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1、第三节等比数列及其前n项和最新考纲1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系1等比数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的数学表达式为q(nN*,q为非零常数)(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式:ana1
2、qn1amqnm.(2)前n项和公式:等比数列的常用性质1在等比数列an中,若mnpq2k(m,n,p,q,kN*),则amanapaqa.2若数列an,bn(项数相同)是等比数列,则an(0),a,anbn,仍然是等比数列3等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等比数列,其公比为qn,其中当公比为1时,n为偶数时除外一、思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)满足an1qan(nN*,q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a,b的等比中项G2ab.()(3)若an为等比数列,bna2n1a2n,则数列bn也是等比数列()(4)数列an的通项公式是anan
3、,则其前n项和为Sn.()(5)数列an为等比数列,则S4,S8S4,S12S8成等比数列()答案(1)(2)(3)(4)(5)二、教材改编1在等比数列an中,a32,a78,则a5等于()A5 B5 C4 D4Caa3a72816,a54.又a5a3q20,a54.2等比数列an的前n项和为Sn,已知S3a210a1,a59,则a1()A. B C. DCS3a210a1,a1a2a3a210a1,a39a1,即公比q29,又a5a1q4,a1.故选C.3在数列an中,a12,an12an,Sn为an的前n项和若Sn126,则n .6a12,an12an,数列an是首项为2,公比为2的等比数
4、列又Sn126,126,解得n6.4一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB,然后每3秒自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机 秒,该病毒占据内存8 GB(1 GB210 MB)39由题意可知,病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an,且a12,q2,an2n,则2n8210213,n13.即病毒共复制了13次所需时间为13339(秒)考点1等比数列的基本运算 等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)(2)运用等比数列的前n项和公式时,注意分q1和q1两类分
5、别讨论1.设Sn为等比数列an的前n项和,已知3S3a42,3S2a32,则公比q()A3B4C5D6B因为3S3a42,3S2a32,所以两式相减,得3(S3S2)(a42)(a32),即3a3a4a3,得a44a3,所以q4.2(2019全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和若a1,aa6,则S5 .设等比数列的公比为q,由已知a1,aa6,所以q5,又q0,所以q3,所以S5.3等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知a3,S3,则a2 .3或法一:(直接法)数列an是等比数列,当q1时,a1a2a3,显然S33a3.当q1时,由题意可知解得q或q1(舍去)a2(2)3.综上可
6、知a23或.法二:(优解法)由a3得a1a23.3,即2q2q10,q或q1.a23或.4(2018全国卷)等比数列an中,a11,a54a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和,若Sm63,求m.解(1)设an的公比为q,由题设得anqn1.由已知得q44q2,解得q0(舍去),q2或q2.故an(2)n1或an2n1(nN)(2)若an(2)n1,则Sn.由Sm63得(2)m188,此方程没有正整数解若an2n1,则Sn2n1.由Sm63得2m64,解得m6.综上,m6.抓住基本量a1, q,借用方程思想求解是解答此类问题的关键,求解中要注意方法的择优,如T3,方法二避免
7、了讨论考点2等比数列的判定与证明判定一个数列为等比数列的常见方法(1)定义法:若q(q是不为零的常数),则数列an是等比数列;(2)等比中项法:若aanan2(nN,an0),则数列an是等比数列;(3)通项公式法:若anAqn(A,q是不为零的常数),则数列an是等比数列 设数列an中,a11,a2,an2an1an,令bnan1an(nN*)(1)证明:数列bn是等比数列;(2)求数列an的通项公式逆向问题已知数列an的前n项和为Sn,且Sn2an3n(nN*)(1)求a1,a2,a3的值;(2)是否存在常数,使得an为等比数列?若存在,求出的值和通项公式an,若不存在,请说明理由解(1)
8、当n1时,S1a12a13,解得a13,当n2时,S2a1a22a26,解得a29,当n3时,S3a1a2a32a39,解得a321.(2)假设an是等比数列,则(a2)2(a1)(a3),即(9)2(3)(21),解得3.下面证明an3为等比数列:Sn2an3n,Sn12an13n3,an1Sn1Sn2an12an3,即2an3an1,2(an3)an13,2,存在3,使得数列an3是首项为a136,公比为2的等比数列an362n1,即an3(2n1)(nN*)(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与通项公式法,其他方法只用于选择、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续
9、三项不成等比数列即可(2) 已知等比数列求参数的值,常采用特殊到一般的方法求解,如本例的逆向问题教师备选例题设数列an的前n项和为Sn,已知a11,Sn14an2.(1)设bnan12an,证明:数列bn是等比数列;(2)求数列an的通项公式解(1)证明:由a11及Sn14an2,有a1a2S24a12.a25,b1a22a13.又,得an14an4an1(n2),an12an2(an2an1)(n2)bnan12an,bn2bn1(n2),故bn是首项为3,公比为2的等比数列(2)由(1)知bnan12an32n1,故是首项为,公差为的等差数列(n1),故an(3n1)2n2.(2019全国
10、卷)已知数列an和bn满足a11,b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)证明:anbn是等比数列,anbn是等差数列;(2)求an和bn的通项公式解(1)证明:由题设得4(an1bn1)2(anbn),即an1bn1(anbn)又因为a1b11,所以anbn是首项为1,公比为的等比数列由题设得4(an1bn1)4(anbn)8,即an1bn1anbn2.又因为a1b11,所以anbn是首项为1,公差为2的等差数列(2)由(1)知,anbn,anbn2n1.所以an(anbn)(anbn)n,bn(anbn)(anbn)n.考点3 等比数列性质的应用等比数列性质的应用可以分为
11、3类(1)通项公式的变形(2)等比中项的变形(3)前n项和公式的变形根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口 (1)一题多解已知数列an为等比数列,a4a72,a5a68,则a1a10等于()A7B5 C5D7(2)设Sn是等比数列an的前n项和,若3,则()A2 B. C. D1或2(3)已知等比数列an共有2n项,其和为240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q .(1)D(2)B(3)2(1)法一:(基本量法)设数列an的公比为q,则由题意得所以或所以a1a10a1(1q9)7.法二:(性质法)由解得或所以或所以a1a10a1(1q9)7.(2)设S2k,
12、S43k,数列an为等比数列,S2,S4S2,S6S4也为等比数列,又S2k,S4S22k,S6S44k,S67k,故选B.(3)由题意,得解得所以q2.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,特别关注项an或和Sn的下角标数字间的内在关系,活用性质,减少运算量,提高解题速度教师备选例题数列an是一个项数为偶数的等比数列,所有项之和是偶数项之和的4倍,前三项之积为64,则此数列的通项公式an . 设此数列an的公比为q,由题意,知S奇S偶4S偶,所以S奇3S偶,所以q.又a1a2a364,即a1(a1q)(a1q2)aq364,所以a1q4.又q,所以a112,所以ana1qn112n1.1.已知数列an是等比数列,若a21,a5,则a1a2a2a3anan1(nN)的最小值为()A. B1 C2 D3C由已知得数列an的公比满足q3,解得q,a12,a3,故数列anan1是以2为首项,公比为的等比数列,2等比数列an满足an0,且a2a