【课件】3.由巳知分布的随机抽样

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1、第三章由已知分布的随机抽样 随机抽样及其特点直接抽样方法挑选抽样方法复合抽样方法复合挑选抽样方法替换抽样方法随机抽样的一般方法随机抽样的其它方法作业 第三章由已知分布的随机抽样 本章叙述由己知分布抽样的各主要方法 并给出在粒子输运问题中经常用到的具体实例 随机抽样及其特点 由巳知分布的随机抽样指的是由己知分布的总体中抽取简单子样 随机数序列是由单位均匀分布的总体中抽取的简单子样 属于一种特殊的由已知分布的随机抽样问题 本章所叙述的由任意已知分布中抽取简单子样 是在假设随机数为已知量的前提下 使用严格的数学方法产生的 为方便起见 用XF表示由己知分布F x 中产生的简单子样的个体 对于连续型分布

2、 常用分布密度函数f x 表示总体的己知分布 用Xf表示由己知分布密度函数f x 产生的简单子样的个体 另外 在抽样过程中用到的伪随机数均称随机数 直接抽样方法 对于任意给定的分布函数F x 直接抽样方法如下 其中 1 2 N为随机数序列 为方便起见 将上式简化为 若不加特殊说明 今后将总用这种类似的简化形式表示 总表示随机数 证明 下面证明用前面介绍的方法所确定的随机变量序列X1 X2 XN具有相同分布F x 对于任意的n成立 因此随机变量序列X1 X2 XN具有相同分布F x 另外 由于随机数序列 1 2 N是相互独立的 而直接抽样公式所确定的函数是波雷尔 Borel 可测的 因此 由它所

3、确定的X1 X2 XN也是相互独立的 P R Halmos Measuretheory N Y VonNosrtand 1950 45定理2 离散型分布的直接抽样方法 对于任意离散型分布 其中x1 x2 为离散型分布函数的跳跃点 P1 P2 为相应的概率 根据前述直接抽样法 有离散型分布的直接抽样方法如下 该结果表明 为了实现由任意离散型分布的随机抽样 直接抽样方法是非常理想的 例1 二项分布的抽样 二项分布为离散型分布 其概率函数为 其中 P为概率 对该分布的直接抽样方法如下 例2 泊松 Possion 分布的抽样 泊松 Possion 分布为离散型分布 其概率函数为 其中 0 对该分布的直

4、接抽样方法如下 例3 掷骰子点数的抽样 掷骰子点数X n的概率为 选取随机数 如则在等概率的情况下 可使用如下更简单的方法 其中 表示取整数 例4 碰撞核种类的确定 中子或光子在介质中发生碰撞时 如介质是由多种元素组成 需要确定碰撞核的种类 假定介质中每种核的宏观总截面分别为 1 2 n 则中子或光子与每种核碰撞的概率分别为 其中 t 1 2 n 碰撞核种类的确定方法为 产生一个随机数 如果则中子或光子与第I种核发生碰撞 例5 中子与核的反应类型的确定 假设中子与核的反应类型有如下几种 弹性散射 非弹性散射 裂变 吸收 相应的反应截面分别为 el in f a 则发生每一种反应类型的概率依次为

5、 其中反应总截面 t el in f a 反应类型的确定方法为 产生一个随机数 连续型分布的直接抽样方法 对于连续型分布 如果分布函数F x 的反函数F 1 x 存在 则直接抽样方法是 例6 在 a b 上均匀分布的抽样 在 a b 上均匀分布的分布函数为 则 例7 分布 分布为连续型分布 作为它的一个特例是 其分布函数为 则 例8 指数分布 指数分布为连续型分布 其一般形式如下 其分布函数为 则因为1 也是随机数 可将上式简化为 连续性分布函数的直接抽样方法对于分布函数的反函数存在且容易实现的情况 使用起来是很方便的 但是对于以下几种情况 直接抽样法是不合适的 分布函数无法用解析形式给出 因

6、而其反函数也无法给出 分布函数可以给出其解析形式 但是反函数给不出来 分布函数即使能够给出反函数 但运算量很大 下面叙述的挑选抽样方法是克服这些困难的比较好的方法 挑选抽样方法 为了实现从己知分布密度函数f x 抽样 选取与f x 取值范围相同的分布密度函数h x 如果则挑选抽样方法为 即从h x 中抽样xh 以的概率接受它 下面证明xf服从分布密度函数f x 证明 对于任意x 使用挑选抽样方法时 要注意以下两点 选取h x 时要使得h x 容易抽样且M的值要尽量小 因为M小能提高抽样效率 抽样效率是指在挑选抽样方法中进行挑选时被选中的概率 按此定义 该方法的抽样效率E为 所以 M越小 抽样效

