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1、第 1 页 共 32 页 绝密 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 全国1 卷 理科数学 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡 皮擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 1 设 1 2 1 i zi i 则 z A 0 B 1 2 C 1D 2 2 已
2、知集合 2 20Ax xx 则A R e A 12xxB 12xx C 1 2x xx xD 1 2x xx x 3 某地区经过一年的新农村建设 农村的经济收入增加了一倍 实现翻番 为更好地了解该地区农村 的经济收入变化情况 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例 得到如下饼图 则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后 种植收入减少 B 新农村建设后 其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后 养殖收入增加了一倍 第 2 页 共 32 页 D 新农村建设后 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4 记 nS 为等差数列n a的前n项和 若 3243SSS 12a 则3a A
3、 12B 10C 10D 12 5 设函数 32 1fxxaxax 若 fx 为奇函数 则曲线yfx 在点00 处的切线方程为 A 2yxB yxC 2yxD yx 6 在ABC 中 AD为BC边上的中线 E为AD的中点 则EB A 31 44 ABACB 13 44 ABAC C 31 44 ABACD 13 44 ABAC 7 某圆柱的高为2 底面周长为16 其三视图如右图所示 圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为A 圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B 则在此圆柱侧面上 从M到N的路径中 最短路径的长度为 A 2 17B 25C 3D 2 8 设抛物线 2 4Cyx 的焦点为F 过点
4、20 且斜率为 2 3 的直线与C交于M N两点 则 FMFN A 5 B 6 C 7 D 8 9 已知函数 0 ln0 x ex fx xx g xfxxa 若 g x 存在 2 个零点 则a的取值范围是 A 10 B 0 C 1 D 1 10 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形 此图由三个半圆构成 三个半圆的直径分 别为直角三角形ABC的斜边BC 直角边 AB AC ABC 的三边所围成的区域记为 黑色 部分记为 其余部分记为 在整个图形中随机取一点 此点取自 的概率分别记为 1p 2 p 3 p 则 A 12 ppB 13 pp C 23 ppD 123 ppp 第 3 页
5、共 32 页 11 已知双曲线 2 2 1 3 x Cy O为坐标原点 F为C的右焦点 过F的直线与C的两条渐近线的交 点分别为 M N 若OMN 为直角三角形 则MN A 3 2 B 3 C 2 3D 4 12 已知正方体的棱长为1 每条棱所在直线与平面所成的角都相等 则截此正方体所得截面面 积的最大值为 A 3 3 4 B 2 3 3 C 3 2 4 D 3 2 二 填空题 本题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 若xy 满足约束条件 220 10 0 xy xy y 则32zxy的最大值为 14 记 n S 为数列 n a的前n项和 若21 nn Sa 则 6 S 15 从 2
6、 位女生 4 位男生中选3 人参加科技比赛 且至少有1 位女生入选 则不同的选法共有 种 用数字填写答案 16 已知函数2sinsin 2fxxx 则 fx 的最小值是 三 解答题 共70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第17 21 题为必考题 每个试题 考生都必须作答 第22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共60 分 17 12 分 在平面四边形ABCD中 90ADC 45A 2AB 5BD 求cosADB 若 22DC 求BC 第 4 页 共 32 页 18 12 分 如图 四边形ABCD为正方形 E F分别为AD BC的 中点 以DF为折痕把DFC 折起
7、使点C到达点P的位置 且PFBF 证明 平面PEF 平面ABFD 求DP与平面ABFD所成角的正弦值 19 12 分 设椭圆 2 2 1 2 x Cy 的右焦点为F 过F的直线l与C交于A B两点 点M的坐标为20 当l与x轴垂直时 求直线 AM 的方程 设O为坐标原点 证明 OMAOMB 第 5 页 共 32 页 20 12 分 某工厂的某种产品成箱包装 每箱200 件 每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验 如检验 出不合格品 则更换为合格品 检验时 先从这箱产品中任取20 件作检验 再根据检验结果决定是否 对余下的所有产品作检验 设每件产品为不合格品的概率都为01pp 且各件产品是否为不
8、合格 品相互独立 记 20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为fp 求 fp 的最大值点 0 p 现对一箱产品检验了20 件 结果恰有2 件不合格品 以 中确定的 0 p 作为p的值 已知每件 产品的检验费用为2元 若有不合格品进入用户手中 则工厂要对每件不合格品支付25 元的赔偿费用 i 若不对该箱余下的产品作检验 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X 求EX ii 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据 是否该对这箱余下的所有产品作检验 第 6 页 共 32 页 21 12 分 已知函数 1 lnf xxax x 讨论fx 的单调性 若 fx 存在两个极值点1 x 2 x 证明 1
