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1、7.3 微积分的基本定理定理7.6若函数在有限闭区间上可积,则定义在上的函数(通常称为的变上限的积分)必满足Lipschitz条件,因而是连续函数.证: 记.,有 ,故 .定理7.7 若函数在有限闭区间上可积,在处连续,则定义在上的函数在处可导,并且.证明: ,使得当时成立,故当时成立,即 .定理7.8(微积分的基本定理) 若函数在区间上连续,固定,则定义在上的函数是的原函数.证: 由定理7.7.定理7.9(微积分基本定理的另一形式) 若是区间上的可导函数,并且的变上限的积分存在,固定,则都成立 .证: 由定理7.1的推广.注记 通常也将Newton-Leibniz公式称为微积分的基本定理.微
2、积分的基本定理表明: 一、区间上的连续函数一定有原函数,并且原函数之一就是变上限的积分；二、区间上的可导函数可以通过其导函数的变上限的积分来表示(假定导函数的变上限的积分存在).命题 若是区间上的连续函数,是区间上的可导函数,满足,则定义在上的函数是可导函数,并且 .证: 固定,记,则,故 .例 设函数在上连续可导(意思是),并且.求证: .证: 令,则.再令,则.注意到,便知.再注意到,便知,因而在上递增.练习题7.3() 1(2,3),3,4,5,6,7.问题7.3() 1,3,4,7.7.4 分部积分法与换元积分法命题1(分部积分法) 若函数都在有限闭区间上可导,并且都在上可积,则 .证
3、: 由Newton-Leibniz公式,对两边积分便得 .例1 求 ,.解: 记 ,显然 .当时有.故 .从而 ；.定理7.10(带积分余项的Taylor定理) 若函数在区间上阶可导,并且的变上限的积分存在,固定,则,成立等式 .称为积分余项.证: .注记7. 带积分余项的Taylor定理也可看作是一种变形的带Cauchy余项的Taylor定理.(对满足介值定理的函数和不变符号的函数应用第一积分中值定理,).定理7.11(能推广到多元函数的换元积分法) 若函数在区间上连续,函数在上严格递增,并且,则 .证: 由的分割,自动地确定了的分割,其中.显然当时必有.由Lagrange中值定理,可取使得
4、,.由严格递增可知,.于是,在等式 的两边同时令便得到,即 .定理7.1(仅对1元函数有效的换元积分法) 若是区间上的连续函数,是上的函数,并且,则 .证: 任取在上的原函数,则有.命题2 若函数在上连续,则(1) ；(2) .证: (1) 作变换,则有.(2) 作变换,则有 .故 .命题3 若是以正数为周期的连续函数,则,成立等式 .证: 作变换,则有.命题4 (1) 若是上的连续奇函数,则；(2) 若是上的连续偶函数,则.证: 作变换,则有(1) .(2) .例2(一个错误的证明) 设是开区间上的连续函数,求证: .证:(1)(错误的) .(2)(正确的) 任取在上的原函数,作变换,则有,故.于是, .练习题7.4() 1(3,4,5,6,7,11),4,5,8,9,10,11,13,15.问题7.4() 1,2,4.137
