《数学（文）二轮复习通用讲义：专题三 第二讲 大题考法——立体几何 Word含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学（文）二轮复习通用讲义：专题三 第二讲 大题考法——立体几何 Word含解析（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二讲大题考法立体几何题型(一)平行、垂直关系的证明平行、垂直关系的证明是高考的必考内容，主要考查线面(面面)平行、垂直的判定定理及性质定理的应用，以及平行与垂直关系的转化等.典例感悟典例1(2018全国卷)如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQDA，求三棱锥QABP的体积.审题定向(一)定知识主要考查直线与平面垂直、平面与平面垂直、三棱锥的体积(二)定能力1.考查直观想象：平面图形翻折前后变与不变的数量关系、位置关系；线面垂直、
2、面面垂直的空间位置关系.2.考查逻辑推理：欲证面面垂直，想到证线面垂直，进而要证线线垂直；要求三棱锥的体积，需求其底面积及高.(三)定思路第(1)问利用面面垂直判定定理求证：证BAACAB平面ACD面ACD面ABC；第(2)问利用三棱锥体积公式求解：先求得三棱锥底面ABP的边角，过点Q作QEAC于点E，易证得QE平面ABC，由体积公式VQABPSABPQE可求得体积.解(1)证明：由已知可得，BAC90，即BAAC.又因为BAAD，ACADA，所以AB平面ACD.因为AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.如图，过点Q作Q
3、EAC，垂足为E，则QE綊DC.由已知及(1)可得，DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱锥QABP的体积为VQABPSABPQE32sin 4511.典例2(2017全国卷)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90.(1)证明：直线BC平面PAD；(2)若PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积.审题定向(一)定知识主要考查直线与平面平行的判定、四棱锥的体积(二)定能力1.考查直观想象：四棱锥几何体中的线线、线面、面面平行与垂直的空间位置关系.2.考查逻辑推理：欲证线面平行，想到证线线平行；要求四棱锥的体积，需求底
4、面积及高，进而先找证高线.(三)定思路第(1)问利用线面平行的判定定理求证：由条件中两角等于90可得BCAD，再结合线面平行的判定定理证明；第(2)问利用四棱锥体积公式求解：先求BC的长度后，计算底面积，确定高，利用VSh可求.解(1)证明：在平面ABCD内，因为BADABC90，所以BCAD.又BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.(2)如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由ABBCAD及BCAD，ABC90，得四边形ABCM为正方形，则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD.因为CM底面ABCD，
5、所以PMCM.设BCx，则CMx，CDx，PMx，PCPD2x.取CD的中点N，连接PN，则PNCD，所以PNx.因为PCD的面积为2，所以xx2，解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱锥PABCD的体积V24.类题通法平行、垂直关系的证明思路对点训练如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别为CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明：(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，C
6、D2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，且四边形ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD，又ADPAA，所以CD平面PAD，所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF，所以CDEF.又因为CDBE，EFBEE，所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.题型(二)体积、距离的计算本部分的计算题目多设两问，第(1)问考查空间位置关系的证明，第(2)问考查空间几何体体积的求法或点到平
7、面距离的求法.典例感悟典例1(2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离.审题定向(一)定知识主要考查直线与直线垂直的判定、直线与平面垂直的判定定理、点到平面的距离(二)定能力1.考查直观想象：三棱锥中的线线垂直、线面垂直的空间位置关系.2.考查逻辑推理：欲证线面垂直，想到证线线垂直；要求点面距，先找过此点的面的垂线，即高线的长.(三)定思路第(1)问利用线面垂直的判定定理求证：连接OB，由已知条件得出OPOB，OPAC，再利用线面垂直的判定定理得证；第(2)
