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1、1 7 4 二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 基 础 巩 固 一 选择题 1 若变量x y满足约束条件 y 1 x y 0 x y 2 0 则z x 2y的最大值为 A 4 B 3 C 2 D 1 答案 B 解析 画出可行域 如图 由图可知 当直线l经过点A 1 1 时 z最大 且最 大值为zmax 1 2 1 3 2 若不等式组 x y 0 2x y 2 y 0 x y a 表示的平面区域是一个三角形 则a的取值范围是 A a 4 3 B 0 a 1 C 1 a 4 3 D 0 a 1 或a 4 3 答案 D 解析 由图形知 要使平面区域为三角形 只需直线l x y a在l1 l2之
2、间或在 l3上方 2 3 文 2 012 汕头模拟 二元一次不等式 x 2y 1 x y 3 0表示的平面区域为 答案 C 解析 x 2y 1 x y 3 0 x y 3 0 或 x 2y 10 画图易知 C 正确 理 教材改编题 如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为 3 A x y 1 0 x 2y 2 0 B x y 1 0 x 2y 2 0 C x y 1 0 x 2y 2 0 D x y 1 0 x 2y 2 0 答案 A 解析 两直线方程分别为x 2y 2 0与x y 1 0 由 0 0 点在直线x 2y 2 0 右下方可知x 2y 2 0 又 0 0 在直线x y 1
3、0 左下方可知x y 1 0 即 x y 1 0 x 2y 2 0 为所表示的可行域 4 2012 江西理 8 某农户计划种植黄瓜和韭菜 种植面积不超过50 亩 投入资金 不超过 54 万元 假设种植黄瓜和韭菜的产量 成本和售价如下表 年产量 亩年种植成本 亩每吨售价 黄瓜4t1 2 万元0 55 万元 韭菜6t0 9 万元0 3 万元 为使一年的种植总利润 总利润 总销售收入 总种植成本 最大 那么黄瓜和韭菜的种 植面积 单位 亩 分别为 A 50 0 B 30 20 C 20 30 D 0 50 答案 B 解析 解法 1 本题考查不等式 函数单调性与数学知识的应用 设种植黄瓜x x 50
4、亩 种植韭菜为 50 x 亩 由已知1 2x 0 9 50 x 54 x 30 利润y 4 0 55x 6 0 3 50 x 1 2x 0 9 50 x 0 1x 45 由于g x 0 1x 45 增函数 当x 4 30 亩 时 y取最大值为48 万元 此时种植黄瓜面积为20 亩 故选B 解法 2 本题可应用线性规划知识求最优解 设种植黄瓜x亩 韭菜y亩 则由题意可知 x y 50 1 2x 0 9y 54 x y N 求目标函数z x 0 9y的最大值 根据题意画出可行域如图 当目标函数线l向右平行 移至点A 30 20 处时 目标函数取得最大值 即当黄瓜种 植 30 亩 韭菜种植20 亩时
5、 种植总利润最大 5 文 给出平面区域如下图所示 若使目标函数z ax y a 0 取得最大值的最优解 有无穷多个 则a的值为 A 1 4 B 3 5 5 C 4 D 5 3 答案 B 解析 目标函数z ax y a 0 取得最大值的最优解有无穷多个 则l应与AC重合 即 a kAC 22 5 2 1 5 3 5 a 3 5 理 若直线y kx 1 与圆x 2 y 2 kx my 4 0 相交于P Q两点 且点P Q关于直 线x y 0 对称 则不等式组 kx y 1 0 kx my 0 y 0 表示的平面区域的面积是 A 1 4 B 1 2 C 1 D 2 答案 A 解析 由点P Q关于直线
