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1、1 应用数学软件 教学内容和要求 符号计算系统MAPLE 数值计算软件 MATLAB数值解 矩阵计算 优化工具箱 统计工具箱 优化软件 LINGO8简介 2 教学要求1 按时完成练习 30 2 期末测验 2节课 70 作业提交 打印版 或电子版做成压缩文件 学号姓名 no zip或姓名 no rar 发送到jiangxh mathsoft2008 为作业次数编号 3 数值积分与微分 4 1 从矩形公式到梯形公式 数值积分 平均 得到 梯形公式 5 对k求和 得辛普森公式 二次函数sk x 2 辛普森 Simpson 公式 抛物线公式 6 即梯形公式Tn的误差是h2阶的 估计 梯形公式的误差 辛
2、普森公式的误差估计 其中 即辛普森公式Sn的误差是h4阶的 7 梯形公式和辛普森公式的收敛性 则称In是p阶收敛的 8 用MATLAB作数值积分 矩形公式 Sum x 输入数组x 即fk 输出x的和 数 cusum x 输入数组x 输出x的依次累加和 数组 梯形公式 trapz x 输入数组x 输出按梯形公式x的积分 单位步长 trapz x y 输入同长度数组x y 输出按梯形公式y对x的积分 步长不一定相等 9 用MATLAB作数值积分 辛普森公式 quad fun a b tol 用辛普森 2阶 公式计算以fun m命名的函数在 a b 上的积分 tol为相对误差 缺省时为10 3 qu
3、ad8 fun a b tol 用辛普森 8阶 公式计算 10 用MATLAB作数值积分 例 计算 1 矩形公式和梯形公式 将 0 pi 2 10等分 步长h pi 20 2 辛普森公式 精确 方便 无法计算用数值给出的函数的积分 shiyan311 m shiyan312 m 11 数值微分实例 人口增长率 计算这些年份的人口 相对 增长率 记t时刻的人口为x t 则人口 相对 增长率为 需要用数值方法计算 12 数值微分 函数y f x 以离散值给出 如已知f a f a h f a h 计算在点x a处的导数 前差公式 后差公式 最常用的中点公式 13 数值微分 误差估计 三个公式代入可
4、知 前 后 差公式的误差为O h 中点公式误差为O h2 数值微分的常用公式 区间 a b n等分 y f x 在分点处数值为 xk yk a x0 x1 xn b h b a n 14 以上3式称三点公式 误差为O h2 问题 是不是步长h越小 结果越好 数值微分的常用公式 15 例 clear forn 1 1 13h n 1 8 n 1 df n sqrt 2 h n sqrt 2 h n 2 h n exact df n 1 2 sqrt 2 end h df exact df vpa h df exact df 8 16 h太小时yk 1与yk 1很接近 二者相减引起很大的舍入误差
5、1 36602540 35355340 12500000 35372632 35355340 15625000e 1 35355609 35355340 19531250e 2 35355343 35355340 24414063e 3 35355339 35355340 30517578e 4 35355339 35355340 38146973e 5 35355339 35355340 47683716e 6 35355339 35355340 59604645e 7 35355339 35355340 74505806e 8 35355340 35355340 93132257e 9 3
6、5355341 35355340 11641532e 9 35355282 35355340 14551915e 10 35355377 35355340 h df exact df 17 数值微分实例人口增长率 自1900年起人口记xk 年增长率记rk r0 r9 的计算结果为 18 上机 目的 用MATLAB掌握梯形公式 辛普森公式 计算数值积分 通过实例学习用数值积 微 分解决实际问题 内容 1 分别用梯形 trapz 辛普森 quad 求下列函数在指定区间的积分 19 二 计算瑞士国土面积的近似值 对瑞士地图 图上18mm 实际40km 作如下测量 以西向东方向为x轴 南向北方向为y轴 并选取方便的原点 将从最西端的边界点到最东边的边界点在x轴上的区间划分成若干段 在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的坐标 得到下表 20 21 假设美国人口的增长规律可用Logisitic模型描述试估计参数 练习三
