《2020版高考文科数学突破二轮复习新课标通用第1讲坐标系与参数方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考文科数学突破二轮复习新课标通用第1讲坐标系与参数方程（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 讲坐标系与参数方程 做真题 1 2019 高考全国卷 在直角坐标系xOy 中 曲线 C 的参数方程为 x 1 t 2 1 t 2 y 4t 1 t 2 t 为参 数 以坐标原点O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 直线 l 的极坐标方程为2 cos 3 sin 11 0 1 求 C 和 l 的直角坐标方程 2 求 C 上的点到l 距离的最小值 解 1 因为 1 1 t 2 1 t 2 1 且 x 2 y 2 2 1 t 2 1 t 2 2 4t 2 1 t 2 2 1 所以 C 的直角坐标 方程为 x 2 y 2 4 1 x 1 l 的直角坐标方程为2x 3y 11 0 2 由
2、 1 可设 C 的参数方程为 x cos y 2sin 为参数 C 上的点到l 的距离为 2cos 2 3sin 11 7 4cos 3 11 7 当 2 3 时 4cos 3 11 取得最小值7 故 C 上的点到l 距离的最小值为7 2 2019 高考全国卷 在极坐标系中 O 为极点 点M 0 0 0 0 在曲线 C 4sin 上 直线l 过点 A 4 0 且与 OM 垂直 垂足为P 1 当 0 3 时 求 0及 l 的极坐标方程 2 当 M 在 C 上运动且P 在线段 OM 上时 求P 点轨迹的极坐标方程 解 1 因为 M 0 0 在曲线 C 上 当 0 3 时 0 4sin 3 2 3
3、由已知得 OP OA cos 3 2 设 Q 为 l 上除 P 的任意一点 连接OQ 在 Rt OPQ 中 cos 3 OP 2 经检验 点 P 2 3 在曲线 cos 3 2 上 所以 l 的极坐标方程为 cos 3 2 2 设 P 在 Rt OAP 中 OP OA cos 4cos 即 4cos 因为 P 在线段 OM 上 且 AP OM 故 的取值范围是 4 2 所以 P 点轨迹的极坐标方程为 4cos 4 2 明考情 1 坐标系与参数方程是高考的选考内容之一 高考考查的重点主要有两个方面 一是 简单曲线的极坐标方程 二是参数方程 极坐标方程与曲线的综合应用 2 全国卷对此部分内容的考查
4、以解答题形式出现 难度中等 备考此部分内容时应注 意转化思想的应用 极坐标方程及其应用 综合型 知识整合 1 极坐标与直角坐标的互化方法 点 M直角坐标 x y 极坐标 互化 公式 x cos y sin 2 x2 y2 tan y x x 0 2 圆的极坐标方程 若圆心为 M 0 0 半径为r 则圆的方程为 2 2 0 cos 0 2 0 r 2 0 几个特殊位置的圆的极坐标方程 1 当圆心位于极点 半径为r r 2 当圆心位于M a 0 半径为a 2acos 3 当圆心位于M a 2 半径为 a 2asin 3 直线的极坐标方程 若直线过点M 0 0 且极轴到此直线的角为 则它的方程为 s
5、in 0sin 0 几个特殊位置的直线的极坐标方程 1 直线过极点 0和 0 2 直线过点M a 0 且垂直于极轴 cos a 3 直线过点M b 2 且平行于极轴 sin b 典型例题 2019 高考全国卷 如图 在极坐标系Ox 中 A 2 0 B2 4 C 2 3 4 D 2 弧 AB BC CD 所在圆的圆心分别是 1 0 1 2 1 曲线 M1是弧 AB 曲线 M2是弧 BC 曲线 M3是弧 CD 1 分别写出M1 M2 M3的极坐标方程 2 曲线 M 由 M1 M2 M3构成 若点 P 在 M 上 且 OP 3 求 P 的极坐标 解 1 由题设可得 弧 AB BC CD 所在圆的极坐
6、标方程分别为 2cos 2sin 2cos 所以M1的极坐标方程为 2cos 0 4 M2的极坐标方程为 2sin 4 3 4 M3的极坐标方程为 2cos 3 4 2 设 P 由题设及 1 知 若 0 4 则 2cos 3 解得 6 若 4 3 4 则 2sin 3 解得 3或 2 3 若 3 4 则 2cos 3 解得 5 6 综上 P 的极坐标为 3 6 或 3 3 或 3 2 3 或 3 5 6 1 求曲线的极坐标方程的一般思路 曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解 然后再次 利用互换公式即可转化为极坐标方程 熟练掌握互换公式是解决问题的关键 2 解决极坐
