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1、圆锥曲线中的证明、探索性问题建议用时：45分钟1(2019南通一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B.(1)已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求该椭圆的标准方程；(2)已知ABF外接圆的圆心在直线yx上，求椭圆的离心率e的值解(1)因为椭圆1(ab0)的离心率为，所以，a2c.因为线段AF中点的横坐标为，所以.所以c，a2，则a28，b2a2c26.所以该椭圆的标准方程为1.(2)因为A(a,0)，F(c,0)，所以线段AF的垂直平分线方程为x.又ABF外接圆的圆心C在直线yx上，所以C.因为A(a,0)，B(0，b)，所以线段AB
2、的垂直平分线方程为y.由点C在线段AB的垂直平分线上，得，整理得b(ac)b2ac，即(bc)(ab)0.因为ab0，所以bc.所以椭圆的离心率e.2(2019全国卷)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积解(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x2y1.由于yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB
3、的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|2(t21)设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2.因此，四边形ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23).设M为线段AB的中点，则M.由于，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0.解得t0或t1.当t0时，S3；当t1时，S4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.3已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，两条准线之间的距离为8.(1)求椭圆C的标准方程(2)若A，B分别为椭圆C的左、右顶点，在平面直角坐标系xOy中，过点B作x轴的垂线
4、l，点P是直线l上(异于点B)任意一点，直线AP交椭圆C于点Q.若OP与BQ交于点M，且2，求直线AP的方程；求的取值范围解(1)由题意知e，8，c1，a2，b，故椭圆C的标准方程为1.(2)由(1)知A(2,0)，B(2,0)，设Q(x0，y0)，y00，P(2，t)，A，Q，P三点共线，kAQkAP，得t，P.设点M(x1，y1)，2，(x12，y1)2(x0x1，y0y1)，即得点M.O，M，P三点共线，解得y00(舍去)或x00，又点Q在椭圆C上，Q(0，)，故直线AP的方程为y(x2)由易知(x02，y0)2(x02)，点Q在椭圆C上，1，得4y3(4x)，将4y3(4x)代入上式得，2(x02)2x0，2x02，02x04，(0,4)
