 z z 正确 想一想 1 复数的乘法运算与多项式的乘法运算有什么关系 提示 复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似 只要在所得的结果中把 i2换成 1 并且把实部和虚部分别合
4、并即可 2 复数的除法 其实质是分母实数化 即把分子和分母同乘以一个什么样的数 提示 进行复数的除法运算时 分子 分母同乘以分母的共轭复数 3 共轭复数的性质有哪些 提示 1 在复平面内 两个共轭复数对应的点关于实轴对称 2 实数的共轭复数是它本身 即 z z R 利用这个性质可证明一个复数为实数 z 3 若 z 0 且 z 0 则 z 为纯虚数 利用这个性质 可证明一个复数为纯虚数 z 4 z z 2 2 z z 2a z 2bi z a bi a b R z z z z z 4 如何求虚数的平方根 提示 设 z a bi a b R 且 b 0 x yi x y R 是 z a bi 的平
5、方根 则有 x yi 2 a bi 即 x2 y2 2xyi a bi 所以有Error Error 解方程组求出 x y 的值即可 思考感悟 练一练 1 i 1 i 2的值等于 A 4 B 2 C 2i D 4i 解析 i 1 i 2 i 2i 2 故选 B 答案 B 2 若复数 z 满足 1 z 1 2i i 则在复平面内表示复数 z 的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解析 由 1 z 1 2i i 得 z 1 i 在复平面内表 i 1 2i 1 i 1 2i 1 2i 1 2i 3 i 5 3 5 1 5 示复数 z 的点的坐标为 位于第四象限 故选 D
6、3 5 1 5 答案 D 3 若复数 z 满足 1 i z 2i i 为虚数单位 则复数 z 解析 z 1 i 2i 1 i 2i 1 i 1 i 1 i 2 2i 2 答案 1 i 4 复数 z 1 i 为 z 的共轭复数 则 z z 1 z z 解析 依题意得 z z 1 1 i 1 i 1 i 1 i z 答案 i 知识点一复数的乘除运算 1 复数 1 i 2 2 3i 的值为 A 6 4i B 6 4i C 6 4i D 6 4i 解析 1 i 2 2 3i 2i 2 3i 6 4i 答案 D 2 在复平面内 复数 1 i 2对应的点位于 i 1 i3 A 第一象限 B 第二象限 C
7、第三象限 D 第四象限 解析 1 i 2 i 1 3 2i i 1 i3 1 2 1 23 i 对应点在第二象限 3 2 1 2 2 3 答案 B 3 复数 2 2i 的平方根是 3 A i B i 33 C i D i 33 解析 设复数 2 2i 的平方根为 x yi x y R 3 则 x2 y2 2xyi 2 2i 3 Error Error 解得Error Error 或Error Error 所求平方根为 i 或 i 故选 D 33 答案 D 知识点二共轭复数 4 已知复数 z 的共轭复数 1 2i i 为虚数单位 则 z 在复平面内对应的点位于 z A 第一象限 B 第二象限 C
8、 第三象限 D 第四象限 解析 由条件知 z 1 2i 其在复平面内对应的点为 1 2 在第四象限 故选 D 答案 D 5 若 z 6 z 10 则 z z z A 1 3i B 3 i C 3 i D 3 i 解析 设 z a bi a b R 则 a bi z Error Error 解得 a 3 b 1 则 z 3 i 答案 B 6 已知复数 z 的共轭复数是 且 z 4i z 13 试求 z z z z z 解析 设 z x yi x y R 则由条件可得Error Error 即Error Error 解得Error Error 或Error Error 因此 z 3 2i 或 z
9、3 2i 于是 i z z 3 2i 3 2i 3 2i 2 3 2i 3 2i 5 12i 13 5 13 12 13 或 i z z 3 2i 3 2i 3 2i 2 3 2i 3 2i 5 12i 13 5 13 12 13 知识点三虚数单位 i 的幂的周期性 7 计算 2 005等于 1 i 1 i A i B i C 22 005 D 22 005 解析 原式 2 004 i 故选 A 1 i 1 i 1 i 1 i 答案 A 8 计算 i i2 i3 i2014 解析 方法一 原式 i 1 i2 014 1 i i 1 i2 1 007 1 i 1 i i 1 1 1 i 2i 1
10、 i 2 方法二 i i2 i3 i4 i 1 i 1 0 in in 1 in 2 in 3 0 n N 原式 i i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i2 009 i2 010 i2 011 i2 012 i2 013 i2 014 0 i 1 1 i 基础达标 一 选择题 1 若复数 z1 1 i z2 3 i 则 z1 z2等于 A 4 2i B 2 i C 2 2i D 3 i 解析 z1 z2 1 i 3 i 1 3 i i 3 1 i 4 2i 答案 A 2 若 i 是虚数单位 则等于 i 3 3i A i B i 1 4 3 12 1 4 3 12 C i D i 1 2
