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1、1 高中不等式习题精选精解 一 求取值范围 1 已知31 11yxyx 求yx3的取值范围 解 2 13yxyxyx 根据已知条件 731 3 2132 11yxyx 所以yx3的取值范围是7 1 2 已知cba 且0cba 求ac 的取值范围 解 由已知条件 显然0 0 ca 2 1 0 02 acacbacacb 2 0 2 02 acaaccbacaba 综上所述ac 的取值范围是2 1 2 3 正数yx 满足12yx 求yx 1 1的最小值 解 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1xyyxyxyxyxyx 223 2 23xyyx yx 为正数 4 设实数yx 满足1 1 22
2、yx 当0cyx时 求c的取值范围 解 方程1 1 22 yx表示的是以点 0 1 为圆心的圆 根据题意当直线0cyx c为常数 与圆在第二象限相切时 c取到最小值 此时 切点的坐标 yx 满足 0cyx 其它圆上的点都满足0cyx 因为在直线的上方 当c增大 直线向 下方平移 圆上的全部点满足0cyx 因此 12 0 21 0 minmin cc 所以c的取值范围是 12 x y 2 5 已知函数 2 0 f xaxbx a满足1 1 2f 2 1 5f 求 3 f的取值范 围 解 由习已知得 52 21baba 设 6 3 3 9 39 3 n m nm nm banbambaf 27 3
3、 12 1 3 1 6 3 ffff 所以 3 f的取值范围是27 12 6 已知 a b都是正数 且1ab 1 a a 1 b b 求的最小值 解 ba 是正数 4 1 4 1 2 2 ab ba ab 5 1 11 11 11 abab ba ba ba b b a a 的最小值是5 当且仅当2 1ba时 7 已知集合045 2 xxxA与022 2 aaxxxB 若AB 求a 的取值范围 解 41 41 0 1 4 45 2 xxAxxxxx 设22 2 aaxxy 当B 即方程 无解 显然AB成立 由0得 0 2 44 2 aa 解得 1 21a 当B 且AB成立 即 41 21 xx
4、xxxx根据图像得出 4 2 2 1 024 24 021 21 2 2 a aa aa 解得 2 7 18 1a 综合 1 2 两式 得a的取值范围为7 18 1 o 1 4 X1 x2 x y 3 8 若关于x的方程0124aa xx 有实数解 求实数a的取值范围 解一 设 x t2 0 02t x 原题转换为求方程01 2 aatt在 0上有解 共有两种情况 一种是有两个根 一种是只 有一个根 如图所示 由二次函数的图像和 性质 得方程01 2 aatt在 0上 有实数解的充要条件为 01 0 0 1 4 01 0 0 2 0 1 4 2 2 af aa af a aa 或注 两组不等式
5、分别对应两个图 解得222 12221aaa即或 所以a的取值范围是222 解二 由方程01 2 aatt得 0 1 1 2 t t t a 函数 0 1 1 2 t t t tf的值域就是a的取值范围 222 222 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 22 t t t t t t t t a 所以a的取值范围是222 二 解不等式 1 032 2 2 xxx 解 不等式0 xgxf与 0 0 xg xf 或0 xg同解 也可以这样理解 符 号 是 由 符 号 合 成 的 故 不 等 式0 xgxf可 转 化 为 0 xgxf或0 xgxf 解得 原不等式的解集为13 xxx或
6、o y x o y x 4 2 0 32 23 2 2 xx xx 解 0 32 23 2 2 xx xx 032 0 32 23 2 22 xx xxxx 0 1 3 0 1 3 2 1 xx xxxx 用根轴法 零点分段法 画图如下 原不等式的解集为3211 xxx或 3 0 11 2 aaxx 解 原式等价于axx11 2 11 11 2 axx 即0ax注 此为关键 0 0 xa原不等式等价于不等式组 0 1 1 22 x axx 解得 0 1 1 2 0 10 2 xxa a a xxa 时 原不等式解集为当 时 原不等式解集为当 4 0 2 2 axx 解 当0a时 原不等式化为0
7、2x 得2x 当0a时 原不等式化为0 2 2 a xx 得2 2 x a 当10a时 原不等式化为0 2 2 a xx 得 a xx 2 2或 当1a时 原不等式化为0 2 2 x 得2x 当1a时 原不等式化为0 2 2 a xx 得2 2 x a x或 2 1 3 1 5 综合上面各式 得原不等式的解集为 5 关于x的不等式0bax的解集为 1 求0 2x bax 的解集 解 由题意得 0a 且ba 则不等式0 2x bax 与不等式组 02 0 2 x xbax 同解 得所求解集为21 xxx或 6 已知0a且1a 关于x的不等式1 x a的解集是0 x x 解关于x的不等式 1 lo
