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1、快乐数学崔氏班 群号：121260514生有尽，业无穷。勤无价，耕耘为天下。 1排列组合加法原理：一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有 m1 种不同做法，第二类方法中有种不同做法，第 k 类方法中有种不同的做法，则完成这件事共有N= km21种不同的方法。这就是加法原理。乘法原理：一般地，如果完成一件事需要 n 个步骤，其中，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法,，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么，完成这件事一共有N= nm21种不同的方法。这就是乘法原理。加法原理和乘法原理有什么区别？加法原理：先把方法分类，每一类的方法都能完成这件事。最后把
2、这些方法相加。乘法原理：先把方法分步，每一步都不能独立完成这件事，但是完成这件事，这些步骤缺一不可。最后把方法相乘。运用两个基本原理时要注意：抓住两个基本原理的区别，千万不能混.不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数.不同步的方法（全程分成几个阶段（步） ，其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数.在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有 2 件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有 2
3、 件次品，第二类抽出的产品中有 1 件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被 2、被 3、或被 6 整除的数分为三类：第一类为能被 2 整除的数，第二类为能被 3 整除的数，第三类为能被 6 整除的数.这三类数互有重复部分.在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的.排列组合在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法就是排列问题在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关例如 某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之
4、间问：应准备有多少种不同船票？分析这个问题，可以用枚举法解决，三个城市之间，船票有下面六种设置方式：如果不用枚举法，注意到要准备的船票的种类不仅与所选的两个城市有关，而且与这两个城市作为起点、终点的顺序有关，所以，要考虑共准备多少种不同的船票，就要在三个城市之间每次取出两个，按照起点、终点的顺序排列首先确定起点站，在三个城市中，任取一个为起点站，共有三种选法快乐数学崔氏班 群号：121260514生有尽，业无穷。勤无价，耕耘为天下。 2其次确定终点站，每次确定了一个起点站后，只能从剩下的两个城市之中选终点站，共有两种选法由乘法原理，共需准备：32=6 种不同的船票为叙述方便，我们把研究对象（如
5、天津、青岛、大连）看作元素，那么上面的问题就是在三个不同的元素中取出两个，按照一定的顺序排成一列的问题我们把每一种排法叫做一个排列（如天津青岛就是一个排列） ，把所有排列的个数叫做排列数那么上面的问题就是求排列数的问题一般地，从 n 个不同的元素中任取出 m 个（mn）元素，按照一定的顺序排成一列叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样如果两个排列的元素不完全相同或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列从 n 个不同元素中取出 m 个（mn）元素的所有排列的个数，叫做从上面
6、的问题要计算从 3 个城市中取出 2 个城市排成一列的排列数，就是一般地，从 n 个不同元素中取出 m 个元素（mn）排成一列的问题，可以看成是从 n 个不同元素中取出 m 个，排在 m 个不同的位置上的问题，而第一步：先排第一个位置上的元素，可以从 n 个元素中任选一个，有 n 种不同的选法；第二步：排第二个位置上的元素这时，由于第一个位置已用去了一个元素，只剩下（n-1）个不同的元素可供选择，共有（n-1）种不同的选法；第三步：排第三个位置上的元素，有（n-2）种不同的选法；第 m 步：排第 m 个位置上的元素由于前面已经排了（m-1）个位置，用去了（m-1）个元素这样，第 m 个位置上只
7、能从剩下的n-（m-1）= （n-m+1）个元素中选择，有（n-m+1）种不同的选法由乘法原理知，共有：n（n-1） （n-2）（n-m+1）种不同的排法，即：这里，mn；且等号右边从 n 开始，后面每个因数比前一个因数小 1，共有 m 个因数相乘例 1：小明和小王从北京出发先到天津看海，然后再到上海东方明珠塔参观。从北京到天津可以做火车或者做公共汽车，坐火车有 4 种车次，坐公共汽车有 3 种车次；而从天津到上海可以坐火车，公共汽车，轮船或者飞机，火车有 3 种，汽车有 5 种，轮船有 4 种，快乐数学崔氏班 群号：121260514生有尽，业无穷。勤无价，耕耘为天下。 3飞机有 2 种。问
8、小明和小王从北京到上海旅游一共有多少种走法？解：首先看他们完成整个过程需要几个过程，这是判断利用加法原理和乘法原理的依据。很明显整个过程要分两步完成，先从北京到天津，再从天津到上海，应该用乘法原理。我们再分开来看，先看从北京到天津，无论是坐火车还是汽车都是一步完成，所以要用加法原理，从北京到天津走法有：4+3=7 种，同样的道理，天津到上海走法有：3+5+4+2=14 种最后，算出从北京到上海的走法有：717=119 种点评：本题是考察学生对加法乘法原理的理解，只要正确利用加法乘法原理，解这种题应该难度不大。例 2：某公园有两个园门，一个东门，一个西门.若从东门入园，有两条道路通向龙凤亭，从龙
