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1、导数应用 第三章 第2课时最大值 最小值问题 第三章 2导数在实际问题中的应用 1 掌握求函数最值的方法 2 了解导数在实际问题中的应用 对给出的实际问题 如使利润最大 效率最高 用料最省等问题 体会导数在解决实际问题中的作用 3 能利用导数求出某些特殊问题的最值 本节重点 求函数最值的方法 利用导数知识解决实际中的最优化问题 本节难点 将实际问题转化为数学问题 建立函数模型 函数y f x 在区间 a b 上的最大值点x0指的是 函数在这个区间上所有点的函数值都 函数y f x 在区间 a b 上的最小值点x0指的是 函数在这个区间上所有点的函数值都 最大值点与最小值点 不超过f x0 不低
2、于f x0 最大 小 值或者在极大 小 值点取得 或者在区间的端点取得 因此 要想求函数的最大 小 值 应首先求出函数的极大 小 值点 然后将所有 与 的函数值进行比较 其中最大 小 的值即为函数的最大 小 值 函数的最大值和最小值统称为 最大值与最小值 极大 小 值点 区间端点 最值 应用导数知识解决实际问题时 首先要明确题目的已知条件和所要求解的问题 然后根据题意建立适当的函数关系 将所求问题转化为求函数的限制条件下的最大 小 值问题 此过程用框图表示如下 导数在实际问题中的应用 说明 1 常将问题中能取得最大值或最小值的那个变量设为y 而将另一个与y有关的变量设为x 然后利用导数求出所列
3、函数的极值点 再进一步分析可得出函数的最值 2 实际问题中 一般通过函数的单调性和问题的实际意义确定最值 2 正确区分极值和最值 1 函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的 函数的最大值和最小值可以在极值点 不可导点 区间的端点取得 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的 最值具有绝对性 极值具有相对性 2 函数的最值是一个整体性概念 最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大的值 最小值是所有函数值中的最小的值 极值只能在区间内取得 但最值可以在端点处取得 极值有可能成为最值 3 若连续函数在区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 4 解决最优化问题的关键是
4、建立函数模型 因此需先审清题意 细致分析实际问题中各个量之间的关系 正确设定所求最大值或最小值的因变量y与自变量x 把实际问题化为数学问题 即列出函数关系式y f x 根据实际问题确定y f x 的定义域 1 在生活 生产和科研中会遇到许多实际问题 要善于用函数与方程的思想去分析问题 解决问题 2 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只要根据实际意义判定该极值是最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值比较 3 优化问题中要注意定义域的限制 当含有参数时 要注意运用分类讨论的思想 答案 C 2 已知f x 2x3 6x2 m m为常数 在 2 2 上有最大值3 那么此函数在 2
5、2 上的最小值为 A 37B 29C 5D 11 答案 A 解析 f x 6x2 12x x 2 2 由f x 0 得x 0或x 2 可得f x 在 2 0 上为增函数 在 0 2 上为减函数 f x 在x 0时取得极大值即为最大值 f x max f 0 m 3 又f 2 37 f 2 5 f x 的最小值为 37 答案 C 解析 本题考查了导数的应用及求导运算 x 0 y x2 81 9 x 9 x 令y 0 x 9 x 0 9 y 0 x 9 y 0 y先增后减 x 9时函数取最大值 选C 属导数法求最值问题 4 函数f x x3 3x 1在闭区间 3 0 上的最大值 最小值分别是 答案
6、 3 17 解析 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令f x 0得x 1或x 1 舍去 因为f 0 1 f 1 3 f 3 17 所以函数f x 在闭区间 3 0 上的最大值为3 最小值为 17 5 内接于半径为R的球 并且体积最大的圆锥的高为 分析 利用求最值的一般步骤 要注意应用适当的计算方法 保证运算的正确性 求函数的最值 点评 设函数f x 的图像在 a b 上连续 且f x 在 a b 内可导 则求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 1 求f x 在 a b 内的极值点 2 求出f x 在区间端点和极值点的值 3 将上述值比较 其中最大的一个就是最大值 最小的一个
7、就是最小值 解析 1 由导数公式表和求导法则可得f x x2 4 解方程x2 4 0 得x1 2 x2 2 根据x1 x2列表 分析f x 的符号 f x 的单调性和极值点 已知函数f x ax3 6ax2 b 问是否存在实数a b 使f x 在 1 2 上取得最大值3 最小值 29 若存在 求出a b的值 若不存在 请说明理由 分析 本题主要考查利用导数求函数最值的逆向运用和分类讨论的思想 最值的逆向问题 解析 显然a 0 f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 解得x1 0 x2 4 舍去 当a 0时 当x变化时 f x f x 的变化情况见下表 已知函数f x x3 3
8、x2 9x A 1 求f x 的单调递减区间 2 若f x 在区间 2 2 上的最大值为20 求它在该区间上的最小值 点评 对 1 求出f x 解不等式f x 0即可 对 2 由f x 的最大值为20 求出a 进而求出最小值 设函数f x 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2处取得极值 1 求a b的值 2 若对于任意的x 0 3 都有f x c2成立 求c的取值范围 分析 连续函数的极值点为f x 0的根 易求a b 第 2 问恒成立问题转化为求f x 在 0 3 上的最值 不等式的恒成立问题 点评 本题是函数极值与不等式结合的综合题 注意挖掘极值点是f x 0的根为解题突破口 关
9、于恒成立问题往往需要转化成函数最值问题 f x m恒成立 只要f x min m即可 已知函数f x x3 ax2 bx c a b c R 1 若函数f x 在x 1和x 3处取得极值 试求a b的值 2 在 1 的条件下 当x 2 6 时 f x 2 c 恒成立 求c的取值范围 分析 2 中 要使不等式f x 2 c 恒成立 关键是求出f x 在闭区间 2 6 上的最大值 x 2 6 时 f x 的最大值为c 54 要使f x 54 当c 0时 c 54 2c c 18 c 18 54 点评 不等式恒成立时求参数的取值范围问题是一种常见的题型 这种题型的解法有多种 其中最常用的方法就是分离
10、参数 然后转化为求函数的最值问题 在求函数最值时 可以借助导数求解 含参数问题的分类讨论 点评 利用导数研究函数的单调性是导数的一个重要的作用 在中间穿插参数 用分类讨论的思想解题是这一类型题目的难点 在分类讨论时要做到 不增不漏 即讨论几种情况 讨论哪几种情况必须要搞清 函数f x 是定义在 1 0 0 1 上的偶函数 当x 1 0 时 f x x3 ax a R 1 当x 0 1 时 求f x 的解析式 2 若a 3 试判断f x 在 0 1 上的单调性 并证明你的结论 3 是否存在a 使得当x 0 1 时 f x 有最大值 1 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 综合应用 解析 1
11、设x 0 1 则 x 1 0 所以f x x3 ax 因为f x 为偶函数 所以f x x3 ax 03 00 即f x 0 所以f x 在 0 1 上是增函数 2014 安徽理 18 设函数f x 1 1 a x x2 x3 其中a 0 1 讨论f x 在其定义域上的单调性 2 当x 0 1 时 求f x 取得最大值和最小值时的x的值 甲 乙两地相距skm 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得超过ckm h 已知汽车每小时的运输成本 以元为单位 由可变部分和固定部分组成 可变部分与速度v km h 的平方成正比 比例系数为b 固定部分为a元 1 把全程运输成本y 元 表示为速度v km h 的函数 并指出这个函数的定义域 2 为了使全程运输成本最小 汽车应以多大速度行驶
