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1、课时素养评价 三十八用二分法求方程的近似解 (20分钟40分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.观察下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是()【解析】选A.由图象可知A中零点左右两侧的函数符号不同,故可用二分法求零点.2.用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是()A.|a-b|0.1B.|a-b|0.001D.|a-b|=0.001【解析】选B.据二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于精确度时,便可结束计算.3.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计
2、算f(0)0,则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为()A.(0,0.5),f(0.125)B.(0.5,1),f(0.25)C.(0.5,1),f(0.75)D.(0,0.5),f(0.25)【解析】选D.因为f(x)=x5+8x3-1,则f(0)0,所以f(0)f(0.5)0,所以其中一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算的函数值应该为f(0.25).4.(多选题)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:x11.51.251.3751.437 51.406 25f(x)的近似值-20.625-0.984-0.260
3、0.162-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0近似解(精确度为0.05)可以是()A.1.25B.1.437 5C.1.406 25D.1.421 9【解析】选B、C、D.由表格可得,函数f(x)=x3+x2-2x-2的零点在(1.406 25,1.437 5)之间;结合选项可知,方程的近似解可以是1.406 25,1.437 5,1.421 9.二、填空题(每小题4分,共8分)5.求方程x3-3x-1=0在区间(1,2)内的实根,用“二分法”确定的下一个有解的区间是_.【解析】设函数f(x)=x3-3x-1,因为f(1)=-30,f(1.5)=-0,所以下一个有解的区间是(1.5,2
4、).答案:(1.5,2)6.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是_,函数的零点是_.(用a表示)【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,所以函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切,所以=a2-4b=0,所以a2=4b;则令f(x)=x2+ax+=0,解得x=-.答案:a2=4b-三、解答题7.(16分)已知函数f(x)=2x3-x2-3x+1.(1)求证:f(x)在区间(1,2)上存在零点.(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示,请用二分法计算f(x)=0的一个近似解(精确到0.1).x11.51.251.
5、3751.312 51.343 75f(x)的近似值-11-0.406 250.183 59-0.138 180.015 81【解析】(1)因为f(x)=2x3-x2-3x+1,所以f(1)=-10,所以f(1)f(2)=-70.且f(x)=2x3-x2-3x+1在(1,2)内连续,所以f(x)在区间(1,2)上存在零点.(2)由(1)知,f(x)=2x3-x2-3x+1在(1,2)内存在零点,由表知f(1)=-1,f(1.5)=1,所以f(1)f(1.5)0,所以f(x)的零点在(1,1.5)上,因为f(1.25)=-0.406 25,所以f(1.25)f(1.5)0,所以f(x)的零点在(
6、1.25,1.5)上,因为f(1.375)0.183 59,所以f(1.25)f(1.375)0,所以f(x)的零点在(1.25,1.375)上,因为f(1.312 5)-0.138 18,所以f(1.312 5)f(1.375)0,所以f(x)的零点在(1.312 5,1.375)上,因为f(1.343 75)0.015 81,所以f(1.312 5)f(1.343 75)0,所以f(x)的零点在(1.312 5,1.343 75)上,由于|1.343 75-1.312 5|=0.031 250.1,且1.312 51.3,1.343 751.3,所以f(x)=0的一个精确到0.1的近似解是
7、1.3. (15分钟30分)1.(4分)用二分法求函数的零点,函数的零点总位于区间(an,bn)内,当|an-bn|0,f=-=-0,f(1)=-10,f(2)=-20,显然有f(0)f0.【加练固】若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内 B.(-,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+)内D.(-,a)和(c,+)内【解析】选A.由题意知f(x)的图象是开口向上的抛物线,由abc,知a-b0, b-c0,a-c0,f(b)=(b-c)(b-a)0,由零点存在判定定理可知,在区间(a,
8、b),(b,c)内分别存在一个零点.所以f(x)的两个零点分别在(a,b)和(b,c)内.3.(4分)若方程x3-x+1=0在区间(a,b)(a,b是整数,且b-a=1)上有一根,则a+b=_.【解析】设f(x)=x3-x+1,则f(-2)=-50,可得a=-2,b=-1,所以a+b=-3.答案:-34.(4分)已知函数f(x)=log2x+2x-m有唯一零点,如果它的零点在区间(1,2)内,则实数m的取值范围是_.【解析】因为f(x)在(0,+)上单调递增,所以所以解得2m5.答案:(2,5)5.(14分)已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1(1,x0),x2(x0,+),求f(x1)和f(x2)与0的大小关系.【解析】f(x)=2x+=2x-,f(x)由两部分组成,y=2x在(1,+)上单调递增,y=-在(1,+)上单调递增,所以f(x)在(1,+)上单调递增.因为x1x0,所以f(x1)x0,所以f(x2)f(x0)=0.