9、凤亭有一条道路通向园中园，从园中园又有两条道路通向西门.另外，从东门有一条道路通向游乐场，从游乐场有两条道路通向水上世界，另有一条道路通向园中园.从水上世界有一条道路通向西门，另有一条道路通向小山亭，从小山亭有一条道路通向西门.问若从东门入园，从西门出园一共有多少种不同的走法（不走重复路线）？【解】 这个题的已知条件比较复杂.首先让我们将已知条件“ 梳理”一下：1.从东门入园，从西门出园；2.从东门入园后，可以通向两个游览区，龙凤亭与游乐场；3.从龙凤亭经园中园可达到西门；4.从游乐场经水上世界可达到西门，或从游乐场经园中园可达到西门；5.从水上世界经小山亭可达到西门；根据以上五条可知，从东门
10、入园经龙凤亭经园中园达到西门为一主干线.而东门到龙凤亭有两条不同路线；龙凤亭到园中园只有一条路线；园中园到西门又有两条不同的路线.由乘法原理，这条主干线共有 212=4 种不同的走法。再看从东门入园后到游乐场的路线 .从东门到游乐场只有一条路，由游乐场分成两种路线，一是经园中园到西门，这条路线由乘法原理可知有 112=2 种不同走法；二是经水上世界到西门，从水上世界到西门共有两条路线（由水上世界直接到西门和经小山亭到西门） ，再由乘法原理可知这条路线有122=4 种不同路线。最后由加法原理，从东门入园从西门出园且不走重复路线的走法共有 212+112+122=10 种。这道题也可用 “枚举法”
11、来解。我们可以先画出一个图（图 5） ，从图上便可以得出正确的答案。图中 A 表示东门，B 表示西门，C 表示龙凤亭，D 表示园中园，E 表示游乐场，F 表示水上世界，G 表示小山亭，线表示道路。不同的走法有：即共有 10 种不同走法.快乐数学崔氏班 群号：121260514生有尽，业无穷。勤无价，耕耘为天下。 4例 3：由数字 0、1、2、3 组成三位数，问：可组成多少个不相等的三位数？可组成多少个没有重复数字的三位数？解：首先确定解题方法， 在确定由 0、1、2、3 组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成，所以最后要用乘法原理来处理。要求组成不
12、相等的三位数所以，数字可以重复使用，百位上，不能取 0，故有3 种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有 4 种不同的取法；个位上，也有 4 种不同的取法，由乘法原理，共可组成 344=48 个不相等的三位数要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取 0，有 3 种不同的取法；十位上，由于百位已在 1、2、3 中取走一个，故只剩下 0 和其余两个数字，故有 3 种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有 2 种取法，由乘法原理，共有 332=18 个没有重复数字的三位数点评：在解题之前首先确定解题方法，然后各个击破就可以了。例 4如下图，A，B
13、，C，D，E 五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？解：首先确定解题方法，将染色这一过程分为依次给 A，B，C，D，E 染色五步，很明显要用乘法原理，现在只要算出各个量就行了。先给 A 染色，因为有 5 种颜色，故有 5 种不同的染色方法；第 2 步给 B 染色，因不能与 A 同色，还剩下 4 种颜色可选择，故有 4 种不同的染色方法；第 3 步给 C 染色，因为不能与 A，B 同色，故有 3 种不同的染色方法；第 4 步给 D 染色，因为不能与 A，C 同色，故有 3 种不同的染色方法；第 5 步给 E 染色，由于不能与
14、 A， C，D 同色，故只有 2 种不同的染色方法。根据乘法原理，共有不同的染色方法54332360（种） 。点评：染色问题，一般用乘法原理。例 5有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？快乐数学崔氏班 群号：121260514生有尽，业无穷。勤无价，耕耘为天下。 5解：这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中n=5，m=3由排列数公式知，共可组成种不同的信号补充说明：
15、这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化点评：首先看清楚是排列还是组合，这个是解决排列组合问题的前提，也是必需的条件，信号旗问题是典型的排列问题例 6从分别写有 1、3、5、7、9 的五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：有多少个不同的乘积？有多少个不同的乘法算式？解： 要考虑有多少个不同乘积.由于只要从 5 张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，因为乘法的交换率，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题.由组合数公式得到，共有个不同的乘积.要
16、考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题.由排列数公式，共有 P25 5420 种不同的乘法算式.点评：看准是排列还是组合，剩下的就是简单计算了。例 7如下图，问：下左图中，共有多少条线段？下右图中，共有多少个角？解：在线段 AB 上共有 7 个点（包括端点 A、B）.注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有一条以这两个点为端点的线段，而与选这两个端点的顺序无关，所以，这是一个组合问题由组合数公式知，共有条不同的线段；快乐数学崔氏班 群号：121260514生有尽，业无穷。勤无价，耕耘为天下。 6从 O 点出发的射线一共有 11 条，它们是 OA， OP1，OP2，OP3，OP9，OB.注意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从 11 条射线中取两条射线有多少种取法，就有
