《2020届高考数学（理）二轮复习专题强化训练：（十三）立体几何理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高考数学（理）二轮复习专题强化训练：（十三）立体几何理（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题强化训练专题强化训练 十三十三 立体立体 几何几何 一 选择题 1 2019 南昌重点中学 一个几何体挖去部分后的三视图如图所示 若其正视图和侧 视图都是由三个边长为 2 的正三角形组成的 则该几何体的表面积为 A 13 B 12 C 11 D 2 3 解析 依题意 题中的几何体是从一个圆台 该圆台的上底面半径为 1 下底面半径为 2 母线长为 2 中挖去一个圆锥 该圆锥的底面半径为 1 母线长为 2 后得到的 圆台的侧 面积为 1 2 2 6 圆锥的侧面积为 1 2 2 所以题中几何体的表面积为 6 2 22 12 选 B 答案 B 2 2019 开封定位考试 某几何体的三视图如图所示
2、则该几何体的体积为 A B 1 3 1 2 C D 1 2 3 解析 由三视图知 该几何体是一个三棱锥 其高为 1 底面是一个等腰直角三角形 所以该几何体的体积V 2 2 1 故选 C 1 3 1 2 2 3 答案 C 3 2019 安徽示范高中 已知三棱锥P ABC中 AB 平面APC AB 4 PA PC 2 AC 2 则三棱锥P ABC外接球的表面积为 2 A 28 B 36 C 48 D 72 解析 解法一 因为PA PC AC 2 所以PA PC 因为AB 平面APC 所以 2 AB AC AB PC 又PA AB A 所以PC 平面PAB 所以PC PB 则 BCP ABC均为 直
3、角三角形 如图 取BC的中点为O 连接OA OP 则OB OC OA OP 即点O为三棱 锥P ABC外接球的球心 在 Rt ABC中 AC 2 AB 4 则BC 6 所以外接球的半径 2 R 3 所以三棱锥P ABC外接球的表面积S 4 R2 36 故选 B 解法二 因为PA PC AC 2 所以PA PC ACP为直角三角形 如图 取AC 2 的中点为M 则M为 PAC外接圆的圆心 过M作直线n垂直于平面PAC 则直线n上任意 一点到点P A C的距离都相等 因为AB 平面PAC 所以AB平行于直线n 设直线n与 BC的交点为O 则O为线段BC的中点 所以点O到点B C的距离相等 则点O即
4、三棱锥 P ABC外接球的球心 因为AB 平面PAC 所以AB AC 又AC 2 AB 4 所以 2 BC 6 则外接球的半径R 3 所以三棱锥P ABC外接球的表面积S 4 R2 36 故选 B 解法三 因为PA PC AC 2 所以PA PC 又AB 平面PAC 所以可把三棱锥 2 P ABC放在如图所示的长方体中 此长方体的长 宽 高分别为 4 则三棱锥 222 P ABC的外接球即长方体的外接球 长方体的体对角线即长方体外接球的直径 易得长方 体的体对角线的长为 6 则外接球的半径R 3 所以三棱锥P ABC外接球的表面积 S 4 R2 36 故选 B 答案 B 4 2019 唐山摸底
5、 已知某几何体的三视图如图所示 俯视图中曲线为四分之一圆弧 则该几何体的表面积为 A 1 B 3 4 2 C 2 D 4 4 解析 由题设知 该几何体是棱长为 1 的正方体被截去底面半径为 1 的 圆柱后得到的 1 4 如图所示 所以表面积S 2 2 1 1 2 1 1 4 1 1 1 4 12 1 4 故选 D 答案 D 5 2019 山西第一次联考 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗线画出的是某几 何体的三视图 则该几何体的各个面的面积中 最大的面积是 A 2B 5 C D 2 62 解析 由三视图可知 该几何体为四面体 记为四面体ABCD 将其放入长方体中 如 图 易知长方体的高为