6、x y 0 对称说明直线y kx 1 与x y 0 垂直 k 1 又圆心坐标为 k 2 m 2 必在直线 x y 0 上 k 2 m 2 0 m 1 则不等式组为 x y 1 0 x y 0 y 0 如图 A坐标为 1 0 B点坐标为 1 2 1 2 S AOB 1 2 OA yB 1 2 1 1 2 1 4 故选 A 6 6 已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 0 x 2 y 2 x 2y 给定 若M x y 为D上的动点 点A的坐标为 2 1 则z OM OA 的最大值为 A 42 B 32 C 4 D 3 答案 C 解析 本题考查线性规划 数量积的坐标运算 OM OA x y
7、2 1 2x y 作直线l0 2x y 0 将l0向右上方平移 当l0过区域D中点 2 2 时 OM OA 2x y取最大值2 2 2 4 选 C 二 填空题 7 2012 安徽理 11 若x y满足约束条件 x 0 x 2y 3 2x y 3 则x y的取值范围是 7 答案 3 0 解析 本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想 根据约束条件 画出可行域如图 对应 ABC边界及内的区域 其中A 0 3 B 0 3 2 C 1 1 则t x y 3 0 8 设m 1 在约束条件 y x y mx x y 1 下 目标函数z x 5y的最大值为4 则m的值 为 答案 3 解析 本题是线性规划
8、问题 先画出可行域 再利用最大值为4 求m 8 由m 1可画出可行域如图所示 则当直线z x 5y过点A时z有最大值 由 y mx x y 1 得A 1 m 1 m m 1 代入得 1 m 1 5m m 1 4 即解得 m 3 三 解答题 9 设z 2y 2x 4 式中x y满足条件 0 x 1 y 2 2y x 1 求z的最大值和最小值 解析 作出二元一次不等式组 0 x 1 y 2 2y x 1 所表示的平面区域 如图阴影部分及边 界 考查z 2y 2x 4 将它变形为y x 1 2z 2 这是斜率为 1 随z变化的一组平行线 1 2z 2 是直线在 y轴的截距 当直线在y轴上的截距最大时
9、 z的值最大 当然直线要与可 行域相交 即在满足约束条件时 目标函数z 2y 2x 4 取得最大值 当直线在y轴上的 截距最小时 z的值最小 当然直线要与可行域相交 即在满足约束条件时 目标函数z 2y 2x 4 取得最小值 由图可知 当直线z 2y 2x 4 经过可行域上的点A时 截距最大 即z最大 解方 程组 x 0 y 2 得A的坐标 0 2 所以zmax 2y 2x 4 2 2 2 0 4 8 当直线z 2y 2x 4 经过可行域上的点B时 截距最小 即z最小 9 解方程组 x 2y 1 0 x 1 得B点的坐标 1 1 所以zmin 2y 2x 4 2 1 2 1 4 4 能 力 提
10、 升 一 选择题 1 2012 辽宁理 8 设变量x y满足 x y 10 0 x y 20 0 y 15 则 2x 3y的最大值为 A 20 B 35 C 45 D 55 答案 D 解析 本题考查线性规划知识 根据线性约束条件画出可行域 如图 作出平行于2x 3y 0 的直线 知过点A 5 15 时 2x 3y最大 最大值为2 5 3 15 55 2 某运输公司有12 名驾驶员和19 名工人 有8 辆载重量为10t 的甲型卡车和7 辆载 重量为 6t 的乙型卡车 某天需送往A地至少 72t 的货物 派用的每辆车需载满且只运送一 次 派用的每辆甲型卡车需配2 名工人 运送一次可得利润450 元
11、 派用的每辆乙型卡车需 配 1 名工人 运送一次可得利润350 元 该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数 可得 最大利润z A 4 650 元B 4 700 元 C 4 900 元D 5 000 元 答案 C 10 解析 本题主要考查利用线性规划求最优解 设派用甲车数x辆 乙车数y辆 由题意 约束 条件 x y 12 2x y 19 10 x 6y 72 0 x 8 0 y 7 目标函数 z 450 x 350y 经平移 9x 7y 0 得过A 7 5 利润最大 z 450 7 350 5 4 900 元 故选C 二 填空题 3 2012 上海文 10 满足约束条件 x 2 y 2 的目标函
