2020年中考二次函数与几何综合

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1、1 讲次标题课程内容 知识 章节 等级 难度 星级 初三秋季代几综合 模块一 等腰三角形的存在性 初中3 级 模块二 直角三角形的存在性 模块三 平行四边形的存在性 模块四 特殊平行四边形的存在性 模块五 全等三角形的存在性 模块六 相似三角形的存在性 模块七 二次函数与线段 模块八 二次函数与角 模块九 二次函数与圆 模块十 二次函数与面积 二次函数与几何综合 2 模块一等腰三角形的存在性 解等腰三角形的存在性问题时 若没有明确指出等腰三角形的底或腰 就需要分类讨论 做题 的画法是 两圆一线 等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上 或在以A B为圆心 AB长为半径的圆上 不与 AB共

2、线 解题策略 1 几何法 先分类讨论 再画出等腰三角形 后计算 利用锐角三角形函数 相似三角形 等知识解决 2 代数法 先罗列三边长 再分类讨论列方程 然后解方程并检验 例题 1 在平面直角坐标系xOy 中 矩形ABCO 的顶点 A C 分别在 y 轴 x 轴正半轴上 点P 在 AB 上 PA 1 AO 2 经过原点的抛物线y mx 2 x n 的对称轴是直线 x 2 1 求出该抛物线的解析式 2 如图 1 将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P 点处 两直角边恰好分别经过点O 和 C 现在利用图2进行如下探究 将三角板从图1 中的位置开始 绕点P 顺时针旋转 两直角边分别交OA OC

3、于点 E F 当点 E 和点 A 重合时停止旋转 请你观察 猜想 在这个过程中 的值是否发生变化 若发生变化 说 明理由 若不发生变化 求出的值 3 设 1 中的抛物线与x 轴的另一个交点为D 顶点为M 在 的旋转过程中 是否存在点F 使 DMF 为等腰三角形 若不存在 请说明理由 例题 2 已知 如图 在平面直角坐标系中 点A 坐标为 2 0 点 B 坐标为 0 2 点 E 为线段 AB 上的动点 点E 不与点 A B 重合 以E 为顶点作 OET 45 射线 ET 交线段 0B 于 点 F C 为 y 轴正半轴上一点 且OC AB 抛物线y x 2 mx n 的图象经过 A C 两点 1

4、求此抛物线的函数表达式 2 求证 BEF AOE 3 当 EOF 为等腰三角形时 求此时点E 的坐标 4 在 3 的条件下 当直线EF 交 x 轴于点 D P 为 1 中抛物线上一动点 直线PE交 x 轴于 点 G 在直线 EF 上方的抛物线上是否存在一点P 使得 EPF 的面积是 EDG 面积的 2 1 倍 若存在 请直接写出点P 的坐标 若不存在 请说明理由 4 解直角三角形的存在性问题时 若没有明确指出直角三角形的直角 就需要进行分类讨论 以线段 AB为边的直角三角形构造方法如图 A B 解题策略 1 几何法 先分类讨论直角 再画出直角三角形 后计算 2 代数法 先罗列三边长 再分类讨论

5、直角 根据勾股定理列出方程 然后解方程并检验 模块二直角三角形的存在性 5 例题 在平面直角坐标系中 现将一块含30 的直角三角板ABC 放在第二象限 30 角所对的直角 边 AC 斜靠在两坐标轴上 且点A 0 3 点 C 0 如图所示 抛物线y ax 2 3 ax 3a a 0 经过点B 1 写出点 B 的坐标与抛物线的解析式 2 在抛物线上是否还存在点P 点 B 除外 使 ACP 仍然是以AC 为直角边的含30 角的直角 三角形 若存在 求所有点P 的坐标 3 设过点 B 的直线与交x 轴的负半轴于点D 交 y 轴的正半轴于点E 求 DOE 面积的最小值 6 解平行四边形的存在性问题 一般

6、有两个类型 1 三个定点 一个动点 作平行线 以已知三个定点为三角形的顶点 过每个点画对边的平行线 三条直线两两相交 产生 3 个交点 倍长中线 中点坐标公式 2 两个定点 两个动点 作平行线 把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况 中点坐标公式 例题 已知抛物线y mx 2 4x 2m 与 x 轴交于点 A 0 B 0 且 2 1 求抛物线的解析式 2 抛物线的对称轴为l 与 y 轴的交点为C 顶点为 D 点 C 关于 l 的对称点为E 是否存在x 轴 上的点 M y 轴上的点N 使四边形DNME 的周长最小 若存在 请画出图形 保留作图痕迹 并求出周长的最小值 若不存在 请说明理由 3