6、1 AB BC AD DC AB AD 2 则BD 2 BC DC 所以 25 S ABD 2 2 2 S ABC S ADC 2 S BDC 2 所以 1 2 1 255 1 225 26 BDC的面积最大 为 故选 C 6 答案 C 6 2019 武昌调研 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗线画出的是某四面体的 三视图 则此四面体的体积为 A B 16 32 3 C 32D 48 解析 由三视图知 该四面体可以看作是正方体中的三棱锥P ABC 如图 由已知可 得AB 4 AC 4 ABC是直角三角形 所以S ABC AB AC 4 4 8 所以四面体 1 2 1 2 PABC的体积V
7、8 4 故选 A 1 3 32 3 答案 A 7 2019 洛阳联考 四棱锥S ABCD的所有顶点都在同一个球面上 底面ABCD是正 方形且和球心O在同一平面内 当此四棱锥的体积取得最大值时 其表面积等于 8 8 3 则球O的体积等于 A B 32 3 32 2 3 C 16 D 16 2 3 解析 由题意得 当此四棱锥的体积取得最大值时 四棱锥为正四棱锥 如图 连接 AC 则球心O为AC的中点 连接SO 设球O的半径为R 则AC 2R SO R AB BC R 取AB的中点为E 连接OE SE 则OE BC R SE R 该四棱锥 2 1 2 2 2SO2 OE2 6 2 的体积取得最大值时
8、 其表面积等于 8 8 R 2 4 R R 8 8 解得 32 1 22 6 23 R 2 球O的体积等于 R3 故选 A 4 3 32 3 答案 A 8 2019 长沙一模 在正方体ABCD A1B1C1D1中 平面 过点A 且AC1 平面ABCD l1 平面 过点A1 且A1C 平面AA1D1D l2 则直线l1 l2所成角 的余弦值为 A B 3 3 2 2 C D 3 2 1 2 解析 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 易得AC1 平面A1BD 因为AC1 所以 平面A1BD 又 平面ABCD l1 平面A1BD 平面ABCD BD 所以l1 BD 易得 AC1 所以平面AB
9、1D1 又 平面AA1D1D l2 平面AB1D1 平面AA1D1D AD1 所 以l2 AD1 所以l1与l2所成的角就是AD1与BD所成的角 又AD1 BC1 所以 DBC1就是 l1与l2所成的角 因为 BDC1是正三角形 所以 DBC1 60 cos DBC1 故选 D 1 2 答案 D 9 2019 郑州质量预测一 已知三棱柱ABC A1B1C1的底面为等腰直角三角形 AB AC 点M N分别是边AB1 AC1上的动点 若直线MN 平面BBC1B1 Q为线段MN的中 点 则点Q的轨迹为 A 双曲线的一支 一部分 B 圆弧 一部分 C 线段 去掉一个端点 D 抛物线的一部分 解析 如图
10、 分别取AA1 B1C的中点E F 任意作一个与平面BCC1B1平行的平面 与AB1 A1C分别交于M N 则MN 平面BCC1B1 由题意知 ABC为等腰直角三角形 AB AC 则侧面AA1B1B与侧面AA1C1C是两个全等的矩形 且这两个侧面关于过棱AA1与平 面BCC1B1垂直的平面是对称的 因此EF必过MN的中点Q 故点Q的轨迹为线段EF 但需 去掉端点F 故选 C 答案 C 10 2019 武昌调研 已知正三棱锥S ABC的各顶点都在球O的球面上 棱锥的底面 是边长为 2的正三角形 侧棱长为 2 则球O的表面积为 35 A 10 B 25 C 100 D 125 解析 如图 设O1为
11、正三棱锥S ABC的底面中心 连接SO1 则SO1是三棱锥的高 三棱锥的外接球的球心O在SO1上 设球的半径为R 连接AO1 AO 因为正三角形ABC的 边长为 2 所以AO1 2 2 因为SA 2 所以在 Rt ASO1中 SO1 33 3 2 2 35 4 在 Rt AOO1中 R2 4 R 2 22 解得R 所以球O的表面积为 2 5 2 22 5 2 4 2 25 故选 B 5 2 答案 B 11 2019 山西第一次联考 在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 平面ABC BC1与底面所 成角的正切值为 三棱柱的各顶点均在半径为 2 的球O的球面上 且 2 6 3 AC 2 ABC
