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1、统计案例 11 1 抽样方法 1 为了了解所加工的一批零件的长度 抽取其中200 个零件并测量了其长度 在这个问题中 总体的一 个样本是 答案 200 个零件的长度 2 某城区有农民 工人 知识分子家庭共计2 004 户 其中农民家庭1 600 户 工人家庭 303 户 现要 从中抽取容量为40 的样本 则在整个抽样过程中 可以用到下列抽样方法 简单随机抽样 系 统抽样 分层抽样中的 答案 3 某企业共有职工 150 人 其中高级职称 15 人 中级职称 45 人 初级职称 90 人 现采用分层抽样抽取 容量为 30 的样本 则抽取的各职称的人数分别为 答案3 9 18 4 某工厂生产 A B
2、 C三种不同型号的产品 其相应产品数量之比为2 3 5 现用分层抽样方法抽出 一个容量为 n 的样本 样本中 A型号产品有 16 件 那么此样本的容量n 答案80 例 1某大学为了支援我国西部教育事业 决定从2007 应届毕业生报名的18 名志愿者中 选取6 人组 成志愿小组 请 用抽签法和随机数表法 设计抽样方案 解抽签法 第一步 将 18名志愿者编号 编号为1 2 3 18 第二步 将 18个号码分别写在18 张外形完全相同的纸条上 并揉成团 制成号签 第三步 将 18个号签放入一个不透明的盒子里 充分搅匀 第四步 从盒子中逐个抽取6 个号签 并记录上面的编号 第五步 所得号码对应的志愿者
3、 就是志愿小组的成员 随机数表法 第一步 将 18名志愿者编号 编号为01 02 03 18 第二步 在随机数表中任选一数作为开始 按任意方向读数 比如第8 行第 29 列的数 7 开始 向右 读 第三步 从数 7 开始 向右读 每次取两位 凡不在01 18 中的数 或已读过的数 都跳过去不作记 录 依次可得到 12 07 15 13 02 09 第四步 找出以上号码对应的志愿者 就是志愿小组的成员 例 2某工厂有 1 003 名工人 从中抽取10 人参加体检 试用 系统抽样 进行具体实施 解 1 将每个人随机编一个号由0001至 1003 2 利用随机数法找到3 个号将这 3名工人剔除 3
4、将剩余的 1 000 名工人重新随机编号由0001至 1000 4 分段 取间隔 k 10 0001 100将总体均分为 10 段 每段含 100 个工人 5 从第一段即为 0001号到 0100号中随机抽取一个号l 6 按编号将 l 100 l 200 l 900 l 共 10 个号码选出 这 10 个号码所对应的工人组成样本 基础自测 例 3 14 分 某一个地区共有5 个乡镇 人口 3 万人 其中人口比例为3 2 5 2 3 从 3 万人中 抽取一个 300人 的样本 分析某种疾病的发病率 已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关 问应采取什么样的方 法 并写出具体过程 解应采取 分层抽样
5、 的方法 3 分 过程如下 1 将 3 万人分为五层 其中一个乡镇为一层 5 分 2 按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本 300 15 3 60 人 300 15 2 40 人 300 15 5 100 人 300 15 2 40 人 300 15 3 60 人 10分 因此各乡镇抽取人数分别为60 人 40 人 100 人 40 人 60人 12 分 3 将 300人组到一起即得到一个样本 14 分 练习 一 填空题 1 安庆模拟 某校高中生共有 900 人 其中高一年级 300 人 高二年级 200 人 高三年级 400 人 现 分层抽取容量为 45 的样本 那么高一 高二 高三
6、年级抽取的人数分别为 答案15 10 20 2 某牛奶生产线上每隔30 分钟抽取一袋进行检验 则该抽样方法为 从某中学的30 名数学爱好者中 抽取 3 人了解学习负担情况 则该抽样方法为 那么 分别为 答案系统抽样 简单随机抽样 3 下列抽样实验中 最适宜用系统抽样的是 填序号 某市的 4 个区共有 2 000 名学生 且 4个区的学生人数之比为3 2 8 2 从中抽取 200 人入样 某厂生产的 2 000 个电子元件中随机抽取5 个入样 从某厂生产的 2 000 个电子元件中随机抽取200 个入样 从某厂生产的 20 个电子元件中随机抽取5 个入样 答案 4 2013 重庆文 某校高三年级
