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1、2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一 填空题 本题共 5 小题 每小题3 分 满分15 分 把答案填在题中横线上 1 设常数 1 2 a 则 21 lim ln 12 n n nna na 2 交换积分次序 111 422 1 0 4 y yy dyf x y dxdyf x y dx 3 设三阶矩阵 122 212 304 A 三维列向量 1 1 T a 已知A与线性相关 则 a 4 设随机变量X和Y的联合概率分布为 Y X 1 0 1 0 0 07 0 18 0 15 1 0 08 0 32 0 20 则 2 X和 2 Y的协方差 22 cov XY 5 设总体X的概率密度
2、为 0 x ex f x x 若 若 而 12 n XXX是来自总体X的简单随机样本 则未知参数的矩估计量为 二 选择题 本题共 5 小题 每小题3 分 共 15 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 设函数 fx在闭区间 a b上有定义 在开区间 a b内可导 则 A 当 0f a f b时 存在 a b 使 0f B 对任何 a b 有lim 0 x f xf C 当 f af b时 存在 a b 使 0f D 存在 a b 使 f bf afba 2 设幂级数 1 n n n a x 与 1 n n n b x 的收敛半径分别为 5
3、3 与 1 3 则幂级数 2 2 1 nn i n a x b 的收敛半 径为 A 5 B 5 3 C 1 3 D 1 5 3 设A是mn矩阵 B是nm矩阵 则线性方程组0AB x A 当nm时仅有零解 B 当nm时必有非零解 C 当mn时仅有零解 D 当mn时必有非零解 4 设A是n阶实对称矩阵 P是n阶可逆矩阵 已知n维列向量是A的属于特征值的 特征向量 则矩阵 1 T PAP 属于特征值的特征向量是 A 1 P B T P C P D 1 T P 5 设随机变量X和Y都服从标准正态分布 则 A XY服从正态分布 B 22 XY服从 2 分布 C 2 X和 2 Y都服从 2 分布 D 22
4、 XY服从F分布 三 本题满分5 分 求极限 2 00 0 arctan 1 lim 1cos xu x t dt du xx 四 本题满分7 分 设函数 uf x y z有连续偏导数 且 zz x y由方程 xyz xeyeze所确定 求 du 五 本题满分6 分 设 2 sin sin x fx x 求 1 x f x dx x 六 本题满分7 分 设 1 D是由抛物线 2 2yx和直线 2xa x及0y所围成的平面区域 2 D是由抛物 线 2 2yx和直线0y xa所围成的平面区域 其中02a 1 试求 1 D绕x轴旋转而成的旋转体体积 1 V 2 D绕y轴旋转而成的旋转体体积 2 V
5、2 问当a为何值时 12 VV取得最大值 试求此最大值 七 本题满分7 分 1 验证函数 3693 1 3 6 9 3 n xxxx y xx n 满足微分方程 x yyye 2 利用 1 的结果求幂级数 3 03 n n x n 的和函数 八 本题满分6 分 设函数 f xg x在 a b上连续 且 0g x 利用闭区间上连续函数性质 证明存 在一点 a b 使 bb aa f x g x dxfg x dx 九 本题满分8 分 设齐次线性方程组 123 123 123 0 0 0 n n n axbxbxbx bxaxbxbx bxbxbxax 其中0 0 2abn 试讨论 a b为何值时
6、 方程组仅有零解 有无穷多组解 在有无穷 多组解时 求出全部解 并用基础解系表示全部解 十 本题满分8 分 设A为三阶实对称矩阵 且满足条件 2 20AA 已知A的秩 2r A 1 求A的全部特征值 2 当k为何值时 矩阵AkE为正定矩阵 其中E为三阶单位矩阵 十一 本题满分8 分 假设随机变量U在区间2 2上服从均匀分布 随机变量 1 1 1 1 1 1 1 1 UU XY UU 若若 若若 试求 1 X和Y的联合概率分布 2 D XY 十二 本题满分8 分 假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布 平均无故障工作的时间 E X 为 5 小时 设备定时开机 出现故障时自动关机 而在无故
7、障的情况下工作2 小时便关机 试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数 F y 2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 填空题 1 答案 1 12a 详解 ln 里面为1 型 通过凑成重要极限形式来求极限 1 1 2 1 2 211 limlnlimln1 1 2 1 2 nna a nn nna nana 1 2 11 limln 1 12 12 na n ana 11 ln 1212 e aa 2 答案 2 1 2 0 x x dxf x y dy 详解 画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域 1 D与 2 D 将它们的并集记为D 于是 111 422 1 0 4
8、 y yy dyf x y dxdyf x y dx D f x y d 再将后者根据积分定义化为如下形式 即 2 1 0 2 xyxx从 从 所以 2 1 2 0 x x D f x y ddxf x y dy 3 答案 1 详解 122 212123 304134 aa Aa a 由于A与线性相关 两个非零向量线性相关 则对应分量成比例 所以有 2334 11 aaa a 得2334 1 aaa 或 0 Akk 两个非零向量线性相关 则其中一个可以由另一个线性表出 即231 341 aa ak a 得23 34 aka ak ak 得1 1 ak 4 答案 0 02 详解 2 X 2 Y和