8、问利用线面垂直判定定理找高线，由等面积法求其大小：作出直线与直线垂直，证明直线与平面垂直，由等面积法求点到平面的距离.解(1)证明：因为PAPCAC4，O为AC的中点，所以POAC，且PO2.连接OB，因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.所以PO2OB2PB2，所以POOB.又因为ACOBO，所以PO平面ABC.(2)如图，作CHOM，垂足为H，又由(1)可得OPCH，所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离由题设可知OCAC2，CMBC，ACB45，所以OM，CH.所以点C到平面POM的距离为.典例2(2017全国卷)如图，在四棱锥PABCD中
9、，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积.审题定向(一)定知识主要考查直线与平面垂直、平面与平面垂直、四棱锥的体积和侧面积.(二)定能力1.考查直观想象：四棱锥几何体中的线线平行、垂直，线面垂直，面面垂直的空间位置关系.2.考查逻辑推理：欲证明面面垂直，想到证线面垂直，进而要证线线垂直；已知四棱锥的体积，可求得底面边长，进而可求侧面积.(三)定思路第(1)问利用面面垂直判定定理求证：证ABAP，ABPDAB平面PAD平面PAB平面PAD；第(2)问利用四棱锥体积公式列方程求边，进而求各
10、侧面面积：在平面PAD内作PEAD，先证得PE为四棱锥的高，由四棱锥体积列方程，求得高及各侧面中的边，进而由面积公式求得侧面积.解(1)证明：由BAPCDP90，得ABAP，CDPD.因为ABCD，所以ABPD.又APPDP，所以AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)如图所示，在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，可得PE平面ABCD.设ABx，则由已知可得ADx，PEx.故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3.由题设得x3，故x2.从而PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2.可得四棱锥PABCD的侧面积为PA
11、PDPAABPDDCBC2sin 6062.类题通法(1)求解不规则几何体的体积时，常用割补法，将问题转化为柱体或锥体的体积求解(2)求点到平面的距离时，常用等体积转换法对点训练(2018郑州模拟)如图，在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，AB6，BC2，AC2，D为线段AB上的点，且AD2DB，PDAC.(1)求证：PD平面ABC；(2)若PAB，求点B到平面PAC的距离解：(1)证明：连接CD(图略)，据题知AD4，BD2，AC2BC2AB2，ACB90，cosABC，CD222(2)2222cosABC8，CD2，CD2AD2AC2，则CDAB.平面PAB平面ABC，平面PAB平面
12、ABCAB，CD平面PAB，CDPD，PDAC，ACCDC，PD平面ABC.(2)由(1)得PDAB，PAB，PDAD4，PA4，在RtPCD中，PC2，PAC是等腰三角形，可求得SPAC8.设点B到平面PAC的距离为d，由VBPACVPABC，得SPACdSABCPD，d3.故点B到平面PAC的距离为3.题型(三)翻折与探索性问题主要考查平面图形与空间图形的转换，且多涉及空间线面、面面的平行与垂直问题的证明或判断以及探索性问题.典例感悟典例1(2018全国卷)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，
13、使得MC平面PBD？说明理由.审题定向(一)定知识主要考查线面垂直、面面垂直、线面平行的判定，探索性问题(二)定能力1.考查直观想象：空间图形中线线、线面、面面平行与垂直的空间位置关系.2.考查逻辑推理：欲证面面垂直，要证线面垂直、进而先证线线垂直；是否存在点使得线面平行，只需找一点证明线面平行即可.(三)定思路第(1)问利用线面垂直、面面垂直的判定定理求证：先证明BCDM，再证明DMCM即可；第(2)问利用线面平行的判定定理进行判定： 先连接AC，BD，BD与AC交于点O，再说明是否存在点P满足OPMC即可.解(1)证明：由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面A
14、BCD，所以BC平面CMD，所以BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.因为DM平面AMD，所以平面AMD平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC平面PBD.证明如下：连接AC交BD于O.因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点连接OP，因为P为AM中点，所以MCOP.又MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.典例2(2016全国卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置(1)证明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱锥DABCFE的体积审题定向(一)定知识主要考查平面图形翻折问题中的线线垂直、五棱锥的体积(二)定能力1.考查直观想象：平面图形到空间图形