7、有男生500 人 女生 400 人 为了解该年级学生的健康情况 从男生 中任意抽取 25人 从女生中任意抽取20人进行调查 这种抽样方法是 答案分层抽样法 5 某中学有高一学生400人 高二学生 300 人 高三学生 200 人 学校团委欲用分层抽样的方法抽取18 名学生进行问卷调查 则下列判断不正确的是 填序号 高一学生被抽到的概率最大 高三学生被抽到的概率最大 高三学生被抽到的概率最小 每名学生被抽到的概率相等 答案 6 某商场有四类食品 其中粮食类 植物油类 动物性食品类及果蔬类分别有40 种 10种 30种 20 种 现从中抽取一个容量为20 的样本进行食品安全检测 若采用分层抽样的方
8、法抽取样本 则抽取 的植物油类与果蔬类食品种数之和是 答案6 7 天津文 11 一个单位共有职工200 人 其中不超过 45岁的有 120 人 超过 45 岁的有 80 人 为了 调查职工的健康状况 用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本 应抽取超过45 岁 的职工人 答案10 8 将参加数学竞赛的1 000 名学生编号如下0001 0002 0003 1000 打算从中抽取一个容量为 50的样本 按系统抽样的方法分成50 个部分 如果第一部分编号为0001 0002 0020 从第一 部分随机抽取一个号码为0015 则第 40 个号码为 答案0795 9 某政府机关有在编人员1
9、00 人 其中副处级以上干部10 人 一般干部 70 人 工人 20 人 上级机关 为了了解政府机构改革意见 要从中抽取一个容量为20 的样本 试确定用何种方法抽取 如何抽取 解用分层抽样抽取 1 20 100 1 5 5 10 2 5 70 14 5 20 4 从副处级以上干部中抽取2 人 一般干部中抽取14 人 从工人中抽取4人 2 因副处级以上干部与工人人数较少 可用抽签法从中分别抽取2 人和 4 人 对一般干部可用随 机数表法抽取 14人 3 将 2 人 4 人 14 人编号汇合在一起就得到了容量为20 的样本 10 某单位有工程师 6 人 技术员 12人 技工 18 人 要从这些人中
10、抽取一个容量为n 的样本 如果采用 系统抽样法和分层抽样法抽取 不用剔除个体 如果样本容量增加一个 则在采用系统抽样时 需要 在总体中先剔除 1 个个体 求 样本容量 n 解总体容量为 6 12 18 36 当样本容量是 n 时 由题意知 系统抽样的间隔为 n 36 分层抽样的比例 是 36 n 抽取工程师 36 n 6 6 n 人 抽取技术人员 36 n 12 3 n 人 抽取技工 36 n 18 2 n 人 所以 n 应是 6 的倍数 36 的约数即 n 6 12 18 36 当样本容量为 n 1 时 在总体中剔除1 人后还剩 35 人 系统抽样的间隔为 1 35 n 因为 1 35 n
11、必须是 整数 所以 n 只能取 6 即样本容量为6 总体分布的估计与总体特征数的估计 1 一个容量为 20的样本 已知某组的频率为0 25 则该组的频数为 答案5 2 2008 山东理 右图是根据 山东统计年鉴2007 中的资料作成的1997年至 2006 年 我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图 图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百 户家庭人口数的百位数字和十位数字 右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位 数字 从图中可以得到1997 年至2006 年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数 为 答案303 6 3 在抽查产品的尺寸过程中 将其尺寸分成若干组 a b 是其中的一组 抽查出的个