7、标问题的一般思路 一是将极坐标方程化为直角坐标方程 求出交点的直角坐标 再将其化为极坐标 二是 将曲线的极坐标方程联立 根据限制条件求出极坐标 对点训练 1 在极坐标系中 已知圆O cos sin 和直线 l sin 4 2 2 0 0 b 0 x acos y bsin 为参数 典型例题 2019 郑州市第二次质量预测 在平面直角坐标系xOy 中 以 O 为极点 x 轴的正 半轴为极轴 建立极坐标系 曲线C 的极坐标方程为 2cos2 3 2sin2 12 直线 l 的 参数方程为 x 2 2 2 t y 2 2 t t 为参数 直线 l 与曲线 C 交于 M N 两点 1 若点 P 的极坐
8、标为 2 求 PM PN 的值 2 求曲线 C 的内接矩形周长的最大值 解 1 由 2cos2 3 2sin2 12 得 x 2 3y2 12 故曲线 C 的直角坐标方程为x 2 12 y 2 4 1 点 P 的直角坐标为 2 0 将直线 l 的参数方程 x 2 2 2 t y 2 2 t 代入曲线C 的直角坐标方程 x 2 12 y 2 4 1 中 得 t 2 2t 4 0 设点 M N 对应的参数分别为t1 t2 则 PM PN t1t2 4 2 由曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 12 y 2 4 1 可设曲线C 上的动点A 23cos 2sin 0 2 则以 A 为顶点的内接矩形的周
9、长为4 23cos 2sin 16sin 3 0 2 因此该内接矩形周长的最大值为16 当且仅当 6 时取得最大值 1 有关参数方程问题的2 个关键点 参数方程化为普通方程的关键是消参数 要根据参数的特点进行转化 利用参数方程解决问题 关键是选准参数 理解参数的几何意义 2 利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题 经过点 P x0 y0 倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 x x0 tcos y y0 tsin t 为参数 若 A B 为直线 l 上两点 其对应的参数分别为t1 t2 线段 AB 的中点为 M 点 M 所对应的参数 为 t0 则以下结论在解题中经常用到 t0 t1 t2 2
10、 PM t0 t1 t2 2 AB t2 t1 P A PB t1 t2 对点训练 1 2018 高考全国卷 在平面直角坐标系xOy 中 O 的参数方程为 x cos y sin 为 参数 过点 0 2 且倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 A B两点 1 求 的取值范围 2 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 解 1 O 的普通方程为x 2 y2 1 当 2 时 l 与 O 交于两点 当 2 时 记 tan k 则 l 的方程为y kx 2 l 与 O 交于两点当且仅当 2 1 k 2 1 解得 k1 即 4 2 或 2 3 4 综上 的取值范围是 4 3 4 2 l 的参数方程为 x t
11、cos y 2 tsin t为参数 4 3 4 设 A B P 对应的参数分别为tA tB tP 则 tP tA tB 2 且 tA tB满足 t2 22tsin 1 0 于是 tA tB 2 2sin tP 2sin 又点 P 的坐标 x y 满足 x tPcos y 2 tPsin 所以点 P 的轨迹的参数方程是 x 2 2 sin 2 y 2 2 2 2 cos 2 为参数 4 0 所以此方程的两根为直线l 与曲线 C 的交点 A B 对应的参数t1 t2 由根与系数的关系 得 t1 t2 23 1 t1t2 3 故 t1 t2同正 由直线的参数方程中参数的几何意义 知 PA PB t1
