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1、期 末 考 试 卷年级：高二 科目：数学（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1.已知直线与直线平行，则实数的值为( )A.-3 B.3 C. D.2.已知随机变量服从二项分布，则( ) A. B. C. D.3.执行如右图所示程序框图，输出结果是( )A.8 B.5 C.4 D.34.如图，点分别是正方体的棱的中点，用过点和点的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为( )A. B. C. D.5.已知是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则； 若，则.其中所有正确命题的个数是( )A.1 B
2、.2 C.3 D.46.两位同学约定上午11：3012：00在图书馆见面，且他们在11：3012：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学等待10分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是( )A. B. C. D.7.若变量满足约束条件且的最小值为，则( )A. B.2 C.3 D. 8.数学活动小组由5名同学组成，现将5名同学分配到三个不同课题进行研究，若每个课题至少安排1名同学，则不同的分配方案种数为( )A.60 B.90 C.150 D.3009.若正实数满足，则( )A. 有最大值4 B.有最小值C. 有最大值1 D.有最小值10.下列说法错误的是( )A.两个随机变量的线性
3、相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1B.对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越大C.回归直线一定过样本点的中心D.在回归直线方程中，当变量每增加1个单位时，变量一定增加0.3个单位11.已知直线，和两点，给出如下结论：不论为何值时，与都互相垂直；当变化时，与分别经过定点和；不论为何值时，与都关于直线对称；如果与交于点，则的最小值是1；其中，所有正确的结论的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.412.从点出发的三条射线两两成角，且分别与球相切于三点，若球的体积为，则两点之间的距离为( )A. B. C.1.5 D.3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共
4、20分.13.若直线被两条平行直线与所截得的线段长为，则直线的倾斜角等于 .14.棱长为3的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 .15.某个部件由四个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2或元件3正常工作，且元件4正常工作，则部件正常工作。设四个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布，且各个元件能正常相互独立工作，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .元件1元件4元件2元件316.已知圆内一点，若是圆上不同的两点，且，则的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.(本小题满分12分)设，已知成等差数列(1)求及的值；(2)求的值.18.(本
5、小题满分12分)某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）,一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨)，将数据按照，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中的值；(2)若该市有120万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，请说明理由；(3)请根据频率分布直方图，求样本数据的众数、中位数.19.(本小题满分12分)现有5个人参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地
6、均匀的正方体骰子(六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6)决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏(1)求这5个人中参加甲游戏人数多于参加乙游戏的人数的概率；(2)用分别表示这5个人中参加甲、乙游戏的人数，记,求随机变量的分布列与数学期望20.(本小题满分12分)如图(1)，在五边形中，是以为斜边的等腰直角三角形，现将沿折起，使平面平面，如图(2)，记线段的中点为(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小21.(本小题满分12分)已知直线与圆交于两点，过点的直线与圆交于两点(1)若直线垂直平分弦，求实数的值；(2)若，求以为直
7、径的圆的方程；(3)已知点，在直线上(为圆心)，存在定点 (异于点)，满足：对于圆上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标及该常数22.(本小题满分10分)已知正数满足(1)求的最小值；(2)求的最小值荆州中学20172018学年上学期高二年级期末考试理科数学试题参考答案一、选择题DBCB BCCC DDBD二、填空题13.45 14.27 15. 16.三、解答题17.解:(1)依题意，得，即，解得(舍去) (2)由,令，(3)在等式的两边取,得18.解:(1)由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，解得：2.(2)由直方图可得，不低于3吨人数所占百分比为，全市月均用水量不低于
8、3吨的人数为：120脳12%=14.4(万).(3)由直方图可知众数落在第五组中，众数为数据落在第一、二、三、四组的频率0.5数据落在第一、二、三、四、五组的频率0.5中位数一定落在第五组中设中位数为，则有，解得.19.解:依题意，这5个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这5个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件，则(1)设“这5个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件，则与、互斥这5个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(2)的所有可能取值为1,3,5.由于与互斥，与互斥，与互斥135P的分布列是随机变量的数学期望.20.解:(1)，是线段
9、的中点，.又，四边形为平行四边形，又，又是等腰直角的中点，.，平面.平面，平面平面.(2)平面平面，且，平面，.两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.为等腰直角三角形，且CD=1，BC=，设平面的一个法向量为，则有，取，得，平面，平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则，平面与平面所成的锐二面角大小为.21.解:(1)依题意，圆方程变形为，圆心，半径又直线的方程即为垂直平分弦，圆心必在直线上过点和，斜率，(2)设垂直于的弦长为，由勾股定理，可知，故点是的中点，故以为直径的圆的圆心是点，半径为2所求圆的方程为.(3)法一：设直线上的点取直线与圆的交点，则取直线与圆的交点，则令，解得或(舍去，与重合)，此时若存在这样的定点满足题意，则必为下证：点满足题意设圆上任意一点，则综上可知，在直线上存在定点，使得为常数3.法二：依题意，直线的方程为，设存在定点满足题意，则设，得，且整理得，上式对任意恒成立且得或解得或又当时，点与重合，故舍去综上可知，在直线上存在定点，使得为常数3.22.解:(1)，设，解得或(舍去)当即时，最小值为8.(2)法一：依题意，可得当即时，取最小值为9.法二：由，得当即时，取最小值为9.
