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1、2020届高三第一次联合调研考试数学（理）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】计算，再计算得到答案.【详解】.故选：.【点睛】本题考查了交集的运算，意在考查学生的计算能力.2若复数满足，则（ ）AB2CD【答案】A【解析】化简得到，再计算模长得到答案.【详解】，.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简和求模，意在考查学生的计算能力.3人体的体质指数（）的计算公式：体重身高（体重单位为，身高单位为）.其判定标准如下表：以上等级偏瘦正常超标重度超标某小学生的身高为，在一次体检时，医生告诉她属于正常类，则她的体重可能是( )ABCD【答案】C【解析】根据题意可得，体重身高，代入
2、数据即可求解.【详解】由题意得，体重身高，因为此人属于正常，所以所以此小学生的体重范围为，即体重范围为，故选：C【点睛】本题考查推理与证明，考查推理论证能力以及估算思想.4设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分不必要条件( )ABCD【答案】D【解析】利用空间线面位置关系的判定与性质定理即可得出.【详解】对于A，则，故排除A；对于B，则与相交或，故排除B；对于C，则，故排除C；对于D，则；反之，若，与的位置关系不确定，当时，或 ，故的一个充分不必要条件，故D正确；故选：D【点睛】本题主要考查直线、平面的平行与垂直的判断、充分条件与必要条件的判断等基础知识，意在考查学生的空间想象能力
3、、转化与化归能力，属于基础题.5设满足约束条件，则目标函数的最大值为( )A8B7C6D5【答案】A【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点时，求出最大值即可.【详解】作出变量满足约束条件的可行域如图：由，可得，所以动直线的纵截距取得最大值时，目标函数取得最大值.由得，结合可行域可知当动直线经过点时，目标函数取得最大值.故选：A【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域、理解目标函数表示的几何意义，属于基础题.6九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、
4、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代乙种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得（ ）钱？ABCD【答案】A【解析】设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】设甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数分别为，公差为，则，即，解得，.故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.7已知函数的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为( )ABCD【答案】C【解析】结合图像，判断函数的性质即可求解.【详解】从图像可知，函数为偶函数，对于A，排除A；对于B，排除B； 和
5、其定义域均为，当从的右侧趋近时，即，结合图像排除D项，故选：C【点睛】本题考查了函数图像的识别，注意从函数的性质进行深入分析，考查了函数的性质，属于基础题.8已知是锐角，向量，满足，则为（ ）ABCD【答案】D【解析】可得，故，得到答案.【详解】由可得，则，即，又是锐角，.故选：.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.9如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为( )ABCD【答案】B【解析】利用圆台的结构特征求出其外接球的半径，再利用球的体积公式即可求解.【详解】由三视图知，该几何体是一个圆台，圆台的上底面半径为1，下底面半径为，圆台的高为，设圆台的外接球半径
6、为，如图：则，解得，外接球的体积为.故选：B【点睛】本题考查了旋转体的外接球问题以及球的体积公式，需熟记公式，属于基础题.10已知函数，将函数的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）ABCD【答案】C【解析】化简，得到，得到，计算得到答案.【详解】，经过变换后得到函数，则的值域为，又，.故选：.【点睛】本题考查了三角函数化简，平移伸缩变换，值域，意在考查学生的综合应用能力.11已知双曲线是的左右焦点，是双曲线右支上任意一点，若的最小值为8，则双曲线的离心率为( )AB3C2D【答案】B【解析】根据双曲线的定义可得，代入，
7、利用基本不等式即可求解.【详解】由双曲线的定义知，当且仅当时取等号故选：B【点睛】本题考查了双曲线的定义以及基本不等式求最值，注意利用基本不等式时，验证等号成立的条件，属于基础题.12已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】，令，计算函数的单调性，得到，计算得到答案.【详解】，令，则，故当时，单调递减，当时，单调递增，从而当时，在区间上单调递增.设，则在上单调递减，在上单调递增，存在，使成立，等价于.，解得.故选：.【点睛】本题考查了能成立问题，转化为函数的值域问题是解题的关键.二、填空题13二项式展开式中的常数项为240，则实数的值为_.【答案】【解析】
8、直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】，由得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.14已知等比数列中，则_.【答案】【解析】利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】由题意可得，解得，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.15已知为椭圆的左焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，则直线的斜率为_.【答案】【解析】根据题意求出，设出直线的方程为：，将直线与椭圆方程联立消求交点的横坐标，由，可得，代入交点的横坐标即可求解.【详解】椭圆，则，则，即，所以 根据题意可得直线的斜率存在，设直线的斜率为，直线的方程为：
9、 则，消可得，解得设，因为，所以，整理可得 由， 代入可得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.16已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】化简，画出函数图像，根据图像计算得到答案.【详解】，取，即，画出函数图像，根据图像知：，即，取.故或（舍去），即.故答案为：.【点睛】本题考查了函数零点问题，画出函数图像是解题的关键.三、解答题17在锐角中，内角所对的边分别为，已知.（1）求证：；（2）若，求的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用正弦定理边化角可得，再利用两角和的正弦公式以及三角形的性质即
10、可求解. （2）利用同角三角函数的基本关系可得，再利用余弦定理结合（1）即可得出，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）证明：由正弦定理有得，有得，由，可得，由正弦定理得（2）由题意有由余弦定理有，得，代入，解得：故的面积为【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，需熟记定理与公式，属于基础题.18在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（）400500概率作物市场价格（元/）56概率（1）设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列（利润产量市场价格成本）；（2）若在这块
11、地上连续3季种植此作物，求这3季中的利润都在区间的概率.【答案】（1）详见解析（2）【解析】（1）所有可能的取值为，计算概率得到分布列.（2）每一季利润在区间的概率为，计算得到答案.【详解】（1）设表示事件“作物产量为”，表示事件“作物市场价格为5元/”，由题设知，利润产量市场价格成本.所有可能的取值为，的分布列为：1000140015002000（2）每一季利润在区间的概率为，故3季中的利润都在区间的概率为.【点睛】本题考查了分布列和概率的计算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19如图，在长方体中，为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】（1
12、）证明见解析（2）【解析】（1）如图，连相交于点，连，证明得到答案.（2）如图，以点为坐标原点，向量方向分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量为，计算夹角得到答案.【详解】（1）证明：如图，连相交于点，连，四边形为平行四边形，可得，平面，平面，平面.（2）如图，以点为坐标原点，向量方向分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.各点坐标分别为，.设平面的法向量为，有，取，有；设平面的法向量为，有，取，有；有，故平面与平面所成二面角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）是否存在实数，且，
13、使得函数在区间的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）存在；【解析】（1）求导，讨论和两种情况，计算得到答案.（2）讨论，四种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）函数的定义域为，当时，函数的增区间为当时，令可得，故函数的增区间为，减区间为.（2）当时，得舍去；当时，得符合题意；当时，由，不合题意；必有，可得，令，故函数单调递增，又由，故当时，不存在这样的；当时，得舍去；综上所述：满足条件的值为.【点睛】本题考查了函数的单调性，根据值域求参数，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.21已知抛物线，抛物线与圆的相交弦长为4.（1）求抛物线的标准方程；（2）点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，若的面积为，且直线的斜率存在，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）利用圆与抛物线的对称性可知，点在抛物线和圆上，代入方程即可求解.（2）设直线的方程为，点的坐标分别为，将抛物线与直线联立，分别消，再利用韦达定理可得两根之和、两根之积，根据向量数量积的坐标运算可得，的面积为即可求解.【详解】（1）由圆及抛物线的对称性可知，点既在抛物线上也在圆上，有：，解
