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1、第四讲大题考法解三角形题型(一)三角形基本量的求解问题主要考查利用正、余弦定理求解三角形的边长或角的大小(或三角函数值)，且常与三角恒等变换综合考查.典例感悟典例(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC1，a3，求ABC的周长审题定向(一)定知识主要考查三角恒等变换与正、余弦定理求解边角问题(二)定能力1.考查数学运算：三角恒等式的转换，一元二次方程的求解.2.考查逻辑推理：由三角形面积想到SabsinC；欲求周长，只需整体求bc.(三)定思路第(1)问应用正弦定理、面积公式求解：利用三角形的面积公
2、式，结合已知条件建立等量关系式，再利用正弦定理将等量关系式中的边化角，从而求得sinBsinC的值；第(2)问应用和差公式、余弦定理求解：逆用两角和公式求得BC，从而求得A；再结合三角形的面积公式和余弦定理求得bc、bc的值，从而求得ABC的周长.解(1)由题设得acsin B，即csin B.由正弦定理得sin Csin B.故sinBsinC.(2)由题设及(1)得cosBcosCsinBsinC，即cos(BC).所以BC，故A.由题设得bcsinA，即bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9，得bc.故ABC的周长为3.类题通法用正、余弦定理求解三角形基本量的方法对点训
3、练(2017天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin A4bsin B，ac(a2b2c2)(1)求cos A的值；(2)求sin(2BA)的值解：(1)由asin A4bsin B，及，得a2b.由ac(a2b2c2)及余弦定理，得cos A.(2)由(1)，可得sin A，代入asin A4bsin B，得sin B.由(1)知，A为钝角，所以cosB.于是sin2B2sinBcosB，cos2B12sin2B，故sin(2BA)sin 2Bcos Acos 2Bsin A.题型(二)与三角形面积有关的问题主要考查三角形面积的计算或已知三角形的面积求边或角
4、，涉及正、余弦定理及三角形面积公式.典例感悟典例(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinAcosA0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积.审题定向(一)定知识主要考查余弦定理解三角形以及三角形面积的求法(二)定能力1.考查逻辑推理：欲求边c，想到列出c的方程，欲求面积，想到三角形面积公式，即要求两边及其夹角正弦值.2.考查数学运算：三角恒等式的转换，一元二次方程的求解及面积的计算.(三)定思路第(1)问应用余弦定理求c：先通过商的关系化简已知式子得A的正切值，求出A，再利用余弦定理求c；第(2)问应用三角形面积公式求S
5、ABD：根据(1)的结论及ADAC求出BAD，利用余弦定理求CD，AD，再利用面积公式，或先判断ABD与ACD的面积关系再求.解(1)由已知可得tanA，所以A.在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240.解得c4(负值舍去)(2)法一：由题可得CAD，所以BAD，由余弦定理可得cosC，CD，AD，SABD4sinDAB.法二：由题设可得CAD，所以BAD.故ABD的面积与ACD的面积的比值为1.又ABC的面积为42sin2，所以ABD的面积为.类题通法求解与三角形面积有关的问题的步骤对点训练(2018南宁模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c(1c
6、osB)b(2cosC)(1)求证：2bac；(2)若B，ABC的面积为4，求b.解：(1)证明：c(1cosB)b(2cosC)，由正弦定理可得sinCsinCcosB2sinBsinBcosC，可得sinCcosBsinBcosCsinC2sinB，sin(BC)sinC2sinB，sinAsinC2sinB，ac2b.(2)B，ABC的面积SacsinBac4，ac16.由余弦定理可得b2a2c22accosBa2c2ac(ac)23ac.ac2b，b24b2316，解得b4.题型(三)以平面几何为载体的解三角形问题此类问题的本质还是考查利用正、余弦定理求解三角形的边长或角度问题.典例感
7、悟典例(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.审题定向(一)定知识主要考查以平面几何为载体利用正、余弦定理求解三角形基本量问题(二)定能力1.考查逻辑推理：欲求cosADB，先求sinADB，由正弦定理可求；欲求BC，可利用余弦定理列出BC的方程求解.2.考查数学运算：同角三角函数基本关系式的运用，正、余弦定理的求解.(三)定思路第(1)问应用正弦定理、同角三角函数基本关系式求解：由正弦定理求得sinADB，再由同角三角函数基本关系求cosADB；第(2)问应用余弦定理求解：由诱导公式先求得cosBDC，再由余
8、弦定理求得BC.解(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sinADB.由题设知，ADBBC10，由cos60，得(ABAC)21003ABAC，而ABAC2，所以2，解得ABAC20，故ABAC的取值范围为(10,20解三角形问题重在 “变”变角、变式循流程思维入题快尽管解三角形的解答题起点低、位置前，但由于其公式多、性质繁，使得不少同学对其有种畏惧感突破此难点的关键在于“变”变角与变式，从“变角”来看，主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用，如：()()，2()()，2()()，2，等从“变式”来看，在解决解
9、三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等按流程解题快又准典例(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cosB；(2)若ac6，ABC的面积为2，求b.解题示范(1)由题设及ABC得sinB8sin2，即sinB4(1cosB)，故17cos2B32cosB150，解得cosB，cosB1(舍去)(2)由cosB，得sinB，故SABCacsinBac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accosB(ac)22ac(1cosB)3624.所以b2.变角：利用诱导公式及二倍角公式变角求cosB变式：利
10、用平方关系求sinB变式：利用配方法变形a2c2为(ac)22ac求b思维升华“明确思维起点，把握变换方向，抓住内在联系，合理选择公式”是三角变换的基本要诀在解题时，要紧紧抓住“变”这一核心，灵活运用公式与性质，仔细审题，快速运算应用体验(2018广州模拟)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2，acosB(2cb)cosA.(1)求角A的大小；(2)求ABC的周长的最大值解：(1)法一：由已知，得acosBbcosA2ccosA.由正弦定理，得sinAcosBsinBcosA2sinCcosA，即sin(AB)2sinCcosA.因为sin(AB)sin(C)sinC，所以
11、sinC2sinCcosA.因为sinC0，所以cosA.因为0A，所以A.法二：由已知及余弦定理，得a(2cb)，即b2c2a2bc，所以cosA.因为0A，所以A.(2)法一：由余弦定理a2b2c22bccosA，得bc4b2c2，即(bc)23bc4.因为bc2，所以(bc)2(bc)24，即bc4(当且仅当bc2时等号成立)，所以abc6.故ABC的周长的最大值为6.法二：因为，且a2，A，所以bsinB，csinC.所以abc2(sinBsinC)224sin.因为0B，所以当B时，abc取得最大值6.故ABC的周长的最大值为6.A卷大题保分练1(2018惠州模拟)已知ABC中，角A
12、，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosC(acosCccosA)b0.(1)求角C的大小；(2)若b2，c2，求ABC的面积解：(1)2cosC(acosCccosA)b0，由正弦定理可得2cosC(sinAcosCsinCcosA)sinB0.2cosCsin(AC)sinB0，即2cosCsinBsinB0，又0B180，sinB0，cosC，又0C0，解得a2，SABCabsinC，ABC的面积为.2(2018陕西模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA(2ca)cos(B)(1)求角B的大小；(2)若b4，ABC的面积为，求ac的值解：(1)bcosA(2ca)cos(B)