11、 3 6 1 2 3 6 解析 i i 3 3i i 3 3i 3 3i 3 3i 3 3i 12 1 4 3 12 答案 B 3 若 z 则复数等于 1 2i i z A 2 i B 2 i C 2 i D 2 i 解析 z 2 i 2 i 1 2i i i 2i2 i2 i 2 1 z 答案 D 4 已知 i 为虚数单位 复数 z 在复平面内对应的点为 2i 1 2i A B 4 5 2 5 4 5 2 5 C D 4 5 2 5 4 5 2 5 解析 z i 2i 1 2i 1 2i 1 2i 4 2i 5 4 5 2 5 故复数 z 在复平面内对应的点为 4 5 2 5 答案 B 5
12、已知 i 为虚数单位 则等于 5 i 1 i A 2 3i B 2 3i C 2 3i D 2 3i 解析 2 3i 5 i 1 i 5 i 1 i 1 i 1 i 4 6i 2 答案 C 6 1 2i 3 4i 2 i 等于 A 20 15i B 20 15i C 20 15i D 20 15i 解析 1 2i 3 4i 2 i 3 4i 6i 8 2 i 11 2i 2 i 22 11i 4i 2 20 15i 答案 D 7 已知 i 为虚数单位 若复数 z a R 的虚部为 3 则 z 1 ai 1 i A B 2 103 C D 5 13 解析 因为 z 1 ai 1 i 1 ai 1
13、 i 1 i 1 i i 1 a a 1 i 2 1 a 2 a 1 2 所以 3 a 1 2 解得 a 5 所以 z 2 3i 所以 z 2 2 3 213 答案 C 二 填空题 8 计算 2 i3 1 2i 解析 2 i3 1 2i 2 i 1 2i 2 i 1 2i 1 2i 1 2i i 2 2i i 2i2 1 2i 2 3i 3 答案 i 9 已知 a b R i 是虚数单位 若 1 i 1 bi a 则 的值为 a b 解析 因为 1 i 1 bi 1 b 1 b i a 又 a b R 所以 1 b a 且 1 b 0 得 a 2 b 1 所以 2 a b 答案 2 10 若复
14、数 z 满足 2 i z 5i 其中 i 为虚数单位 则复数 z 的共轭复数的模是 解析 由已知 z i 2 i 1 2i 故 z 5i 2 i 5i 2 i 2 i 2 i z 5 答案 5 11 已知 i 是虚数单位 m n R 且 m 2i 2 ni 则的共轭复数为 m ni m ni 解析 m n R 且 m 2i 2 ni 可得 m 2 n 2 i m ni m ni 2 2i 2 2i 1 i 1 i 1 i 1 i 2 所以它的共轭复数为 i 答案 i 12 若关于 x 的方程 x2 2 i x 2m 4 i 0 有实数根 则纯虚数 m 解析 设 m bi b R 且 b 0 则
15、 x2 2 i x 2bi 4 i 0 化简得 x2 2x 2b x 4 i 0 即Error Error 解得Error Error 故 m 4i 答案 4i 三 解答题 13 计算 1 1 i 3 2i 2 2i 2 2 4 4i 1 3i 1 i 3 2 i 1 i 2 1 2i 解析 1 原式 3 2i 3i 2 4 8i 4 5 i 8i 5 7i 2 原式 4 4i 1 3i 1 3i 1 3i i i i 4 4 3i 4i 4 3 4 i 1 1 1 i i 33 1 i 33 3 原式 2 2 i 1 2i 1 1 2i 2 i 2i 1 2i 2 4i 1 2i 14 已知
16、复数 z 满足 z 2 4 3i 求 z z 解析 设 z x yi x y R 则 x yi z 由题意知 x yi x yi 2 4 3i 得Error Error 解得Error Error 或Error Error 所以 z i 或 z i 1 11 2 3 2 1 11 2 3 2 能力提升 15 已知复数 z1满足 z1 2 1 i 1 i i 为虚数单位 复数 z2的虚部为 2 且 z1 z2是实 数 求 z2 解析 z1 2 1 i 1 i z1 2 i 1 i 1 i 1 i 2 1 i 1 i 1 2i 1 2 z1 2 i 设 z2 a 2i a R 则 z1 z2 2 i a 2i 2a 2 4 a i 又 z1 z2 R a 4 z2 4 2i 16 已知 z 为复数 1 3i z 为实数 且 5 求 z 2 i2 解析 设 x yi x y R 由 得 z 2 i x yi 2 i z 2 i 依题意 得 1 3i z 1 3i x yi 2 i x 7y 7x y i 7x y 0 又 5 x2 y2 50 2 由 得Error Error 或Error
