《数学（文）二轮复习通用讲义：专题五 第四讲 大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 Word含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学（文）二轮复习通用讲义：专题五 第四讲 大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 Word含解析（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四讲大题考法圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题题型(一)定点问题主要考查直线、曲线过定点或两条直线的交点在定曲线上.典例感悟典例(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.审题定向(一)定知识主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆位置关系中的定点问题(二)定能力1.考查数学运算：方程组和方程的求解.2.考查直观想象：直线与椭圆的位置关系、点与椭圆的位置关系(三)定思路第(1)问利用对称性、待定系数法求解：根据椭
2、圆的对称性及标准方程判断，点P1不在椭圆上，点P2，P3，P4三点在椭圆上，代入椭圆方程列方程组求解；第(2)问利用设而不求法及直线系思想证明过定点：设直线l的方程，分析直线l与x轴的位置关系，联立直线l与椭圆C的方程，用根与系数的关系得到直线l斜率与截距的关系，由方程恒成立得定点.解(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点又由知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上因此解得故椭圆C的方程为y21.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x
3、2，x1x2.而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0.解得k.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1)类题通法动线过定点问题的2大类型及解法类型解法动直线l过定点问题设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmkn，得ynk(xm)，故动直线过定点(m，n)动曲线C过定点问题引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点对点训练(2017全国卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)
4、设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由，得x0x，y0y.因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以1.因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)证明：由题意知F(1,0)设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1，得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.题型(二) 定值问题主要以直线与圆锥曲线的位置关系为背景
5、，考查转化与化归思想和对定值问题的处理能力，常涉及式子、面积的定值问题.典例感悟典例(2016北京高考)已知椭圆C：1过A(2,0)，B(0,1)两点(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.审题定向(一)定知识主要考查椭圆的标准方程、离心率、四边形的面积、直线与椭圆位置关系中的定值问题(二)定能力1.考查逻辑推理：欲求椭圆的方程、离心率，需求a、b；欲证四边形ABNM的面积为定值，需证其面积的表达式与参数无关.2.考查数学运算：离心率的求解；列直线方程，|AN|，|BM|的表示，面积
6、表达式的化简(三)定思路第(1)问利用待定系数法求方程，离心率定义求离心率：利用方程思想求得字母a，b的值，利用椭圆离心率的定义e求得离心率；第(2)问设而不求，整体消参法求证：设出点P的坐标，并建立坐标之间的关系，表示出四边形的面积，整体运算消去参数可得定值.解(1)由题意得a2，b1，所以椭圆C的方程为y21.又c，所以离心率e.(2)证明：设P(x0，y0)(x00，y00)，则x4y4.又A(2,0)，B(0,1)，所以直线PA的方程为y(x2)令x0，得yM，从而|BM|1yM1.直线PB的方程为yx1.令y0，得xN，从而|AN|2xN2.所以四边形ABNM的面积S|AN|BM|2
7、.从而四边形ABNM的面积为定值类题通法求解定值问题的2大途径途径一首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关途径二先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值对点训练(2019届高三益阳、湘潭联考)已知动圆P经过点N(1,0)，并且与圆M：(x1)2y216相切(1)求点P的轨迹C的方程；(2)设G(m,0)为轨迹C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A，B两点，当k为何值时，|GA|2|GB|2是与m无关的定值？并求出该定值解：(1)由题意得|PM|PN|4
8、，点P的轨迹C是以M，N为焦点的椭圆，2a4,2c2，b，椭圆的方程为1.即点P的轨迹C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知2mb0)经过点P，离心率e，直线l的方程为x4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)由P在椭圆C上得，1，由e知a2c，则b23c2，代入，解得c21，a24，b23.故椭圆C的方程为1.(2)由题意可设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk
9、(x1)，代入椭圆方程，并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0，显然0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x21，则有x1x2，x1x2，在方程中令x4得，点M的坐标为(4,3k)从而k1，k2，k3k.因为A，F，B三点共线，所以有kkAFkBF，即有k，所以k1k22k，将代入得k1k22k2k1，又k3k，所以k1k22k3.故存在常数2符合题意解析几何问题重在“设”设点、设线循流程思维入题快解析几何部分知识点多，运算量大，能力要求高，综合性强，在高考试题中大都是在压轴题的位置出现，是考生“未考先怕”的题型之一，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算因此，
10、在遵循“设列解”程序化运算的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈按流程解题快又准典例(2016全国卷)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程解题示范由题设F.设l1：ya，l2：yb，则ab0，且A，B，P，Q，R.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0.(1)证明：由于F在线段AB上，故1ab0.设AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1bk2.所以ARFQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则SABF|ba|DF|ba|，SPQF.由题设可得2|ba|，所以x1
