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1、大学数学(高数微积分)第五章二次型第四节课件(课堂讲义) 主要内容正定二次型的定义第四节正定二次型实二次型正定性的判别方法实二次型的其他类型及其判别法正定矩阵的应用举例 一、正定二次型的定义在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位.因为正定二次型与正定矩阵在工程技术和最优化等问题中有着广泛的应用，讨论多元函数极值的充分条件也要用到它.在这一节中，我们给出它的定义以及常用的判别条件.1.定义定义7实二次型f(x1,x2,x n)称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数c1,c2,c n都有f(c1,c2,c n)0.例如2.两个基本结论1)实二次型222221121),(n nnx dx dx
2、dx x x f+=?正定的充分必要条件是d i0,i=1,2,n.证明2)非退化实线性替换保持正定性不变.证明11证明22 二、实二次型正定性的判别方法定理6n元实二次型f(x1,x2,x n)是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n.证明设二次型f(x1,x2,x n)经过非退化实线性替换变成标准形d1x12+d2x22+d nx n21.惯性指数法由前面讨论的基本结论1知，该标准形是正定的当且仅当d i0,i=1,2,n,即正惯性指数为n.再由基本结论2即得.证毕定理6说明，正定二次型f(x1,x2,x n)的规范形为y12+y22+y n2.定义8实对称矩阵A称为正定的，如果二次型X
3、 TAX正定.因为二次型x12+x22+x n2的矩阵是单位矩阵E，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同，由此得推论1实对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵C，使得A=C TC.证明设A为实对称矩阵，则由实对称矩阵A正定等价实二次型X TAX正定等价实二次型X TAX的规范型是x12+x22+x n2实二次型X TAX的规范型是x12+x22+x n2等价存在可逆矩阵C，使A=C TEC=C TC.矩阵A与E合同等价证毕理定理66有推论2正定矩阵的行列式大于零.证明设A是一正定矩阵，则由推论1知，存在可逆矩阵C，使A=C TC.两边取行列式，就有|A|=|C T|C|=|C
4、|20.证毕例1证明若A是正定矩阵，则A-1也是正定的.证明由正定矩阵的定义知，正定矩阵是实对称矩阵，由推论2知，正定矩阵A是可逆的，且(A-1)T=(A T)-1=A-1，所以A-1也是实对称矩阵.证明其正定性的方法很多.法方法11法方法22法方法33例2用惯性指数法判断三元二次型3221232221321),(x x x x x x x x x x f+?+=是否是正定二次型.法解法11用配方法法解法22用初等变换法2.顺序主子式法有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个二次型是不是正定的，而不希望通过它的标准形或规范形.下面来解决这个问题.为此，引入定义9子式),2,1(21222211
5、1211n iaa aaa aaa aPiii iiii?=称为矩阵A=(a ij)nn的顺序主子式.定理7实二次型?=ninjj iij nAX X x x a x x x f1T121),(?是正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零.证明先证必要性设二次型?=ninjj iij nx x ax x x f1121),(?是正定的.对于每个k，1kn,令?=kikjj iij k kx xax x x f1121.),(?我们来证f k是一个k元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数c1,c k有?=kikjj iij kkc ca c f1121),(?.0)0,0,(21=?k
6、c f因此),(21kkx x x f?是正定的.由论推论22f k的矩阵的行列式.,1,01111n kaaa akkkk?=这就证明了矩阵A的顺序主子式全大于零.再证充分性对n作数学归纳法.当n=1时，f(x1)=a11x12,由条件a110显然有f(x1)是正定的.假设充分性的论断对于n-1元二次型已成立,现在来证n元的情形.令,111,11,11,1111?=?=?n nnnn nnaaaaa aA?于是矩阵A可以分块成.T1?=nnaAA既然A的顺序主子式全大于零，当然A1的顺序主子式也全大于零.由归纳法假设，A1是正定矩阵，换句话说，有可逆的n-1级矩阵G使G TA1G=E n-1
7、,这里E n-1代表n-1级单位矩阵.令,11?=OO GC于是?=11T1T1T1OO GaAOOGAC Cnn?=11T1T1T1OO GaAOOGAC Cnn.TT1?=?nnna GGE再令,1T12?=?OG ECn有?=?11T1TT1T121T1T2OG EaGG EGOEC ACC Cnnnnn.T T1?=?GG aOO Ennn令C=C1C2,a nn-T GGT=a,就有.11T?=aAC C?两边取行列式，|C|2|A|=a.由条件|A|0得a0.这就说明，矩阵A与单位矩阵合同，所以，A是正定矩阵，或者说二次型),(21nx x xf?是正定的.充分性得证.证毕例3利用
8、下列模型判别矩阵的正定性阶三阶矩阵的判定模型四阶矩阵的判定模型例4判别二次型43424131212423222143211262421993),(xxxxxxxxx xxxxxxxxxf?+?+=的正定性.解二次型的矩阵为,19631690230311211?它的顺序主子式分别为,01|1|1=P,0231112=?=P9020312113?=P单击求值,06196316902303112114?=P单击求值,024由此可知二次型是正定的. 三、实二次型的其他类型及其判别法1.定义定义10设f(x1,x2,x n)是一实二次型,对于任意一组不全为零的实数c1,c2,c n,如果都有f(c1,c
9、2,c n)0,X=(x)T=xR1,bx axx p?=221)(是一条抛物线，它在abx=处，取得最小值.22minabp?=本例是把一元二次函数的最小值问题推广到n元二次函数(其二次项部分是正定二次型).这里欲证p(X0)是p(X)的最小值，只要证恒有p(X)-p(X0)0.由于b=AX0(X0=A-1b),所以b X AX Xb X AX X X pX pT00T0T T02121)()(+?=?0T00T T2121AX X AX X AX X+?=) (21)(210T00T00T TAX XAX XAX XAX X+?=又因为X TAX0是一阶矩阵，所以AX XAX XAX XT
10、0T0T0T)(=.2121T00TAX XAX X+=0T00T T02121)()(AX XAX XAX X X pX p+?=?0T00T T2121AX XAX XAX X+?=0T0T00T T21)2121(21AX XAX XAX XAXX+?=) (21)(210T00T T0TAX XAXXAXXAXX?=0T0T T0T) (21)(21AXXXAXXX?=.)()(210T0XXA XX?=因此，由A的正定性，即得?(X-X0)0，即?XX0，恒有p(X)-p(X0)0，故p(X0)是p(X)的最小值，且b XAXXX ppT00T00min21)(?=b Xb XT0T
11、021?=b XT021?=b bAT1)(21?=.211Tb Ab?=本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮
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