7、 若点 P在抛物线上 点Q 在 x 轴上 当以点D E P Q 为顶点的四边形是平行四边形时 求 点 P的坐标 模块三平行四边形的存在性 7 在三角形或者平行四边形的基础上增加一些条件则可以得到特殊平行四边形 矩形的存在性 转化为直角三角形的存在性 菱形 正方形的存在性 转化为等腰三角形 平行四边形的存在性 例题 1 如图 抛物线y x 2 bx c 经过 A 1 0 B 3 0 两点 且与 y 轴交于点C 点 D 是抛物线的顶点 抛物线的对称轴DE 交 x 轴于点 E 连接 BD 1 求经过 A B C 三点的抛物线的函数表达式 2 点 P是线段 BD 上一点 当PE PC 时 求点P 的坐

8、标 3 在 2 的条件下 过点P 作 PF x 轴于点 F G 为抛物线上一动点 M 为 x 轴上一动点 N 为直线 PF上一动点 当以F M N G 为顶点的四边形是正方形时 请求出点M 的坐标 模块四特殊平行四边形的存在性 8 例题 2 如图 在矩形OABC 中 OA 5 AB 4 点 D 为边 AB 上一点 将 BCD 沿直线 CD 折 叠 使点B 恰好落在边OA 上的点 E 处 分别以OC OA 所在的直线为x 轴 y 轴建立平面直角坐 标系 1 求 OE 的长及经过O D C 三点抛物线的解析式 2 一动点 P 从点 C 出发 沿CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点B 运动 同时动

9、点Q 从 E 点出 发 沿 EC 以每秒 1 个单位长度的速度向点C 运动 当点P到达点 B 时 两点同时停止运动 设运 动时间为t 秒 当 t 为何值时 DP DQ 3 若点 N 在 1 中抛物线的对称轴上 点M 在抛物线上 是否存在这样的点M 与点 N 使 M N C E 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 请求出M 点坐标 若不存在 请说明理由 9 全等三角形的存在性问题的解题策略 1 当有一个三角形固定时 三角形中所有边角为定值 另一个三角形会与这个固定的三角形有 一个元素相等 再根据全等三角形的判定 利用三角函数的知识 画图 或列方程来求解 2 当两个三角形都不固定时 三角形中有角或

10、边为变量 若条件中有一条边对应相等时 就要 使夹这条边的两个角对应相等 或其余两条边对应相等 若条件中有一个角对应相等时 就要使夹 这个角的两边对应相等 或再找一角和一条边对应相等 例题 1 如图 在平面直角坐标系中 抛物线y ax2 bx 4 与 x 轴的一个交点为A 2 0 与 y 轴的交点为C 对称轴是x 3 对称轴与x 轴交于点B 1 求抛物线的函数表达式 2 若点 D 在 x 轴上 在抛物线上是否存在点P 使得 PBD PBC 若存在 直接写出点P 的 坐标 若不存在 请说明理由 模块五全等三角形的存在性 10 例题 2 如图 抛物线y ax 2 bx c 经过 A 0 B 3 0

11、C 0 3 三点 线段 BC 与抛物线的对称轴相交于D 该抛物线的顶点为P 连接 PA AD DP 线段 AD 与 y 轴相交于 点 E 1 求该抛物线的解析式 2 在平面直角坐标系中是否存在点Q 使以 Q C D 为顶点的三角形与 ADP 全等 若存在 求出点 Q 的坐标 若不存在 说明理由 3 将 CED 绕点 E 顺时针旋转 边EC 旋转后与线段BC 相交于点 M 边 ED 旋转后与对称轴相 交于点 N 连接 PM DN 若 PM 2DN 求点 N 的坐标 直接写出结果 11 相似的基本模型 1 A 字型2 反 A 字型3 8 字型4 反 8 字型5 双垂直6 一线三等角 例题 1 如图

