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1、第三节等比数列及其前n项和最新考纲1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的数学表达式为q(nN*，q为非零常数)(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1
2、qn1amqnm.(2)前n项和公式：等比数列的常用性质1在等比数列an中，若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa.2若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍然是等比数列3等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn，其中当公比为1时，n为偶数时除外一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)若an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)数列an的通项公式是anan
3、，则其前n项和为Sn.()(5)数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列()答案(1)(2)(3)(4)(5)二、教材改编1在等比数列an中，a32，a78，则a5等于()A5 B5 C4 D4Caa3a72816，a54.又a5a3q20，a54.2等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1()A. B C. DCS3a210a1，a1a2a3a210a1，a39a1，即公比q29，又a5a1q4，a1.故选C.3在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n .6a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数
4、列又Sn126，126，解得n6.4一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机 秒，该病毒占据内存8 GB(1 GB210 MB)39由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an，且a12，q2，an2n，则2n8210213，n13.即病毒共复制了13次所需时间为13339(秒)考点1等比数列的基本运算 等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q1和q1两类分
5、别讨论1.设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3a42,3S2a32，则公比q()A3B4C5D6B因为3S3a42,3S2a32，所以两式相减，得3(S3S2)(a42)(a32)，即3a3a4a3，得a44a3，所以q4.2(2019全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和若a1，aa6，则S5 .设等比数列的公比为q，由已知a1，aa6，所以q5，又q0，所以q3，所以S5.3等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知a3，S3，则a2 .3或法一：(直接法)数列an是等比数列，当q1时，a1a2a3，显然S33a3.当q1时，由题意可知解得q或q1(舍去)a2(2)3.综上可
6、知a23或.法二：(优解法)由a3得a1a23.3，即2q2q10，q或q1.a23或.4(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和，若Sm63，求m.解(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1(nN)(2)若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.抓住基本量a1, q，借用方程思想求解是解答此类问题的关键，求解中要注意方法的择优，如T3，方法二避免
7、了讨论考点2等比数列的判定与证明判定一个数列为等比数列的常见方法(1)定义法：若q(q是不为零的常数)，则数列an是等比数列；(2)等比中项法：若aanan2(nN，an0)，则数列an是等比数列；(3)通项公式法：若anAqn(A，q是不为零的常数)，则数列an是等比数列 设数列an中，a11，a2，an2an1an，令bnan1an(nN*)(1)证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式逆向问题已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an3n(nN*)(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数，使得an为等比数列？若存在，求出的值和通项公式an，若不存在，请说明理由解(1)
8、当n1时，S1a12a13，解得a13，当n2时，S2a1a22a26，解得a29，当n3时，S3a1a2a32a39，解得a321.(2)假设an是等比数列，则(a2)2(a1)(a3)，即(9)2(3)(21)，解得3.下面证明an3为等比数列：Sn2an3n，Sn12an13n3，an1Sn1Sn2an12an3，即2an3an1，2(an3)an13，2，存在3，使得数列an3是首项为a136，公比为2的等比数列an362n1，即an3(2n1)(nN*)(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与通项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续
9、三项不成等比数列即可(2) 已知等比数列求参数的值，常采用特殊到一般的方法求解，如本例的逆向问题教师备选例题设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项为3，公比为2的等比数列(2)由(1)知bnan12an32n1，故是首项为，公差为的等差数列(n1)，故an(3n1)2n2.(2019全国
10、卷)已知数列an和bn满足a11，b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式解(1)证明：由题设得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn)又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公比为的等比数列由题设得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)知，anbn，anbn2n1.所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n.考点3 等比数列性质的应用等比数列性质的应用可以分为
11、3类(1)通项公式的变形(2)等比中项的变形(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口 (1)一题多解已知数列an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10等于()A7B5 C5D7(2)设Sn是等比数列an的前n项和，若3，则()A2 B. C. D1或2(3)已知等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q .(1)D(2)B(3)2(1)法一：(基本量法)设数列an的公比为q，则由题意得所以或所以a1a10a1(1q9)7.法二：(性质法)由解得或所以或所以a1a10a1(1q9)7.(2)设S2k，
12、S43k，数列an为等比数列，S2，S4S2，S6S4也为等比数列，又S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，故选B.(3)由题意，得解得所以q2.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，特别关注项an或和Sn的下角标数字间的内在关系，活用性质，减少运算量，提高解题速度教师备选例题数列an是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式an . 设此数列an的公比为q，由题意，知S奇S偶4S偶，所以S奇3S偶，所以q.又a1a2a364，即a1(a1q)(a1q2)aq364，所以a1q4.又q，所以a112，所以ana1qn112n1.1.已知数列an是等比数列，若a21，a5，则a1a2a2a3anan1(nN)的最小值为()A. B1 C2 D3C由已知得数列an的公比满足q3，解得q，a12，a3，故数列anan1是以2为首项，公比为的等比数列，2等比数列an满足an0，且a2a
