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1、高三数学试卷（理科）考试时间：7月27日8：0010：00第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，则（ ）A B C D2.若复数满足， 其中为虚数单位，则=( )A. B. C. D. 3等差数列的前n项和为，若，则等于（ ）A. 52 B. 54 C. 56 D. 584命题，命题,则 ( )A充分非必要条件 B必要非充分条件 C必要充分条件 D既不充分也不必要条件5函数的图像向右平移（）个单位后，与函数 的图像重合则（ ）A B C D6已知直线平面，直线平面，给出下列命题： 其中正确命题
2、的序号是（ ）A B. C. D.7执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（ ）A B C D8.某班有50名学生，一次考试的成绩（N）服从正态分布N（100，102）已知P（90100）=0.3,估计该班数学成绩在110分以上的人数为（ ）A10 B20 C. 30 D409设实数满足 , 则 的取值范围为（ ） A B C D 10已知是圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值是（ ）A1 B0 C D11已知为偶函数，当时，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是（ ）A B C D12已知曲线在点处的切线与直线垂直，若是函数的两个零点，则（ ）A B C D
3、第卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13若四面体的三视图如右图所示，则该四面体的外接球表面积为_14.在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_.15.已知椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若是线段上一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围为_.16定义在上的函数满足，的导函数，且恒成立，则的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分，5分+5分）在中，角的对边分别是，已知，（1）求的值；（2） 若角为锐角，求的值
4、及的面积18（本小题满分12分，5分+7分）在等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列是首项为1，公比为（是常数，0）的等比数列，求的前项和.19（本小题满分12分，5分+7分）已知四边形为矩形，且平面，点为上的点，且平面，点为中点.（1）求证：平面；（2）求与平面所成线面角的正弦值.20（本小题满分12分，3分+3分+6分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选情况如下表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学812
5、20总计302050（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在68分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.（3）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生中被抽到的人数为，求的分布列及数学期望.附表及公式0.150.100.050.0250.0100，0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821（本小题满分12分，4分+4分+4分）已知椭圆 的长轴长为4，焦距为（
6、）求椭圆的方程；（）过动点的直线交轴与点，交于点 (在第一象限)，且是线段的中点.过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点.（）设直线的斜率分别为，证明为定值；（）求直线的斜率的最小值. 22（本小题满分12分，4分+4分+4分）设函数.（1）若对定义域内的任意，都有成立，求实数的值；（2）若函数的定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若，证明对任意的正整数，.数学（理科）试卷参考答案一、选择题。题号123456789101112答案ABAACCBADADB二、填空题。13 14. 112 15. 16三、解答题。17 （I） 因为，且 ，所以 因为，由正弦定理，得（II） 由得 由余弦定理
7、，得解得或（舍负） 所以 18（）设等差数列的公差是，=3，解得数列的通项公式为 （）数列是首项为1，公比为的等比数列，即，故当时，；当时，19（1）取中的，连接、，因为平面,所以为中点， ,四边形为平行四边形， 平面 ，平面 ，所以平面.（2）因为平面，所以为中点，因为平面，所以平面，所以 以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ，平面的法向量为.所以线面角正弦值为 . 20 解：（1）由表中数据得的观测值，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为设事件为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为由几何概
8、型即乙比甲先解答完的概率（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种，可能取值为0，1，2，的分布列为：01221（）设椭圆的半焦距为c.由题意知，所以.所以椭圆C的方程为.（）（）设，由M(0,m)，可得 所以直线PM的斜率 ，直线QM的斜率.此时.所以为定值3.（）设.直线PA的方程为y=kx+m，直线QB的方程为y=3kx+m.联立 整理得.由，可得，所以.同理.所以，所以 由，可知k0，所以，等号当且仅当时取得.此时，即，所以直线AB 的斜率的最小值为.22（1）由,得的定义域为 因为对x,都有，是函数的最小值，故有 解得 经检验，时，在上单调减，在上单调增为最小值（2）又函数在定义域上是单调函数，或在上恒成立若，则在上恒成立,即=恒成立,由此得；若,则在上恒成立,即=恒成立因在上没有最小值，不存在实数使恒成立 综上所述，实数的取值范围是（3）当时，函数令，则当时，所以函数在上单调递减又，当时，恒有，即恒成立故当时，有 而，取，则有所以结论成立