9、2 12 2 fxfx a xx 第 7 页 共 32 页 二 选考题 共 10 分 请考生在第22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系xOy 中 曲线 1 C 的方程为2yk x 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立 极坐标系 曲线 2 C 的极坐标方程为 2 2cos3 0 求 2 C 的直角坐标方程 若 1C 与2C 有且仅有三个公共点 求1C 的方程 第 8 页 共 32 页 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知11fxxax 当1a时 求不等式1fx的解集 若01x 时不等式fxx 成立 求
10、a的取值范围 第 9 页 共 32 页 绝密 启用前 2018 年全国 1 卷高考理科数学试卷答案 一 选择题 1 C 2 B 3 A 4 B 5 D 6 A 7 B 8 D9 C 10 A 11 B 12 A 二 填空题 13 614 6315 1616 3 3 2 三 解答题 17 解 1 在ABD 中 由正弦定理得 sinsin BDAB AADB 由题设知 52 sin45sinADB 所以 2 sin 5 ADB 由题设知 90ADB 所以 223 cos1 255 ADB 2 由题设及 1 知 2 cossin 5 BDCADB 在BCD 中 由余弦定理得 222 2cos 2 2
11、58252 2 5 25 BCBDDCBDDCBDC 所以5BC 18 解 1 由已知可得 BFPF BFEF 所以BF平面PEF 又BF平面ABFD 所以平面PEF平面ABFD 2 作PHEF 垂足为H 由 1 得 PH平面ABFD 以H为坐标原点 HF uuu r 的方向为y 轴正方向 BF uu u r 为单位长 建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz 由 1 可得 DEPE 又2DP 1DE 所以3PE 又1PF 2EF 故PEPF 可得 3 2 PH 3 2 EH 则 0 0 0 H 3 0 0 2 P 3 1 0 2 D 33 1 22 DP uu u r 3 0 0 2 HP u
12、u u r 为平面ABFD的法向量 第 10 页 共 32 页 设DP与平面ABFD所成角为 则 3 3 4 sin 43 HP DP HPDP uu u ruu u r uu u ruu u r 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为 3 4 19 解 1 由已知得 1 0 F l 的方程为1x 由已知可得 点A 的坐标为 2 1 2 或 2 1 2 所以 AM 的方程为 2 2 2 yx或 2 2 2 yx 2 当 l 与 x 轴重合时 0OMAOMB 当 l 与 x 轴垂直时 OM 为 AB的垂直平分线 所以OMAOMB 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时 设 l 的方程为 1 0 yk
13、 xk 11 A x y 22 B xy 则 1 2x 2 2x 直线 MA MB 的斜率之和为 12 12 22 MAMB yy kk xx 由 11 ykx k 22 ykx k 得 1212 12 23 4 2 2 MAMB kx xk xxk kk xx 将 1 yk x代入 2 2 1 2 x y得 2222 21 4220kxk xk 所以 22 1212 22 422 2121 kk xxx x kk 则 333 1212 2 441284 23 40 21 kkkkk kxxk xxk k 从而0 MAMBkk 故 MA MB 的倾斜角互补 所以OMAOMB 综上 OMAOMB
14、 20 解 1 20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为 2218 20 C 1 fppp 因此 218217217 2020 C 2 1 18 1 2C 1 110 fpppppppp 令 0fp 得0 1p 当 0 0 1 p时 0fp 当 0 1 1 p时 0fp 所以 f p 的最 大值点为 00 1p 2 由 1 知 0 1p 令 Y表示余下的180 件产品中的不合格品件数 依题意知 180 0 1 YB 20225X Y 即4025XY 所以 4025 4025490EXEYEY 如果对余下的产品作检验 则这一箱产品所需要的检验费为400 元 第 11 页 共 32 页 由于400
15、EX 故应该对余下的产品作检验 21 解 1 f x 的定义域为 0 2 22 11 1 axax fx xxx 若2a 则 0fx 当且仅当2a 1x时 0fx 所以 f x 在 0 单调递减 若2a 令 0fx得 2 4 2 aa x或 2 4 2 aa x 当 22 44 0 22 aaaa xU时 0fx 当 22 44 22 aaaa x时 0fx 所以 f x 在 2 4 0 2 aa 2 4 2 aa 单 调递减 在 22 44 22 aaaa 单调递增 2 由 1 知 f x 存在两个极值点当且仅当2a 由于 f x 的两个极值点 1 x 2 x 满足 2 10 xax 所以
16、12 1x x 不妨设 12 xx 则 2 1x 由于 1212122 12121212 2 2 lnlnlnln2ln1 122 1 f xf xxxxxx aaa xxx xxxxx x x 所以 12 12 2 f xf x a xx 等价于 22 2 1 2ln0 xx x 设函数 1 2lng xxx x 由 1 知 g x 在 0 单调递减 又 1 0g 从而当 1 x时 0g x 所以 22 2 1 2lnxx x 0 即 12 12 2 f xf x a xx 22 解 1 由cosx siny得 2 C 的直角坐标方程为 22 1 4xy 2 由 1 知 2 C 是圆心为 1 0 A 半径为 2的圆 由题设知 1 C 是过点 0 2 B且关于 y轴对称的两条射线 记y轴右边的射线为 1 l y轴左边的射 线为 2l 由于B在圆2C 的外面 故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与 2 C 有两个公共点 或 2 l 与 2 C 只有一个公共点且 1 l 与 2 C 有两个公共点 当 1 l 与 2 C 只有一个公共点时 A到1l 所