12、 t2 t1 t2 23 1 极坐标方程与参数方程的综合应用 综合型 典型例题 2019 广东六校第一次联考 在平面直角坐标系xOy 中 直线l 的参数方程为 x 5 5 t y 2 5 5 t t 为参数 以平面直角坐标系的原点为极点 x 轴正半轴为极轴 取相同的长 度单位建立极坐标系 曲线C 的极坐标方程为 2 2 2 sin 4 1 1 求直线 l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程 并指明曲线C 的形状 2 设直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 且 OA 0 t1t2 1 0 所以 t1 0 t2 0 因为 OA 0 所以 1 OA 1 OB 1 t1 1 t2 t2 t1 t1
13、t2 t1 t2 2 4t 1t2 t1t2 6 5 5 2 4 1 1 4 5 5 解决极坐标 参数方程的综合问题应关注的三点 1 对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下 我们可以先化成直角坐标的普 通方程 这样思路可能更加清晰 2 对于一些运算比较复杂的问题 用参数方程计算会比较简洁 3 利用极坐标方程解决问题时 要注意题目所给的限制条件及隐含条件 对点训练 1 已知曲线C 的极坐标方程是 4cos 以极点为平面直角坐标系的原点 极轴为 x 轴的正半轴 建立平面直角坐标系 直线l 的参数方程是 x 1 tcos y tsin t 是参数 1 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程
14、2 若直线 l 与曲线 C 相交于 A B 两点 且 AB 14 求直线 l 的倾斜角 的值 解 1 因为 cos x sin y 2 x2 y2 所以曲线 C 的极坐标方程 4cos 可化为 2 4 cos 所以 x 2 y2 4x 所以 x 2 2 y2 4 2 将 x 1 tcos y tsin 代入圆的方程 x 2 2 y2 4 得 tcos 1 2 tsin 2 4 化简得 t 2 2tcos 3 0 设 A B 两点对应的参数分别为t1 t2 则 t1 t2 2cos t1t2 3 所以 AB t1 t2 t1 t2 2 4t 1t2 4cos 2 12 因为 AB 14 所以4c
15、os 2 12 14 所以 cos 2 2 因为 0 所以 4 或 3 4 所以直线的倾斜角 4 或 3 4 2 在平面直角坐标系xOy 中 倾斜角为 的直线 l 过点 M 2 4 以原点O 为极 点 x 轴的非负半轴为极轴 建立极坐标系 且在两坐标系中长度单位相同 曲线C 的极坐 标方程为 sin2 2cos 1 写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程 2 若直线 l 与 C 交于 A B 两点 且 MA MB 40 求倾斜角 的值 解 1 因为倾斜角为 的直线过点M 2 4 所以直线 l 的参数方程是 x 2 tcos y 4 tsin t 是参数 因为曲线 C 的极坐标方程为 s
16、in 2 2cos 所以 2sin2 2 cos 所以曲线 C 的直角坐标方程是y 2 2x 2 把直线 l 的参数方程代入y 2 2x 得 t2sin2 2cos 8sin t 20 0 由题意知 0 设 t1 t2为方程 t 2sin2 2cos 8sin t 20 0 的两根 则 t1 t2 2cos 8sin sin 2 t1t2 20 sin 2 根据直线参数方程的几何意义知 MA MB t1t2 20 sin 2 40 故 4 或 3 4 又 2cos 8sin 2 80sin2 0 所以 4 1 已知曲线C 的极坐标方程是 2 以极点为原点 极轴为x 轴的正半轴建立平面直 角坐标系 直线l 的参数方程为 x 1 2t y 2 3t t 为参数 1 写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程 2 设曲线 C 经过伸缩变换 x x y 1 2y 得到曲线C 过点 F 3 0 作倾斜角为60 的直线 交曲线 C 于 A B 两点 求 FA FB 解 1 直线 l 的普通方程为23x y 2 0 曲线 C 的直角坐标方程为x 2 y2 4 2 因为 x x y 1 2y 所以
