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1、广深珠三校2020届高三数学上学期第一次联考试题 理本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求1已知集合Ax，B，则AB.A. x0x2 B. x0x2 C. x2x3 D. x2x32若复数的共轭复数满足,则.A.B.C. D.3下列有关命题的说法错误的是.A. 若“”为假命题，则、均为假命题； B. 若是两个不同平面，,，则 ；C. “”的必要不充分条件是“”；D. 若命题p：，则命题：；4已知某离散型随机变量X的分布列为X0123P 则X
2、的数学期望.A B1C D25已知向量、均为非零向量，则、的夹角为.ABCD6若，则的值为.A. B. C. D. 7若直线截得圆的弦长为2，则的最小值为.A. 4B. 12C. 16D. 68设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=.A5B6C7D89已知定义在R上的偶函数对任意 都有，当取最小值时，的值为.A.1B.C.D.10在如图直二面角ABDC中，ABD、CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将ABE 沿BE翻折到A1BE，在ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是.ABC与平面A1BE内某直线平行 BCD平面A1BECB
3、C与平面A1BE内某直线垂直 DBCA1B11定义为个正数的“均倒数”，若已知正整数数列 的前项的“均倒数”为，又，则.A. B. C. D. 12已知函数在上有两个零点，则的取值范围是.A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13设满足约束条件，则的最大值为 ；14若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中的系数为 ；15已知点P在双曲线上，轴(其中为双曲线的右焦点)，点到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，则该双曲线
4、的离心率为 ；16已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上， BAC=120。，若三棱锥的体积为，则球的表面积为 ；三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）如图，在中，角所对的边分别为，；（1）证明：为等腰三角形；（2）若为边上的点，且ADB =2ACD，求的值18（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为直角梯形，且为等边三角形，平面平面；点分别为的中点（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值19. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线恰好关于轴
5、对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由20（本小题满分12分）已知函数（1）求曲线在处的切线方程；（2）函数在区间上有零点，求的值；（3）若不等式对任意正实数恒成立，求正整数的取值集合21. （本小题满分12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：第年12345678910旅游人数（万人）300283321345372435486527622800该景点为了预测2021
6、年的旅游人数，建立了与的两个回归模型： 模型：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程y=50.8x+169.7；模型：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近（1）根据表中数据，求模型的回归方程 y=aebx（精确到个位，精确到001）（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）回归方程i=110yi-yi23040714607参考公式、参考数据及说明：对于一组数据，其回归直线w=a+v的斜率和截距的最小二乘法估计分别为=i=1nwi-wvi-vi=1nvi-v2, a=w-v刻画回归效果
7、的相关指数R2=1-i=1nyi-yi2i=1nyi-y2参考数据：，55449 605834195 900表中请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程(10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）已知直线：与曲线交于两点，若，求的值.23选修4-5：不等式选讲(10分）已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且对任意，恒成立，求的最小值 广深珠三校2020届高三第一次联考理科数学参考
8、答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求题号123456789101112答案BCCBBADDADCD12、已知函数（为自然对数的底数）在上有两个零点，则的范围是（ ）A. B. C. D. 【详解】由得，当时，方程不成立，即，则， 设（且），则，且，由得，当时，函数为增函数，当且时，函数为减函数，则当时函数取得极小值，极小值为，当时，且单调递减，作出函数的图象如图：故：要使有两个不同的根，则即可，即实数的取值范围是.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13 19 ； 14 15 ； 15； 16；三、解答题：解答应写出文字
9、说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）如图，在中，角所对的边分别为，；（1）证明：为等腰三角形；（2）若为边上的点，且，求的值【详解】（1），由正弦定理得： .2分由余弦定理得：； .4分化简得：,所以即， .5分故为等腰三角形 .6分（2）如图， 由已知得， ， .8分又， .10分即，得，由（1）可知，得 .12分18（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为直角梯形，且为等边三角形，平面平面；点分别为的中点（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值【详解】（1）设的中点为，连接，为的中点，所以为的中位线，则可得，且； .2分在梯形中，且，所以四边形是平行四边形， .4分，
10、又平面，平面，平面 .6分法二：设为的中点，连接，为的中点，所以是的中位线，所以，又平面，平面，平面， .2分又在梯形中，且，所以四边形是平行四边形，又平面，平面，平面， .4分又，所以平面平面，又平面，平面 .6分（2）设的中点为，又因平面平面，交线为，平面，平面，又由，即有两两垂直，如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系 .7分已知点， .8分设平面的法向量为：则有，可得平面的一个法向量为， .10分可得：， .11分所以直线与平面所成角的正弦值为 .12分19. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线恰好关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【详解】（）由题意可得，又a2b2c2， .2分解得a24，b21，所以，椭圆的方程为 .4分（）存在x轴上在定点Q，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称，设直线l的方程为x+my0，与椭圆联立可得设