12、体在该组上的 基础自测 频率为 m 该组在频率分布直方图的高为h 则 a b 答案 h m 4 2008 山东文 9 从某项综合能力测试中抽取100 人的成绩 统计如表 则这100 人成绩的标准 差为 分数5 4 3 2 1 人数20 10 30 30 10 答案 5 102 5 为了了解某地区高三学生的身体发育情况 抽查了该地区100 名年龄为17 5 岁 18 岁的男生体重 kg 得到频率分布直方图如下 根据上图可得这 100 名学生中体重在 56 5 64 5 的学生人数是 答案40 典型例题 例 1在学校开展的综合实践活动中 某班进行了小制作评比 作品上交时间为 5 月 1 日至 30
13、日 评委 会把同学们上交作品的件数按5 天一组分组统计 绘制了频率分布直方图 如图所示 已知从左到 右各长方形高的比为2 3 4 6 4 1 第三组的频数为12 请解答下列问题 1 本次活动共有多少件作品参加评比 2 哪组上交的作品数量最多 有多少件 3 经过评比 第四组和第六组分别有10 件 2 件作品获奖 问这两组哪组获奖率高 解 1 第三组的频率为 146432 4 5 1 又因为第三组的频数为12 参评作品数为 5 1 12 60 2 根据频率分布直方图 可以看出第四组上交的作品数量最多 共有 60 146432 6 18 件 3 第四组的获奖率是 18 10 9 5 第六组上交的作品
14、数量为60 146432 1 3 件 第六组的获奖率为 3 2 9 6 显然第六组的获奖率高 例 4 14 分 某化肥厂甲 乙两个车间包装肥料 在自动包装传送带上每隔30 min 抽取一包产品 称 其重量 分别 记录抽查数据如下 甲 102 101 99 98 103 98 99 乙 110 115 90 85 75 115 110 1 这种抽样方法是哪一种 2 将这两组数据用茎叶图表示 3 将两组数据比较 说明哪个车间产品较稳定 解 1 因为间隔时间相同 故是系统抽样 2 分 2 茎叶图如下 5 分 3 甲车间 平均值 1 x 7 1 102 101 99 98 103 98 99 100
15、7 分 方差 s1 2 7 1 102 100 2 101 100 2 99 100 2 3 428 6 9 分 乙车间 平均值 2 x 7 1 110 115 90 85 75 115 110 100 11 分 方差 s2 2 7 1 110 100 2 115 100 2 110 100 2 228 571 4 13分 1 x 2 x s1 2 s 2 2 甲车间产品稳定 14 分 为了了解小学生的体能情况 抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试 将所得数据整理后 画出 频率分布直方图如图所示 已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0 1 0 3 0 4 第一小组的 频数为 5 1 求第四
16、小组的频率 2 参加这次测试的学生人数是多少 3 在这次测试中 学生跳绳次数的中位数落在第几小组内 解 1 第四小组的频率 1 0 1 0 3 0 4 0 2 2 设参加这次测试的学生人数是n 则有 n 第一小组频率 第一小组频数 5 0 1 50 人 3 因为0 1 50 5 0 3 50 15 0 4 50 20 0 2 50 10 即第一 第二 第三 第四小组的频数 分别为 5 15 20 10 所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内 练习 一 填空题 1 下列关于频率分布直方图的说法中不正确的是 直方图的高表示取某数的频率 直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率 直方图的高表示该组上的个体数与组距的比值 直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值 答案 2 甲 乙两名新兵在同样条件下进行射击练习 每人打5 发子弹 命中环数如下 甲 6 8 9 9 8 乙 10 7 7 7 9 则这两人的射击成绩比稳定 答案甲乙 4 某班 50名学生在一次百米测试中 成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间 将测试结果分 成六组 右图是得到的频率分布直方图 设成绩小于