12、60 则三棱柱ABC A1B1C1的体积为 A 4B 3 4 3 3 C 4D 2 4 2 3 解析 在三角形ABC中 AC 2 ABC 60 所以三角形ABC的外接圆半径r 1 2 设三角形ABC外接圆的圆心为O1 连接OO1 OA O1A 则OO1 平面 2 sin60 2 3 3 ABC OO1 AA1 O1A r OA 2 所以 22 r2 2 得AA1 因为AA1 平面 1 2 1 2AA1 4 6 3 ABC AA1 CC1 所以CC1 平面ABC 所以BC1与底面ABC所成的角是 C1BC 所以 tan C1BC 得BC 2 因此三角形ABC是边长为 2 的正三角形 所 CC1
13、BC AA1 BC 4 6 3 BC 2 6 3 以三棱柱ABC A1B1C1的体积V S ABC AA1 4 4 故选 C 3 4 4 6 32 答案 C 12 2019 福建五校联考 已知正方体ABCD A1B1C1D1的体积为 1 点M在线段BC上 点M异于B C两点 点N为线段CC1的中点 若平面AMN截正方体ABCD A1B1C1D1所得 的截面为四边形 则线段BM的取值范围为 A B 0 1 3 0 1 2 C D 2 3 1 1 2 1 解析 易知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 若M为BC的中点 则MN AD1 所以此 时截面为四边形AMND1 所以BM 符合题意
14、若 0 BM 如图 1 作BP MN交CC1于点 1 2 1 2 P 再作PQ C1D1交DD1于点Q 连接AQ 易知MN AQ 所以此时截面为四边形AMNQ 所 以 0 BM 符合题意 若 BM0 则 ABC的边长为a 过点P作PO 面ABC于O PAO即为侧 2 棱PA与底面所成的角 则O为 ABC的中心 AD BC 则 AD a AO AD a 2a 2 2 2 a 2 6 2 2 3 6 3 Rt POA中 cos PAO AO AP 6 3 sin PAO 1 6 3 2 3 3 答案 3 3 16 2019 湖南四校联考 在四棱锥S ABCD中 底面ABCD是边长为 2 的正方形
15、侧 面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形 若四棱锥S ABCD体积的取值范围为 4 3 3 8 3 则该四棱锥外接球表面积的取值范围是 解析 在四棱锥S ABCD中 由条件知AD SA AD AB SA AB A 所以AD 平面 SAB 所以平面SAB 平面ABCD 过S作SO AB于点O 则SO 平面ABCD 设 SAB 则VS ABCD S正方形ABCD SO sin 所以 sin 又 0 1 3 8 3 4 3 3 8 3 3 2 1 所以 所以 cos 在 SAB中 SA AB 2 所以SB 2 3 2 3 1 2 1 22 所以 SAB的外接圆半径r 将该四棱锥补成一个以 1 co
16、s SB 2sin 2 1 cos sin SAB为一个底面的直三棱柱 得其外接球的半径R 所以该四棱锥外接球的表面积 r2 1 S 4 R2 4 2 1 cos 1 28 3 20 答案 28 3 20 17 2019 江西五校联考 某几何体的三视图如图所示 正视图是一个上底为 2 下 底为 4 的直角梯形 俯视图是一个边长为 4 的等边三角形 则该几何体的体积为 解析 把三视图还原成几何体ABC DEF 如图所示 在AD上取点G 使得AG 2 连 接GE GF 则把几何体ABC DEF分割成三棱柱ABC GEF和三棱锥D GEF 所以 VABC DEF VABC GEF VD GEF 4 2 4 2 3 1 33 32 3 3 答案 32 3 3 18 2019 广州调研 已知在四面体ABCD中 AD DB AC CB 1 则该四面体的体 积的最大值为 解析 解法一 如图 设AB的中点为P 连接PC PD 因为AD DB AC CB 所以 AB PD AB PC 又PC PD P 所以AB 平面PCD 设AB 2x 0 x 1 则PC PD 于是 V三棱锥A BCD V三棱锥A P
