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1、 2 4 极限的性质与四则运算法则 一 性质 性质1 唯一性 若极限lim f x 存在 则极限唯一 注 此定理对数列也成立 性质2 局部有界性 注 1 其他类型的极限对应的邻域由定义中x的变化范 围确定 2 此处只说有一个空心邻域 至于空心邻域有多大由 具体函数确定 性质3 局部保号性 性质4 注 性质5 二 四则运算法则 根据极限的定义 只能验证某个常数 A是否为某个函数 x 的极限 而不能求出函数 x 的极限 为了解决极限的计 算问题 下面介绍极限的运算法则 并利用这些法则和一些 已知结果来求函数极限 定理 推论1 常数因子可以提到极限记号外面 推论2 推论3 推论4 推论5 注 应用时
2、必须注意条件 如极限存在 分母不为 零 偶次根号下非负等 定理和推论中C n a都是与自变量无关的常量 如 3 参加求极限的函数应为有限个 况 时可直接代入 例 利用极限的运算性质和一些简单的极限结果 可以计算一 些复杂的函数极限 下面总结一下求函数极限的基本方法 1 代入法 答案 注意 代入时把所有x都换成x0 不能只代入一部分 例1 解 例2 解商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系 得 2 消零法 若分子分母都是多项式且都趋于零时 可将其分解因式 再消去公因式 直至可直接代入 例 计算过程 x3 x2 16x 20 x3 2x2 3x2 6x 10 x 20 x2 x 2 3x x 2
3、10 x 2 x 2 x2 3x 10 x 2 x 2 x 5 注意从高次幂到低次幂 依次配项 例3 解 3 消最大公因子法 练习 答案 0 同样都是多项式 若分子 分母都趋于无穷大 则分子 分母除以最高次数的项 例 计算过程 很容易可以看出 这一类的极限只和分子 分母的次数 以及 次数相等时 最高次项的系数有关 分子 分母同除以最 高次幂 例5 解 例4 解 例6 解 先变形再求极限 备忘 消极大公因子法对分子 分母含指数形式也适用 例 计算过程 注 分子 分母同除以 最大 项 4 有理化法 若分子或分母有根号 特别是有根号相减 时 可将之 有理化 例计算过程 练习 答案 当x 时结果为 a
4、 b 故x 时极限不存在 平方差公式 a2 b2 a b a b 立方差公式 a3 b3 a2 ab b2 a b 例7 解 5 通分法 例 答案 练习 答案 1 6 变量代换法 例 方便时可考虑变量代换以简化计算 注意变化趋势也随之 改变 练习 答案 不存在 计算过程 提 示 取t满足xt 1 则 x 0 时t x 0 时t 为把两个根号同时去掉 做变量代换 当x 1时t 1 因此 消零法 例如对分子 tm 1 tm tm 1 tm 1 tm 2 t 1 tm 1 tm 2 1 t 1 本题也可以用有 理化法计算 7 其他 必要时会用到以前所学的公式或其他计算技巧 例 答案 1 练习 答案 1 计算极限 思考题