7、率越高 当f x 在 0 1 上定义时 取h x 1 Xh 此时挑选抽样方法为 例9 圆内均匀分布抽样 令圆半径为R0 点到圆心的距离为r 则r的分布密度函数为分布函数为容易知道 该分布的直接抽样方法是 由于开方运算在计算机上很费时间 该方法不是好方法 下面使用挑选抽样方法 取则抽样框图为 显然 没有必要舍弃 1 2的情况 此时 只需取就可以了 亦即另一方面 也可证明与具有相同的分布 复合抽样方法 在实际问题中 经常有这样的随机变量 它服从的分布与一个参数有关 而该参数也是一个服从确定分布的随机变量 称这样的随机变量服从复合分布 例如 分布密度函数是一个复合分布 其中Pn 0 n 1 2 且f

8、n x 为与参数n有关的分布密度函数 n 1 2 参数n服从如下分布 复合分布的一般形式为 其中f2 x y 表示与参数y有关的条件分布密度函数 F1 y 表示分布函数 复合分布的抽样方法为 首先由分布函数F1 y 或分布密度函数f1 y 中抽样YF1或Yf1 然后再由分布密度函数f2 x YF1 中抽样确定Xf2 x YF 证明 所以 Xf所服从的分布为f x 例10 指数函数分布的抽样 指数函数分布的一般形式为 引入如下两个分布密度函数 则使用复合抽样方法 首先从f1 y 中抽取y再由f2 x YF1 中抽取x 复合挑选抽样方法 考虑另一种形式的复合分布如下 其中0 H x y M f2

9、x y 表示与参数y有关的条件分布密度函数 F1 y 表示分布函数 抽样方法如下 证明 抽样效率为 E 1 M 为了实现某个复杂的随机变量y的抽样 将其表示成若干个简单的随机变量x1 x2 xn的函数得到x1 x2 xn的抽样后 即可确定y的抽样 这种方法叫作替换法抽样 即 替换抽样方法 例11 散射方位角余弦分布的抽样 散射方位角 在 0 2 上均匀分布 则其正弦和余弦sin 和cos 服从如下分布 直接抽样方法为 令 2 则 在 0 上均匀分布 作变换其中0 1 0 则 x y 表示上半个单位圆内的点 如果 x y 在上半个单位圆内均匀分布 则 在 0 上均匀分布 由于 因此抽样sin 和

10、cos 的问题就变成在上半个单位圆内均匀抽样 x y 的问题 为获得上半个单位圆内的均匀点 采用挑选法 在上半个单位圆的外切矩形内均匀投点 如图 舍弃圆外的点 余下的就是所要求的点 抽样方法为 抽样效率E 4 0 785 为实现散射方位角余弦分布抽样 最重要的是在上半个单位圆内产生均匀分布点 下面这种方法 首先在单位圆的半个外切正六边形内产生均匀分布点 如图所示 于是便有了抽样效率更高的抽样方法 抽样效率 例12 正态分布的抽样 标准正态分布密度函数为 引入一个与标准正态随机变量X独立同分布的随机变量Y 则 X Y 的联合分布密度为 作变换 则 的联合分布密度函数为 由此可知 与 相互独立 其

11、分布密度函数分别为分别抽取 从而得到一对服从标准正态分布的随机变量X和Y 对于一般的正态分布密度函数N 2 的抽样 其抽样结果为 例13 分布的抽样 分布密度函数的一般形式为 其中n k为整数 为了实现 分布的抽样 将其看作一组简单的相互独立随机变量的函数 通过这些简单随机变量的抽样 实现 分布的抽样 设x1 x2 xn为一组相互独立 具有相同分布F x 的随机变量 k为x1 x2 xn按大小顺序排列后的第k个 记为 则 k的分布函数为 当F x x时 不难验证 k的分布密度函数为 分布 因此 分布的抽样可用如下方法实现 选取n个随机数 按大小顺序排列后取第k个 即 随机抽样的一般方法 加抽样