12、数z y x的最小值是 答案 2 解析 本题考查了线性规划知识 需要我们把约束条件中的绝对值符号化掉 x 2 y 2 可化为以下四个不等式组 x 0 y 0 x 2y 2 或 x 0 y 0 x 2y 2 11 或 x 0 y 0 x 2y 2 或 x 0 y 0 x 2y 2 可行域如图阴影部分所示 易得A 2 0 z y x在A 2 0 处取得最小值zmin 2 4 设D是不等式组 x 2y 10 2x y 3 0 x 4 y 1 所表示的平面区域 则区域D中的点P x y 到 直线x y 10 的距离的最大值是 答案 42 解析 画出不等式组所表示的平面区域D如图中阴影部分所示 包括边界
13、 显然直线 y 1 与 2x y 3 的交点 1 1 到直线x y 10 的距离最大 根据点到直线的距离公式可以 求得最大值为42 12 三 解答题 5 画出不等式组 x y 5 0 x y 0 x 3 表示的平面区域 并回答下列问题 1 指出x y的取值范围 2 平面区域内有多少个整点 解析 1 不等式x y 5 0 表示直线x y 5 0 上及右下方的点的集合 x y 0 表示直线x y 0 上及右上方的点的集合 x 3 表示直线x 3 上及左方的点的集合 所以 不等式组 x y 5 0 x y 0 x 3 13 表示的平面区域如图所示 结合图中可行域得x 5 2 3 y 3 8 2 由图
14、形及不等式组知 x y x 5 2 x 3 且x Z 当x 3 时 3 y 8 有 12 个整点 当x 2 时 2 y 7 有 10 个整点 当x 1 时 1 y 6 有 8 个整点 当x 0 时 0 y 5 有 6 个整点 当x 1 时 1 y 4 有 4 个整点 当x 2 时 2 y 3 有 2 个整点 平面区域内的整点共有 2 4 6 8 10 12 42 个 6 已知实数x y满足 x y 3 0 x y 1 0 x 2 1 若z x 2 y 2 求 z的最大值和最小值 2 若z y x 求 z的最大值和最小值 解析 不等式组 x y 3 0 x y 1 0 x 2 表示的平面区域如图
15、所示 图中阴影部分即为可行 域 14 由 x y 3 0 x y 1 0 得 x 1 y 2 A 1 2 由 x 2 x y 3 0 得 x 2 y 1 B 2 1 由 x 2 x y 1 0 得 x 2 y 3 M 2 3 1 过原点 0 0 作直线l垂直于直线x y 3 0 垂足为N 则直线l的方程为y x 由 y x x y 3 0 得 x 3 2 y 3 2 N 3 2 3 2 点N 3 2 3 2 在线段AB上 也在可行域内 此时可行域内点M到原点的距离最大 点N到原点的距离最小 又OM 13 ON 9 2 即 9 2 x 2 y2 13 9 2 x 2 y 2 13 所以z的最大值
16、为13 z的最小值为 9 2 2 由图像可得 原点与可行域内的点A的连线的斜率值最大 与点B的连线的斜率值 最小 又kOA 2 kOB 1 2 1 2 y x 2 z的最大值为2 z的最小值为 1 2 7 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐 已知一个单位的午餐含12 个单位的碳水化 合物 6 个单位的蛋白质和6 个单位的维生素C 一个单位的晚餐含8 个单位的碳水化合物 6 个单位的蛋白质和10 个单位的维生素C 另外 该儿童这两餐需要的营养中至少含64 个单 位的碳水化合物 42 个单位的蛋白质和54 个单位的维生素C 如果一个单位的午餐 晚餐的 费用分别是2 5 元和 4 元 那么要满足上述的营养要求 并且花费最少 应当为该儿童分别 预订多少个单位的午餐和晚餐 15 分析 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x y个单位 由题意得到线性约束 条件及目标函数 进而画出可行域及求得最优解 解析 解法 1 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位 所花 的费用为z元 则依题意 得z 2 5x 4y 且x y满足 x 0 y 0 12x 8y 64 6x 6y 42 6x 10
