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1、山西省长治市第二中学2019-2020学年高二数学12月月考试题 理【满分150分,考试时间120分钟】一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知椭圆的方程为,则此椭圆的焦距为( )A1 B2 C D2双曲线的渐近线方程为( )A B C D3己知直线平面,直线平面,若,则下列结论正确的是( )A或 B C D4双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( )A4 B C2 D5以椭圆的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程是( )A B C D6已知点P是椭圆上的一点,是椭圆的两个焦点,且,则的面积为( )A B C D7若直线与双曲线
2、只有一个公共点,则满足条件的直线有( )A1条 B2条 C3条 D4条 8已知圆,由直线上的一点向圆引切线,则切线长的最小值为( )A B C D9过点P(-1,1)作直线与椭圆交于A,B两点,若线段AB的中点恰好为P点,则AB所在直线方程是( )A B C D10已知F是椭圆的左焦点,P为椭圆C上任意一点,点Q的坐标为,则的最大值为( )A B C D11已知是双曲线的两个焦点,以线段为边作正,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为( )A B C D12如图,已知正方体的棱长为1,分别是棱上的动点,若,则线段MN的中点P的轨迹是( ) A一条线段B一段圆弧C一个球面区域D两条平行线段二、
3、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13椭圆的焦点坐标为 14直线与椭圆的位置关系为 15已知不等式恒成立,则实数的取值范围是 16已知椭圆与双曲线有相同的焦点,若点P是与在第一象限内的交点,且,设与的离心率分别为,则的取值范围是 三、解答题:本大题共70分17(本题满10分) 已知直线及圆(1) 判断直线与圆的位置关系;(2) 求过点(3,1)的圆的切线方程18(本题满分12分) 已知两圆和(1) 判断两圆的位置关系;(2) 求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长19(本题满分12分) 已知双曲线的虚轴长为,且离心率为(1) 求双曲线的方程;(2) 经过双曲线右焦点作倾斜角为的直线
4、,直线与双曲线交于不同的两点,求 20(本题满分12分) 如图四棱锥中,底面是正方形,且,E为PD中点(1) 求证:平面;(2) 求二面角的余弦值21(本题满分12分) 已知点A,B的坐标为,直线AE,BE相交于点E,且它们的斜率之积是(1) 求点E的轨迹方程;(2) 设O为坐标原点,过点F(-1,0)的直线与点E的轨迹交于M,N两点,求的面积的最大值22(本题满分12分) 在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,且椭圆C上一点N到距离的最大值为,过点的直线交椭圆C于点A,B(1) 求椭圆C的方程;(2) 设P为椭圆上一点,且满足 (为坐标原点),当时,求实数的取值范围理科数学参考答案1-12
5、 BDACB CBBDA CB13. 14. 相交 15. 16. 17 解: (1)解法一:代数法 消去y,整理得 .2分其中 解法二:几何法 圆心(1,2)到直线的距离为所以,直线与圆相交。.4分(2) 当切线斜率存在时,设切线斜率为k,则可设切线的方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.5分由得.7分 此时,切线方程为3x-4y-5=0.8分当切线斜率存在时,结合点与圆的图像知,此时切线方程为x=3.9分 综上,圆的切线方程为x=3和3x-4y-5=0.10分 18.解:(1)解法一:代数法 消去y,整理得.3分其中,.5分解法二:几何法由题意可知:圆心,半径;圆心,半径.
6、2分两圆心距离.3分且满足.5分所以,两圆相交。.(2) 两圆作差得.7分解法一:由得代入上式得.9分由两点间距离公式得:.12分解法二: 圆心到直线的距离为.9分所以所求弦长为 .12分 19 解: (1) 双曲线的虚轴长为,离心率为解得,双曲线的方程为. .5分(2)由(1)知 双曲线的右焦点为 .6分设经过双曲线右焦点且倾斜角为的直线的方程为,由,得 .9分 其中,.10分所以 .12分20 解: (1)证明:底面为正方形,又,平面,.同理,平面.5分 (2) 建立如图的空间直角坐标系,不妨设正方形的边长为2.则 .6分设为平面的一个法向量,又,令,得.8分同理是平面的一个法向量.10分则.二面角的余弦值为.12分21解:(1)设,因为A,所以直线AE的斜率同理直线BE的斜率由已知有 化简得的轨迹方程为.5分(2)设过F(-1,0)的直线方程为x=my-1,设.6分联立直线与椭圆的方程,化简得,显然,.8分从而,.所以.10分令,则,当,即时取等号.所以面积的最大值为.12分22. 解:(1),则椭圆方程为, 即.23. 设,则.24. 当时, 有最大值,则,25. 解得,故椭圆方程是.