9、 2 X 2 Y都是01分布 而01分布的期望值恰为取1时的概率p 由离散型随机变量X和Y的联合概率分布表可得 2 X的可能取值为0 和 1 且 2 Y的可 能取值也为0 和 1 且X和Y的边缘分布为 00 070 180 150 4P X 10 080 320 200 6P X 10 070 080 15P Y 00 180 320 5P Y 10 150 200 35P Y 故有 22 0 00 00 18 P XYP XY 22 0 10 10 10 070 150 22 P XYP XYP XY 22 1 01 00 32 P XYP XY 22 1 11 11 10 080 200
10、28 P XYP XYP XY 而边缘分布律 2 000 4P XP X 2 110 6P XP X 2 000 5P YP Y 2 1110 150 350 5P YP YP Y 所以 22 XY的联合分布及其边缘分布为 2 Y 2 X 0 1 0 0 18 0 22 0 40 1 0 32 0 28 0 60 0 50 0 50 1 由上表同理可求得 22 X Y的分布律为 22 X Y 0 1 P0 72 0 28 所以由01分布的期望值恰为取1 时的概率p得到 2222 222222 0 5 0 60 0 28 cov 0 280 6 0 50 02 E XE YE X Y XYE X
11、 YE XE Y 5 答案 1X 详解 矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩 此题中被估参数只有一个 故只 需要用样本一阶原点矩 样本均值 来估计总体的一阶原点矩 期望 期望 1 x E Xxf x dxxedx X01 0 40 6 Y101 0 150 50 35 样本均值 1 1 n i i XX n 用样本均值估计期望有EXX 即 1 1 1 n i i X n 解得未知参数的矩估计量为 1 1 11 n i i XX n 二 选择题 1 答案 B 详解 方法 1 论证法 由题设 f x在开区间 a b内可导 所以 f x在 a b内连续 因此 对于 a b内的任意一点 必有li
12、m x f xf即有lim 0 x f xf 故 选 B 方法 2 排除法 A 的反例 1 1 xa b f x xa 有 1 1 1 0f af bf a f b 但 f x在 a b内无零点 C 与 D 的反例 1 1 11 xx f x x 1 1 1ff 但 1fx 当 1 1 x 不满足罗尔中值定理 当然也不满足拉格朗日中值定理的结论 故选 B 2 答案 D 详解 方法 1 A是mn矩阵 B是nm矩阵 则AB是m阶方阵 因 min r ABr A r B 当mn时 有 min r ABr Ar Bnm 系数矩阵的秩小于未知数的 个数 方程组0AB x必有非零解 故应选 D 方法2 B
13、是nm矩阵 当mn时 则 r Bn 系数矩阵的秩小于未知数的个数 方程组0Bx必有非零解 即存在 0 0 x 使得 0 0Bx 两边左乘A 得 0 0ABx 即0ABx有非零解 故选 D 3 答案 B 详解 方法 1 由题设根据特征值和特征向量的定义 A A是n阶实对称矩阵 故 T AA 设 1 T PAPB 则 111 TT TTTTT BP A PP APP A P 上式左乘 1 T P 右乘 T P 得 111 TTTTTT PBPPP A PP 即 1 TT APBP 所以 1 TT APBP 两边左乘 T P 得 1 TTTT P PBPP得 TT B PP 根据特征值和特征向量的定
14、义 知 1 T BPAP的对应于特征值的特征向量为 T P 即应选 B 方法 2 逐个验算 A B C D 中哪个选项满足 由题设根据特征值和特征向量的定 义 A A是n阶实对称矩阵 故 T AA 设 1 T P AP 属于特征值的特征 向量为 即 1 T PAP 其中 111 TTT TTT PAPP A PP AP 对 A 即令 1 P 代入 111 T T P APPP 对 B 1 T TT P APP 1 T TT P A PP 1 TTT P A PP T P A T P 成立 故应选 B 4 答案 C 分析 i 2 变量的典型模式是 2222 12n XXX 其中 i X要求满足
15、i X相互 独立 0 1 i XN 称 2 为参数为n的 2 变量 ii F变量的典型模式是 1 2 Xn F Yn 其中 X Y要求满足 X与Y相互独立 22 12 XnYn 称F为参数为 12 n n的F变量 详解 方法 1 根据题设条件 X和Y均服从 0 1 N 故 2 X和 2 Y都服从 2 1 分布 答案应选 C 方法 2 题设条件只有X和Y服从 0 1 N 没有X与Y的相互独立条件 因此 2 X与 2 Y 的独立条件不存在 选 B D 项均不正确 题中条件既没有X与Y独立 也没有 X Y正态 这样就不能推出XY服从正 态分布的选项 A 根据排除法 正确选项必为 C 三 详解 22
16、0000 00 3 arctan 1 arctan 1 limlim 1 1 cos 2 xuxu xx t dt dut dt du xx x 等 2 0 0 2 arctan 1 lim 3 2 x x t dt x 洛洛 2 0 arctan 1 2 lim 3 x xx x 2 346 四 详解 方法 1 用一阶微分形式不变性求全微分 123 duf dxf dyf dz zz x y由 xyz xeyeze所确定 两边求全微分 有 xyzxyz d xeyed zed xed yed ze xxyyzz xe dxe dxye dye dyze dze dz 解出 1 1 10 1 xy z exdxeydy dzz ez 设 所以 du 123 1 1 1 xy z exdxeydy f dxf dyf ez 1323 1 1 1 1 xy zz exey ffdxffdy ezez 方法 2 1323 uzuz ffff xxyy 根据多元函数偏导数的链式法则 下面通过隐函数求导得到 z x z y 由 xyz xeyeze两边对x求偏导数 有 xxzz z xeezee