12、方法减抽样方法乘抽样方法乘加抽样方法乘减抽样方法对称抽样方法积分抽样方法 加抽样方法 加抽样方法是对如下加分布给出的一种抽样方法 其中Pn 0 且fn x 为与参数n有关的分布密度函数 n 1 2 由复合分布抽样方法可知 加分布的抽样方法为 首先抽样确定n 然后由fn x 中抽样x 即 例14 多项式分布抽样 多项式分布密度函数的一般形式为 将f x 改写成如下形式 则该分布的抽样方法为 例15 球壳内均匀分布抽样 设球壳内半径为R0 外半径为R1 点到球心的距离为r 则r的分布密度函数为分布函数为该分布的直接抽样方法是 为避免开立方根运算 作变换 则x 0 1 其分布密度函数为 其中 则x及

13、r的抽样方法为 减抽样方法 减抽样方法是对如下形式的分布密度所给出的一种抽样方法 其中A1 A2为非负实数 f1 x f2 x 均为分布密度函数 减抽样方法分为以下两种形式 以上两种形式的抽样方法 究竟选择哪种好 要看f1 x f2 x 哪一个容易抽样 如相差不多 选用第一种方法抽样效率高 1 将f x 表示为令m表示f2 x f1 x 的下界 使用挑选法 从f1 x 中抽取Xf1抽样效率为 2 将f x 表示为使用挑选法 从f2 x 中抽取Xf2抽样效率为 例16 分布抽样 分布的一个特例 取A1 2 A2 1 f1 x 1 f2 x 2x 此时m 0 则根据第一种形式的减抽样方法 有或 由

14、于1 1可用 1代替 该抽样方法可简化为 对于 2 1的情况 可取Xf 1 因此与 分布的推论相同 如下形式的分布称为乘分布 其中H x 为非负函数 f1 x 为任意分布密度函数 令M为H x 的上界 乘抽样方法如下 抽样效率为 乘抽样方法 例17 倒数分布抽样 倒数分布密度函数为 其直接抽样方法为 下面采用乘抽样方法 考虑如下分布族 其中i 1 2 该分布的直接抽样方法为 利用这一分布族 将倒数分布f x 表示成 其中 乘法分布的抽样方法如下 该分布的抽样效率为 例18 麦克斯韦 Maxwell 分布抽样 麦克斯韦分布密度函数的一般形式为 使用乘抽样方法 令该分布的直接抽样方法为 此时则麦克

15、斯韦分布的抽样方法为 该分布的抽样效率为 在实际问题中 经常会遇到如下形式的分布 其中Hn x 为非负函数 fn x 为任意分布密度函数 n 1 2 不失一般性 只考虑n 2的情况 将f x 改写成如下的加分布形式 乘加抽样方法 其中 乘加抽样方法为 该方法的抽样效率为 这种方法需要知道P1的值 P2 1 P1 这对有些分布是很困难的 下面的方法可以不用计算P1 对于任意小于1的正数P1 令P2 1 P1 则采用复合挑选抽样方法 有 当取时 抽样效率最高这时 乘加抽样方法为 由于可知第一种方法比第二种方法的抽样效率高 例19 光子散射后能量分布的抽样 令光子散射前后的能量分别为和 以m0c2为

16、单位 m0为电子静止质量 c为光速 则x的分布密度函数为 该分布即为光子散射能量分布 它是由著名的Klin Nishina公式确定的 其中K 为归一因子 把光子散射能量分布改写成如下形式 在 1 1 2 上定义如下函数 则有使用乘加抽样方法 光子散射能量分布的抽样方法为 该方法的抽样效率为 乘减分布的形式为 其中H1 x H2 x 为非负函数 f1 x f2 x 为任意分布密度函数 与减抽样方法类似 乘减分布的抽样方法也分为两种 乘减抽样方法 1 将f x 表示为令H1 x 的上界为M1 的下界为m 使用乘抽样方法得到如下乘减抽样方法 2 将f x 表示为令H2 x 的上界为M2 使用乘抽样方法 得到另一种乘减抽样方法 例20 裂变中子谱分布抽样 裂变中子谱分布的一般形式为 其中A B C Emin Emax均为与元素有关的量 令其中 为归一因子 为任意参数 相应的H1 E H2 E 为 于是裂变中子谱分布可以表示成乘减分布形式 容易确定H1 E 的上界为 为提高抽样效率 应取 使得M1达到最小 此时 取m 0 令则裂变中子谱分布的抽样方法为 抽样效率 对称分布的一般形式为 其中f1