12、 已知抛物线y ax2 bx c a 0 经过 A 1 0 B 4 0 C 0 2 三点 1 求这条抛物线的解析式 2 E 为抛物线上一动点 是否存在点E 使以 A B E 为顶点的三角形与 COB 相似 若存在 试求出点E 的坐标 若不存在 请说明理由 3 若将直线BC 平移 使其经过点A 且与抛物线相交于点D 连接 BD 试求出 BDA 的度数 模块六相似三角形的存在性 12 常见的有三类问题 1 距离问题 1 点到直线的距离 可先求三角形的面积 则一边上的高就是点到直线的距离 2 点到点的距离问题 两点间距离公式 2 线段定值问题 1 单独的线段定值 线段的定值可以看成点到点的定值 2

13、多个线段加 减 乘 除组合定值 两点间距离公式 三角形全等或相似 3 线段垂直问题 1 代数法 证明线段垂直 则所在直线斜率乘积为 1 2 几何法 根据几何图形的性质证明 例如 等腰三角形三线合一 菱形对角线相互垂直等 利用相似或全等的性质 将等角转移 从而得到90 例题 1 如图 抛物线y ax2 c a 0 经过 C 2 0 D 0 1 两点 并与直线 y kx 交于 A B 两点 直线l 过点 E 0 2 且平行于x 轴 过 A B 两点分别作直线l 的垂线 垂足分别为点 M N 1 求此抛物线的解析式 2 求证 AO AM 模块七二次函数与线段 13 3 探究 当 k 0 时 直线y

14、kx 与 x 轴重合 求出此时的值 试说明无论k 取何值 的值都等于同一个常数 1 特殊角问题 1 运用三角函数值 2 遇 45 构造等腰直角三角形 3 遇 30 60 构造等边三角形 4 遇 90 构造直角三角形 2 角的数量关系问题 1 证等角 常运用等边对等角 等角的余 补 角相等 全等三角形 相似三角形及两角的三角 函数值相等 等等 2 证二倍角 常构造辅助圆 利用圆周角定理 3 证和差角 常旋转 翻折 平移构造角 模块八二次函数与角 14 例题 如图 在平面直角坐标系xOy 中 抛物线y x 2 bx c 与 y 轴交于点 C 与 x 轴交于 A B 两点 点B 的坐标为 3 0 直

15、线y x 3 恰好经过B C 两点 1 写出点 C 的坐标 2 求出抛物线y x 2 bx c 的解析式 并写出抛物线的对称轴和点 A 的坐标 3 点 P在抛物线的对称轴上 抛物线顶点为D 且 APD ACB 求点 P 的坐标 直线与圆的位置关系的解题策略 1 利用圆的切线性质 圆心到直线的距离等于半径 解决问题 2 联立直线方程和抛物线方程构成方程组 通过解方程组解决问题 3 利用勾股定理或其逆定理 建立未知量的方程解决问题 4 构造相似三角形 列比例式 模块九二次函数与圆 15 例题 如图 已知抛物线y a x 1 2 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在左边 且过点 D 5 3 顶点

16、为M 直线 MD 交 x 轴于点 F 1 求 a的值 2 以 AB 为直径画 P 问 点D 在 P 上吗 为什么 3 直线 MD 与 P存在怎样的位置关系 请说明理由 16 1 割补法 2 等积变换法 3 铅锤法 4 等比转化法 三角形相似或同底 等底 或同高 等高 例题 如图 在平面直角坐标系中 抛物线y ax 2 bx 3 a 0 与 x 轴交于点 A 2 0 B 4 0 两点 与y 轴交于点 C 1 求抛物线的解析式 2 点 P从 A 点出发 在线段AB 上以每秒3 个单位长度的速度向B 点运动 同时点Q 从 B 点出 发 在线段BC 上以每秒1 个单位长度的速度向C 点运动 其中一个点到达终点时 另一个点也停 止运动 当 PBQ 存在时 求运动多少秒使 PBQ 的面积最大 最大面积是多少 3 当 PBQ 的面积最大时 在BC 下方的抛物线上存在点K 使 S CBK S PBQ 5 2 求 K 点坐 标 模块十二次函数与面积 17 作业 1 如图 抛物线C1 y x 2 bx c 经过原点 与 x 轴的另一个交点为 2 0 将抛物线C1 向右平移m m 0 个单位得到抛物线C2