8、g 0 a x x 的解集 解 关于x的不等式1 x a的解集是0 x x 1a 1 0 1 1 115 log 01 2 x x a x x xx x 或 15 1 2 x 原不等式的解集是 1515 1 1 22 U 三 证明题 1 已知cba 求证 222222 cabcabaccbba 证一 222222 accacbbcbaabcabcabaccbba bacacbcacbbcbaababbccacbbcbaab 0 cbacacbbaabcbccbbaa 222222 cabcabaccbba 证毕 证二 222222222 bacacbcbacabcabaccbba 222222
9、2 bcbabacbbacabbcbcba 0 cacbbacbcbbababacb 6 222222 cabcabaccbba 证毕 2 设0ab n为偶数 证明 11nn nn ba ab 11 ab 证 11nn nn ba ab 11 11 nnnn n abab abab 当0 0ab时 0 n ab nn ab 11 nn ab0 11 nnnn n abab ab 0 故 11nn nn ba ab 11 ab 当 a b有一个负值时 不妨设0 0ab 且 0ab 即 ab n为偶数时 nn ab 11 nn ab0 且 0 n ab 11 nnnn n abab ab 0 故
10、11nn nn ba ab 11 ab 综合 可知 原不等式成立 注 必须要考虑到已知条件 0ab 分类讨论 否则不能直接得出 nn ab 11 nn ab0 3 求证 22 16 4 36aa2 29 证 设向量 4 4 6 paqa u rr 由 pqpq u rru rr 得 22 16 4 36aa pq u rr pq u rr 4 4 6 4 10 161002 29aa 注意 当 p u r q r 时 即 8a 48 p 6 12 q p q方向相同 取等号 当利用公式 qpqp 证明时 会得 22 16 4 36aa pq u rr 4 4 6 4 2 1642 5pqaa
11、u rr 的错误结论 因为这里取等号 的条件是 p u r q r 且p q方向相反 根据题设条件 p u r q r 时 方向相同 故取不到等号 计算的结果也使不等式范围缩小了 7 4 求证 nn 1 2 1 3 1 2 1 1 222 2n 证一 nnnnn 1 1 1 1 11 2 2n nnnn 1 2 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 222 原不等式成立 证毕 证二 当 2n 时 原不等式为 2 1 2 2 1 1 2 显然成立 假设当n取k 1 时 原不等式成立 即 1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 222 kk 成立 则 2 2 22
12、222 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 kk kk kkkk kkkkkkkk kk1 2 1 11 2 1 1 1 1 2 222 即n取k时原不等式也成立 综上 对于任意 n 2n 原不等式成立 证毕 注意 此类证明方法称为数学归纳法 5 设 2 13fxxx 实数a满足1xa 求证 21fxf aa 证 1313 2222 axaxaaxxafxf 12 1 1 aaxaxaxax 当 0ax 1 2 2 12 aaaaxafxf 当0ax 1 2 12 12 aaaaxafxf 当 0ax 1 2 1 2 12 aaxaaaxafxf 综合式情况 原不等式成
13、立 证毕 注 式的最后一步省略了对0 0 0aaa的详细分析 正式解题时不能省 分析过程用 ba 同号 babababa ba 异号 babababa 6 已知 xyyxyxyxyx 22 0 0且 求证 3 4 1yx 8 证 由已知得 xyyxyx 2 即 2 yxyxxy yx 及基本不等式 2 2 yx xy 代入式得 2 2 2 yxyx yx 解得 3 4 yx 0 0 0 xyyx 由式得0 2 yxyx 1yx 综上得 3 4 1yx 证毕 7 已知1 0 abccba 证明 111 2 1 1 1 1 333 cbabacacbcba 证 cb acba bc cba abc cba 11 11 1 2233 111 4 1 11 1111 4 1 1 23 acb cb acbcba 0 cba 同理得 bcaacb 1 11 4 1 1 3 cbabac 1 11 4 1 1 3 式两边相加 得 cbacbabacacbcba 111 111 2 1 1 1 1 333 111 2 1 1 1 1 333 cbabacacbcba 所以原不等式成立 证毕 注 4 1 的来由 不等式 a k cb k cb a 2 11 11 11 2 当且仅当cba时取等号 得 1 4 k
